初中平面几何一题多变(1)

平面几何一题多变在完成一个数学题的解答时，有必要对该题的内容、形式、条件、结论，做进一步的探讨，以真正掌握该题所反映的问题的实质。如果能对一个普通的数学题进行一题多变，从变中总结解题方法；从变中发现解题规律，从变中发现“不变”，必将使人受益匪浅。“一题多变”的常用方法有：1、变换命题的条件与结论；2、保留条件，深化结论；3、减弱条件，加强结论；4、探讨命题的推广；5、考查命题的特例；6、生根伸枝，图形变换；7、接力赛，一变再变；8、解法的多变等。19、（增加题1的条件）AE平分∠BAC交BC于E，求证：CE：EB=CD：CB20、（增加题1的条件）CE平分∠BCD，AF平分∠BAC交BC于F求证：（1）BF·CE=BE·DF（2）AE⊥CF（3）设AE与CD交于Q，则FQ‖BC21、已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，以CD为直径的圆交AC、BC于E、F，求证：CE：BC=CF：AC（注意本题和16题有无联系）22、已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，以AD为直径的圆交AC于E，以BD为直径的圆交BC于F，求证：EF是⊙O1和⊙O2的一条外公切线23、已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，作以AC为直径的圆O1，和以CD为弦的圆O2，求证：点A到圆O2的切线长和AC相等（AT=AC）24、已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，E为ACD的中点，连ED并延长交CB的延长线于F，求证：DF：CF=BC：AC25、如图，⊙O1与⊙O2外切与点D，内公切线DO交外公切线EF于点O，求证：OD是两圆半径的比例中项。题14解答：因为CD^2=AD·DBAC^2=AD·ABBC^2=BD·AB所以1/AC^2+1/BC^2=1/（AD·AB）+1/（BD·AB）=（AD+DB）/（AD·BD·AB）=AB/AD·BD·AB=1/AD·BD=1/CD^215题解答：因为M为AB的中点，所以AM=MB，AD-DB=AM+DM-(MB-DM)=2DMAC^2-BC^2=AD*AB-DB*AB=(AD-DB)AB=2DM*AB26、（在19题基础上增加一条平行线）已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，AE平分∠BAC交BC于E、交CD于F，FG‖AB交BC于点G，求证：CE=BG27、（在19题基础上增加一条平行线）已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，AE平分∠BAC交BC于E、交CD于F，FG‖BC交AB于点G，连结EG，求证：四边形CEGF是菱形28、（对19题增加一个结论）已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，AE平分∠BAC交BC于E、交CD于F，求证：CE=CF29、（在23题中去掉一个圆）已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，作以AC为直径的圆O1，求证：过点D的圆O1的切线平分BC30、（在19题中增加一个圆）已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，AE平分∠BAC交BC于E，交CD于F，求证：⊙CED平分线段AF31、（在题1中增加一个条件）已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，∠A=30度，求证：BD=AB/4（沪科版八年级数学第117页第3题）32、（在18题基础上增加一条直线）已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，作∠BCE=∠BCDP为AC上任意一点，直线PQ交CD于Q，交CB于M，交CE于N求证：PQ/PN=QM/MN32题证明：作NS‖CD交直线AC与点S，则PQ/PN=CQ/SN又∠BCE=∠BCD∴QM/MN=CQ/CN（三角形内角平分线性质定理）∠BCE+∠NCS=∠BCD+∠