1高三数学第一轮复习——集合课案

-1-高三第一轮复习——集合一．【要点精讲】1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合。通常用大写字母A、B、C……表示；集合中的各个对象叫做集合的元素，通常用小写字母a、b、c……表示。（1）若a是集合A的元素，记作Aa；若b不是集合A的元素，记作Ab。（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性。确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；（3）表示一个集合可用列举法、描述法、图示法。列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；例如：A={a1，a2，……}.。描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内。具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。例如：{212}Mxx。图示法：画一条封闭的曲线，用它的内部表示一个集合。例如：注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。图示法一般用作解题辅助方法，多用于集合的运算。（4）常用数集及其记法：非负整数集（或自然数集），记作N；正整数集，记作N*或N+；整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R；复数集，记作C。2．集合的包含关系：（1）子集：集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集（或B包含A），记作AB（或BA）；真子集：若AB且A≠B，则称A是B的真子集，记作AB；（2）集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若AB且BA，则称A等于B，记作A=B；（3）简单性质：1）AA；2）A；3）若AB，BC，则AC；4）若集合A是n个元素的集合，则集合A有2n个子集（有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集）。3．全集与补集：（1）全集：包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U；（2）补集：若S是一个集合，AS，则，SC=}|{AxSxx且称为S中子集A的补集；a1，a2-2-（3）简单性质：1）SC(SC)=A；2）SCS=，SC=S。4．交集与并集：（1）交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集。记作：}|{BxAxxBA且。（2）并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集。记作：}|{BxAxxBA或注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。5．集合的简单性质：（1）;,,ABBAAAAA（2）;,ABBAAA（3）);()(BABA（4）BBABAABABA;；（5）SC（A∩B）=（SCA）∪（SCB），SC（A∪B）=（SCA）∩（SCB）。二．【典例解析】题型1：集合的概念例1．（2009广东卷理）已知全集UR，集合{212}Mxx和{21,1,2,}Nxxkk的关系的韦恩（Venn）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有()A.3个B.2个C.1个D.无穷多个解析：由{212}Mxx得31x，则3,1NM，有2个。答案：B题型2：集合的性质例2．(2009山东卷理)集合0,2,Aa,21,Ba,若0,1,2,4,16AB,则a的值为()A.0B.1C.2D.4解析：∵0,2,Aa,21,Ba,0,1,2,4,16AB，∴2164aa∴4a。答案：D-3-随堂练习：1.（广东地区2008年01月份试题）设全集U=R，A={x∈N︱1≤x≤10}，B={x∈R︱x2+x－6=0}，则下图中阴影表示的集合为（）A．{2}B．{3}C．{－3，2}D．{－2，3}解析：易得B={-3，2}，故阴影为BA={2}。答案：A2.已知集合A={y|y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)0},B={y|y2-6y+8≤0}，若A∩B≠，则实数a的取值范围为（）．解析：由题知A={y|ya2+1或ya},B={y|2≤y≤4},我们不妨先考虑当A∩B＝时a的范围．如图24a2+1a由4122aa，得332aaa或，∴3a或23a.即A∩B＝时a的范围为3a或23a.而A∩B≠时a的范围是其补集,从而所求范围为332|aaa或.例3．已知全集32{1,3,2}Sxxx，A={1,21x}如果}0{ACS，则这样的实数x是否存在？若存在，求出x，若不存在，说明理由解析：∵}0{ACS；∴AS00且，即322xxx＝0，解得：1230,1,2xxx当0x时，112x，为A中元素；当1x时，Sx312当2x时，213xS∴这样的实数x存在，是1x或2x。另法：∵}0{ACS，∴AS00且，3A∴322xxx＝0且213x，∴1x或2x。