高等数学平面及其方程ppt

第五节平面及其方程xyzo0MM如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法向量．法向量的特征：垂直于平面的任一非零向量．已知),,,(CBAn,),,(0000平面上一点zyxM设平面上的任一点),,(zyxMnMM0必有00nMM一、平面的点法式方程n),,(0000zzyyxxMM0)()()(000zzCyyBxxA平面的点法式方程其中法向量),,,(CBAn平面上一点).,,(000zyx例1求过三点)4,1,2(A、)2,3,1(B和)3,2,0(C的平面方程.解)6,4,3(AB)1,3,2(AC取ACABn)1,9,14(所求平面方程为,0)4()1(9)2(14zyx化简得.015914zyx由平面的点法式方程0)()()(000zzCyyBxxA0)(000CzByAxCzByAxD0DCzByAx平面的一般式方程法向量),,(CBAn二、平面的一般式方程平面的一般式方程的几种特殊情况：,0)1(D平面通过原点,0)2(A,0B轴平面平行于y轴平面平行于x,0C轴平面平行于z，且00)3(BA坐标面平面平行于xoy，且00)4(DC轴平面过z例2求过点)1,1,1(，且垂直于平面7zyx和051223zyx的平面方程.),1,1,1(1n)12,2,3(2n取法向量21nnn)5,15,10(,0)1(5)1(15)1(10zyx化简得.0632zyx所求平面方程为解例3设平面过原点及点)2,3,6(，且与平面824zyx垂直，求此平面方程.设平面为0DCzByAx由平面过原点知0D由平面过点)2,3,6(知0236CBA),,(),2,1,4(CBAnn又0)2,1,4(nCBA32解得03232CzCyCx所求平面方程为解024CBA即即0322zyx例4设平面与zyx,,三轴分别交于)0,0,(aP、)0,,0(bQ、),0,0(cR（其中0a，0b，0c），求此平面方程.设平面为0DCzByAx将三点坐标代入得000DcCDbBDaA解得,aDA,bDBcDC解,aDA,bDB,cDC将代入所设方程得1czbyax平面的截距式方程x轴上截距y轴上截距z轴上截距例5求平行于平面0566zyx而与三个坐标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.设所求平面为,1czbyaxxyzo,1V,12131abc611161cba（两向量平行的充要条件）解abc平行所求平面与平面0566zyx,61161cba化简得令tcba61161,61ta,1tb,61tcttt61161611代入体积式,61t解得,1,6,1cba666zyx所求平面方程为由对称性，得：666zyx也满足要求。定义（通常取锐角）11n22n两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.,0:11111DzCyBxA,0:22222DzCyBxA),,(1111CBAn),,(2222CBAn三、两平面的夹角按照两向量夹角余弦公式有222222212121212121||cosCBACBACCBBAA两平面夹角余弦公式两平面位置特征：21)1(0212121CCBBAA21)2(//212121CCBBAA例6研究以下各组里两平面的位置关系：013,012)1(zyzyx01224,012)2(zyxzyx02224,012)3(zyxzyx解)1(2222231)1(2)1(|311201|cos601cos两平面相交，夹角.601arccos)2(),1,1,2(1n)2,2,4(2n212142两平面平行21)0,1,1()0,1,1(MM两平面平行但不重合．)3(21214221)0,1,1()0,1,1(MM两平面平行两平面重合.例7设),,(0000zyxP是平面ByAx0DCz外一点，求0P到平面的距离.),,(1111zyxP||1PNn0P00101PrnPPPPjn),,(10101001zzyyxxPP解01PrPPjnd),,(2222222220CBACCBABCBAAn222102221022210)()()(CBAzzCCBAyyBCBAxxA,)(222111000CBACzByAxCzByAx01PrPPjn001nPP0111DCzByAx)(1P01PrPPjn,222000CBADCzByAx.||222000CBADCzByAxd点到平面的距离公式解.01)(0,1,(1,1,1)821，求此平面的方程平面且垂直于和一平面过点例zyxMM1M2M1nn的法向量平面0zyx1n)1,1,1(设所求平面的法向量n),,(CBA在所求平面上21MMnMM21从而有021nMM),,(),2,0,1(21CBAnMM0),,()2,0,1(CBA即02CA（1）0zyx所求平面垂直于平面1nn从而有01nn0)1,1,1(),,(CBA即0CBA即（2）由(1)(2)解得:CBCA2),,2(),,(CCCCBAn)1,1,1(1M所求平面过点所求平面的方程为0)1()1()1(2zCyCxC得约去,C02zyx另解：1M2M1nn211MMnnn且211MMnn可取)2,0,1()1,1,1(201111kji2ij1k1)1,1,2(另解：1M2M1nn)1,1,1(1M所求平面过点所求平面的方程为0)1()1()1(2zyx即02zyx平面的方程（熟记平面的几种特殊位置的方程）两平面的夹角.点到平面的距离公式.点法式方程.一般式方程.截距式方程.（注意两平面的位置特征）四、小结思考题若平面02zkyx与平面032zyx的夹角为4，求?k思考题解答,1)3(2)2(1|12)3(21|4cos222222kk,145|3|212kk.270k