ACDNS‖CD，∴∠NSC=∠ACD∴∠NSC=∠NCS∴SN=CN∴PQ/PN=QM/MN题33在“题一中”，延长CB到E，使EB=CB，连结AE、DE，求证：DE·AB=AE·BE题33证明CB^2=BD·AB因EB=CB∴EB^2=BD·AB∴EB：BD=AB：BE又∠EBD=∠ABE∴△EBD∽△ABE∴EB：AB=DE：AE∴DE·AB=AE·BE题34（在19题基础上增加一条垂线）已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，AE平分CD于F，EG⊥AB交AB于点G，求证：EG^2=BE·EC证明：延长AC、GE，设交点为H，∴△EBG∽△EHC∴EB：EH=EG：EC∴EH·EG=BE·EC又HG‖CD，CF=FD∴EH=EG∴EG^2=BE·EC题35（在题19中增加点F）已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，AE平分∠BCA交BC于点E，交CD于F，求证：2CF·FD=AF·EF题36、（在题16中，减弱条件，删除∠ACB=90度这个条件）已知，△ABC中，CD⊥AB，D为垂足，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，求证：CE/BC=CF/AC题37（在题17中，删除∠ACB=90度和CD⊥AB，D为垂足这两个条件，增加D是AB上一点，满足∠ACD=∠ABC）已知，△ABC中，D是AB上一点，满足∠ACD=∠ABC，又CE平分∠BCD求证：AE^2=AD·AB题38已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，PC为⊙ABC的切线求证：PA/AD=PB/BD题39（在题19中点E“该为E为BC上任意一点”）已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，E为BC上任意一点，连结AE，CF⊥AE，F为垂足，连结DF，求证：△ADF∽△AEB题40：已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足求证：S⊙ADC：S⊙BDC=AD：DB题41已知，如图，△ABC中，CD⊥AB，D为垂足，且AD/CD=CD/BD，求∠ACB的度数。题42已知，CD是△ABC的AB边上的高，D为垂足，且AD/CD=CD/BD，则∠ACB一定是90度吗？为什么？题43：已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，△ADC的内切圆⊙O1，△BDC的内切圆⊙O2，求证：S⊙O1：S⊙O2=AD：DB题44：已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，△ADC的内切圆⊙O1的半径R1，△BDC的内切圆⊙O2的半径R2，△ABC的内切圆⊙O的半径R，求证：R1+R2+R=CD题45、已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，作以AC为直径的圆O1，和以BD为直径的圆O2，设O1和O2在△ABC内交于P求证：△PAD的面积和△PBC的面积相等题45解：∠CAP=∠CDP=∠DBP（圆周角、弦切角）∴Rt△APC∽Rt△BPD∴AP·PD=BP·PC又∠APD和∠CPB互补（∠APC+∠BPD=180度）S△PAD=1/2·AP·PD·sin∠APDS△PBD=1/2·BP·PC·sin∠CPB∴S△PAD=S△PBD题46（在题38的基础上变一下）已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，PC为⊙ABC的切线，又CE平分∠ACB交⊙ABC与E，交AB与D，若PA=5，PC=10，求CD·CE的值题47在题46中，求sin∠PCA题48（由题19而变）已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，AE平分∠ACB交BC于E，EG⊥AB交AB于点G，求证：（1）AC=AG（2）、AG^2=AD·AB（3）、G在∠DCB的平分线上（4）、FG‖BC（5）、四边形CEFG是菱形题49题49解答：题目50（题33