空间中的平行关系

直线、平面平行的判定及其性质【高考要求】1.熟记直线和平面平行、平面和平面平行的判定定理和性质定理。2.灵活运用以上定理实现“线线”、“线面”、“面面”平行的转化。命题趋势1．从考查内容看，本节是高考每年的必考内容，主要考查平行的判定和性质，其中线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是高考的热点．2．从考查形式看，主要以解答题的形式出现，有时也以选择题、填空题的形式考查，属中档题．【知识梳理】1.直线与平面平行(1)判定定理:文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与_________的一条直线平行,则该直线与此平面平行⇒l∥α__________________laa∥l此平面内(2)性质定理:文字语言图形语言符号语言性质定理一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的_____与该直线平行⇒a∥b________________________a∥ab交线2.平面与平面平行(1)判定定理:文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条_____直线与另一个平面平行,则这两个平面平行⇒α∥β________________________________________ababPa∥b∥相交(2)性质定理:文字语言图形语言符号语言性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面_____,那么它们的______平行⇒a∥b________________________∥ab相交交线典型例题考点1：直线与平面平行、平面与平面平行的判定•例1•思路1：线面平行判定定理•关键找线线平行•思路2：利用面面平行•关键找两对互相平行的直线思路1：线面平行判定定理关键找线线平行思路2：面面平行【变式训练1】1.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,E是PA的中点.求证:PC∥平面EBD.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,M、N是PD、BC的中点.求证:MN∥平面PAB.【变式训练2】如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点.证明:BC1∥平面A1CD;证明线面平行的方法有哪些？•线面平行的判定定理•面面平行的定义•空间向量////aa证明面面平行的方法有哪些？•面面平行的判定定理•面面平行的传递性•线面垂直的性质•空间向量//ll考点2：直线与平面平行、平面与平面平行的性质•例2FPHEGACBQD证明线线平行的方法有哪些？•平面几何：定义、中位线、平行线分线段成比例、平行四边形、梯形•线面平行性质定理•面面平行性质定理•公理4：平行线传递性•线面垂直的性质：垂直于同一平面的两直线平行•空间向量【变式练习3】1.如图,四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证:AP∥GH.【证明】如图,连接AC交BD于点O,连接MO,因为四边形ABCD是平行四边形,所以O是AC的中点,又M是PC的中点,所以AP∥OM,又AP⊄平面BMD,OM⊂平面BMD,故有AP∥平面BMD.因为平面PAHG∩平面BMD=GH,所以AP∥GH.课堂小结重视三种平行间的转化关系线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是解决与平行有关的问题的指导思想,解题中既要注意一般的转化规律,又要看清题目的具体条件,选择正确的转化方向.思考：1////2////34////5,//6,////bbbbban判断：（）a,a,a//（）a,a//（）a,a//（）a,b//（）m,nm//（）aa•【变式练习4】•如右图所示，在空间四边形ABCD中，截面EFGH为平行四边形，•试证：BD∥平面EFGH，AC∥平面EFGH.•证明：∵截面EFGH为平行四边形，∴EH∥FG，根据直线•与平面平行的判定定理知：EH∥平面BCD，又EH⊂平面ABD，平•面ABD∩平面CBD＝BD，•根据直线与平面平行的性质定理知BD∥EH，•因此，BD∥平面EFGH，同理：AC∥平面EFGH.又在平行四边形ABCD中，CMAD.所以NEMC，即四边形MCEN是平行四边形．所以NMEC.又EC⊂平面ACE，NM平面ACE，所以MN∥平面ACE，即在PD上存在一点E，且E为线段PD的中点，使得NM∥平面ACE.12考点3：探索性问题•例3．【变式练习5】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面是平行四边形,PA⊥平面ABCD,点M,N分别为BC,PA的中点.在线段PD上是否存在一点E,使NM∥平面ACE?若存在,请确定点E的位置;若不存在,请说明理由.【解析】在PD上存在一点E，使得NM∥平面ACE，且E为线段PD的中点.证明如下：如图，取PD的中点E，连接NE，EC，AE，因为N，E分别为PA，PD的中点，所以NEAD.122.(2014·洛阳模拟)如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥平面ABC,若D是棱CC1的中点,在棱AB上是否存在一点E,使DE∥平面AB1C1?若存在,请确定点E的位置;若不存在,请说明理由.【解析】存在点E,且E为AB的中点.证明如下:取AB的中点E,BB1中点F,连接DE,DF,EF,则B1F∥C1D,B1F=C1D,所以四边形B1FDC1为平行四边形.所以DF∥B1C1.又DF⊄平面AB1C1,B1C1⊂平面AB1C1,所以DF∥平面AB1C1.同理EF∥平面AB1C1.因为DF∩EF=F,DF⊂平面DEF,EF⊂平面DEF,所以平面DEF∥平面AB1C1.因为DE⊂平面DEF,所以DE∥平面AB1C1.【规范解答11】平行关系证明的规范解答【典例】(12分)(2014·德州模拟)如图,几何体E-ABCD是四棱锥,△ABD为正三角形,CB=CD,CE⊥BD.(1)求证:BE=DE.(2)若∠BCD=120°,M为线段AE的中点,求证:DM∥平面BEC.【审题】分析信息,形成思路信息提取思路分析(1)△ABD为正三角形三角形三个内角相等,三边相等(2)CE⊥BD利用线线垂直确定线面垂直(3)∠BCD=120°,M为线段AE的中点,证明DM∥平面BEC利用中点构造三角形的中位线→找到线线平行→线面平行【解题】规范步骤，水到渠成(1)如图，取BD中点为O，①连接OC，OE，则由BC=CD,知CO⊥BD.……………………………………………………1分又CE⊥BD,EC∩CO=C,CO,EC⊂平面EOC,所以BD⊥平面EOC.所以BD⊥OE.………………………3分又因为O是BD中点，所以BE=DE.…………………………………………………4分(2)如图，取AB的中点N，连接DM，DN，MN，因为M是AE的中点，所以MN∥BE.…………………………6分又MN平面BEC，BE⊂平面BEC，②所以MN∥平面BEC.…………………8分又因为△ABD为正三角形，所以∠BDN＝30°，又CB＝CD，∠BCD＝120°，因此∠CBD＝30°，所以DN∥BC.③………………………10分又DN平面BEC，BC⊂平面BEC，②所以DN∥平面BEC.又MN∩DN＝N，故平面DMN∥平面BEC，又DM⊂平面DMN，所以DM∥平面BEC.………………………………………12分【点题】失分警示,规避误区失分点防范措施①处不知取点O或忽视O为BD的中点,而无法入手所求与已知中均有线段相等,即出现等腰三角形公共边问题,此种情况下,一般取底边的中点作辅助线失分点防范措施②处忽视MN⊄平面BEC和DN⊄平面BEC,造成步骤书写不完整利用判定定理证明直线与平面平行时,必须满足三个条件:第一,直线a在平面外;第二,直线b在平面内;第三,两直线平行,这三个条件缺一不可,特别是“直线a在平面外”容易忽视,在写步骤时不要忽略③处不能利用内错角相等,得出DN∥BC,从而无法求解证明线线平行要注意应用平面几何中的有关定理、性质【变题】变式训练,能力迁移如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AP=AB,BP=BC=2,E,F分别是PB,PC的中点.(1)求证:EF∥平面PAD.(2)求三棱锥E-ABC的体积.