变式题：已知集合2{,,2},{,,}AmmdmdBmmqmq，0m其中,AB且,求q的值。解析：由BA可知，（1）22mqdmmqdm，或（2）mqdmmqdm22解（1）得1q，解（2）得21,1qq或，-4-又因为当1q时，2mqmqm与题意不符，所以，21q。题型3：集合的运算例4．(2008年河南)已知函数1()2xfxx的定义域集合是A,函数22()lg[(21)]gxxaxaa的定义域集合是B（1）求集合A、B（2）若AB=B,求实数a的取值范围．解析：（1）A＝|12xxx或，B＝|1xxaxa或（2）由AB＝B得AB，因此112aa所以11a,所以实数a的取值范围是1,1例5．（2009宁夏海南卷理）已知集合1,3,5,7,9,0,3,6,9,12AB,则NACB()A.1,5,7B.3,5,7C.1,3,9D.1,2,3解析：易有NACB1,5,7。答案：A题型4：图解法解集合问题例6．（2009年广西北海）已知集合M=149|22yxx，N=123|yxy，则NM（）A．B．)}0,2(),0,3{(C．3,3D．2,3答案：C例7．设全集RU，函数)1)(1|1lg(|)(aaxxf的定义域为A，集合}1cos|{xxB，若BACU)(恰好有2个元素，求a的取值集合。解析：axax1|1|01|1|，1a时，01a，∴2axax或，∴),()2,(aaA，∴aaACU,2。kxx2,1cos，∴)(2zkkx，∴},2|{zkkxxB。当1a时，aaACU,2在此区间上恰有2个偶数。则0222421aaaaa例8．向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人。问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？解析：赞成A的人数为50×53=30，赞成B的人数为30+3=33，如图：-5-记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合A；赞成事件B的学生全体为集合B。设对事件A、B都赞成的学生人数为x，则对A、B都不赞成的学生人数为3x+1,赞成A而不赞成B的人数为30－x，赞成B而不赞成A的人数为33－x。依题意(30－x)+(33－x)+x+(3x+1)=50,解得x=21。所以对A、B都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆。例9．求1到200这200个数中既不是2的倍数，又不是3的倍数，也不是5的倍数的自然数共有多少个？解析：如图先画出Venn图，不难看出不符合条件的数共有：（200÷2）＋（200÷3）＋(200÷5)－(200÷10)－(200÷6)－(200÷15)＋(200÷30)＝146所以，符合条件的数共有200－146＝54（个）题型5：集合综合题例10．（1999上海）设集合A={x||x－a|2}，B={x|212xx1}，若AB，求实数a的取值范围。解析：由|x－a|2，得a－2xa+2，所以A={x|a－2xa+2}。由212xx1，得23xx0，即－2x3，所以B={x|－2x3}。因为AB，所以3222aa，于是0≤a≤1。例11．已知{an}是等差数列，d为公差且不为0，a1和d均为实数，它的前n项和记作Sn,设集合A={(an,nSn)|n∈N*},B={(x,y)|41x2－y2=1,x,y∈R}。试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明：（1）若以集合A中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上；（2）A∩B至多有一个元素；（3）当a1≠0时，一定有A∩B≠。解析：（1）正确；在等差数列{an}中，Sn=2)(1naan，则21nSn(a1+an),这表明点(an,nSn)的坐标适合方程y21(x+a1)，于是点(an,nSn)均在直线y=21x+21a1上。（2）正确；设(x,y)∈A∩B,则(x,y)中的坐标x,y应是方程组1412121221yxaxy的解，由方程组消去y得：2a1x+a12=－4（），当a1=0时，方程(*)无解，此时A∩B=；X3+133-XX30-XUBA3的倍数2的倍数5的倍数-6-当a1≠0时，方程（）只有一个解x=12124aa，此时，方程组也只有一解1211214424aayaay,故上述方程组至多有一解。∴A∩B至多有一个元素。（3）不正确；取a1=1，d=1，对一切的x∈N*，有an=a1+(n－1)d=n0,nSn0，这时集合A中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于a1=1≠0新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆如果A∩B≠，那么据(2)的结论，A∩B中至多有一个元素(x0,y0),而x0=5224121aa＜0,y0=43201xa＜0，这样的(x0,y0)A,产生矛盾，故a1=1,d=1时A∩B=，所以a1≠0时，一定有A∩B≠是不正确的。三．【思维总结】集合知识可以使我们更好地理解数学中广泛使用的集合语言，并用集合语言表达数学问题，运用集合观点去研究和解决数学问题。1．学习集合的基础能力是准确描述集合中的元素，熟练运用集合的各种符号，如、、、、=、SCA、∪，∩等等。2．强化对集合与集合关系题目的训练，理解集合中代表元素的真正意义。注