再变）已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，延长CB到E，使EB=CB，连结AE交CD的延长线于F，如果此时AC=EC，求证：AF=2FE题50解：过点E作EM⊥CF，M为垂足，则AD：DB=AC^2：CB^2=4：1又DB：EM=1：2所以，AD：EM=2：1△ADF∽△EMF∴AF：EF=AD：EM=2：1∴AF=2EF题目51（题50中连一线）已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，延长CB到E，使EB=CB，连结AE交CD的延长线于F，连结FB，如果此时AC=EC，求证：∠ABC=∠EBF（题51的几种解法）解法1、作∠ACB的平分线交AB于点G，易证△ACG≌△CEF∴CG=EF∴证△CBG≌△EBF∴∠ABC=∠EBF题51解法2作∠ACB的平分线交AB于点G，交AE于点P，则点G为△ACE的垂心，∴GF‖CE又∠AEC=∠GCE，∴四边形CGFE为等腰梯形∴CG=EF∴再证△CBG≌△EBF∴∠ABC=∠EBF题51解法3作∠ACB的平分线交AB于点G，交AE于点P，则点G为△ACE的垂心，易证△APG≌△CPF（AAS）∴PG=PF又∠GPB=∠FPB，PB=PB∴△PBG≌△FBP（SAS）∴∠PBG=∠FBP∴∠ABC=∠EBF题51解法4（原题图）由题50得，AF=2EF∴AF：EF=AC：BE=2又∠CAF=∠BEF=45度∴△ACF∽△EBF∴∠ACF=∠EBF又∠ACF=∠CBA∴∠ABC=∠EBF题51解法5作ME⊥CE交CD的延长线于M，证△ABC≌△CME（ASA）∴∠ABC=∠M再证△MEF≌△BEF（SAS）∴∠EBM=∠M∴∠ABC=∠EBF题51解法6作点B关于点C的对称点N，连结AN，则NB=2BE，又由题50，AF=2EF，∴BF‖AN∴∠EBM=∠N又∠ABC=∠N（对称点）∴∠ABC=∠EBF题51解法7过点C作CH‖BF交AB于M，∵B为CE的中点，∴F为HE的中点又由题50，AF=2EF，∴H为AF的中点又CH‖BF∴M为AB的中点∴∠MCB=∠MBC又∠EBM=∠MCB∴∠ABC=∠EBF题目52（题50、51结论的引伸）已知，△ABE中，AC=EC，∠ACE=90度，CD⊥AB交斜边AB于F，D为垂足，B为CE的中点，连结FB，求证：（1）、AF=2EF（2）、∠ABC=∠EBF（3）、∠EBF=∠E+∠BAE（4）、∠ABF=2∠DAC（5）、AB：BF=AE：EF（6）、CD：DF=AE：AF（7）、AD：DB=2AF：EF（8）、CD/DF·FA/AE·EB/BC=1题目53（题52的一部分）已知如图，①、AC=CE②、AC⊥CE③、CB=BE④、CF⊥AB求证：⑤、AF=2EF⑥、∠ABC=∠EBF（题53的14个逆命题中，是真命题的请给出证明）题目54（题53的逆命题1）已知如图，⑤、AF=2EF②、AC⊥CE③、CB=BE④、CF⊥AB求证：①、AC=CE⑥、∠ABC=∠EBF平面几何一题多变题目55（题53的逆命题2）已知如图，①、AC=CE⑤、AF=2EF③、CB=BE④、CF⊥AB求证：②、AC⊥CE⑥、∠ABC=∠EBF题目56（题53的逆命题3）已知如图，①、AC=CE②、AC⊥CE⑤、AF=2EF④、CF⊥AB求证：③、CB=BE⑥、∠ABC=∠EBF题目57（题53的逆命题4）已知如图，①、AC=CE②、AC⊥CE⑤、AF=2EF③、CB=BE求证：④、CF⊥AB⑥、∠ABC=∠EBF题目58（题53的逆命题5）已知如图，③、CB=BE⑥、∠ABC=∠EBF②、AC⊥CE④、CF⊥AB求证：⑤、AF=2EF①、AC=CE题目59（题53的逆命题6）已知如图，①、AC=CE④、CF⊥AB③、CB=BE⑥、∠ABC=∠EBF求证：⑤、AF=2EF②、AC⊥CE题目60（题53的逆命题7）已知如图，①、AC=CE②、AC⊥CE⑥、∠ABC=∠EBF④、CF⊥AB求证：⑤、AF=2EF③、CB=BE题目61（题53的逆命题8）已知如图，①、AC=CE②、AC⊥CE③、CB=BE⑥、∠ABC=∠EBF求证：⑤、AF=2EF④、CF⊥AB题目62（题53的逆命题9）已知如图，⑤、AF=2EF④、CF⊥AB③、CB=BE⑥、∠ABC=∠EBF求证：①、AC=CE②、AC⊥CE题目63（题53