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角的概念的推广－教学设计哈尔滨市交界职业高中杜银霞课题：角的概念推广（第一课时）教学目的：1.掌握用“旋转”定义角的概念，理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。2.掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法。3.从“射线绕着其端点旋转而形成角”的过程，培养学生用运动变化观点审视事物，从而深刻理解推广后的角的概念。教学重点：理解并掌握正角负角零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法。教学难点：终边相同的角的表示。设计理念：本节主要介绍推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念，终边相同的角的表示方法。树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念。教学方法可以选为讨论法，通过实际问题，使角的推广变得更为必要，如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等，都能形成角的概念，给学生以直观的印象，形成正角、负角、零角的概念，突出角的概念的理解与掌握。通过具体问题，让学生从不同角度作答，理解终边相同的角的概念，并给以表示，从特殊到一般，归纳出终边相同的角的表示方法，达到突破难点之目的。教学过程：一、复习引入：1．回忆：初中是如何定义角的？从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形。这种概念的优点是形象、直观、容易理解，角的范围是0°≤α≤360°，但其仅从图形的形状来定义角，弊端在于“狭隘”。2．生活中很多实例会不在范围0°≤α≤360°内。如：体操运动员转体，跳水运动员向内、向外转体经过1小时时针、分针、秒针转了多少度？这些例子不仅不在范围，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，用运动的思想来研究角的概念。二、讲解新课：1．角的概念的推广⑴“旋转”形成角一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角α．旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点．突出“旋转”注意：“顶点”“始边”“终边”⑵．“正角”与“负角”“零角”我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，“正角”与“负角”是由旋转的方向决定的。特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角．⑶意义用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。1°角有正负之分如：a=210°b=-150°g=660°2°角可以任意大实例：体操动作：旋转2周（360°×2=720°）3周（360°×3=1080°）3°还有零角一条射线，没有旋转角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角．要注意，正角和负角是表示具有相反意义的旋转量。2．“象限角”为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的正半轴重合，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限,我们称其为界限角）下面由学生自己分别举出终边在一、二、三、四象限的角以及界限角(各举两例)例如：30°、390°、-330°是第一象限角，-195°、120°是第二象限角,585°、1180°是第三象限角，300°、-60°是第四象限角。90°、0°、-180°都是界限角。3．终边相同的角⑴观察：390°，-330°角，它们的终边都与30°角的终边相同⑵探究：终边相同的角都可以表示成一个0°到360°的角与个周角的和：390°=30°+360°-330°=30°-360°30°=30°+0×360°对于任意一个角，若其终边与相同，那么它们之间都相差360°的整数倍。⑶结论：所有与角a终边相同的角连同a在内可以构成一个集合：{β|β=α+k·360°，k∈Z}（即：任何一个与角a终边相同的角，都可以表示成角a与整数个周角的和。）⑷注意以下四点：(1)k∈Z；(2)a是任意角；(3)k·360°与a之间是“+”号，如-30°，应看成+(-30°)；(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．三、讲解范例：例1：写出与下列各角终边相同的角的集合，并指出它们是哪个象限的角（1）30°（2）135°（3）225°（4）300°解：（1）与30°终边相同的角的集合是A={β|β=30°+k·360°，k∈Z}因为30°是第一象限角，所以集合A中的角都是第一象限的角。（2）与135°终边相同的角的集合是A={β|β=135°+k·360°，k∈Z}因为135°是第二象限角，所以集合A中的角都是第二象限的角。（3）与225°终边相同的角的集合是A={β|β=225°+k·360°，k∈Z}因为225°是第三象限角，所以集合A中的角都是第三象限的角。（4）300°与终边相同的角的集合是A={β|β=300°+k·360°，k∈Z}因为300°是第四象限角，所以集合A中的角都是第四象限的角。四、课堂练习：1．锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于90°的角是锐角吗？(答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定是锐角；小于90°的角可能是零角或负角故它不一定是锐角)2．已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的正半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？(1)420°，(2)-75°，(3)855°，(4)-510°．(答：(1)第一象限角，(2)第四象限角，(3)第二象限角，(4)第三象限角)作图时应注意：顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的正半轴上（图略）五、小结：本节课我们学习了正角、负角和零角的概念，象限角的概念，要注意如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限．本节课重点是学习终边相同的角的表示法．严格区分“终边相同”和“角相等”；“界限角”“象限角”；“小于90°的角”“第一象限角”和“锐角”的不同意义.六、课后作业：1.下列命题中正确的是()A.第一象限的角一定不是负角B.第二象限角一定是钝角C.第四象限角一定是负角D.若β＝α＋ｋ·360°（ｋ∈Ｚ），则α与β终边相同2.下列角中,与终边相同的角是()A.B.C.D.3.如果，那么角是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角4.若角α与β终边相同，则一定有()A.α＋β＝180°B.α＋β＝0°C.α－β＝ｋ·360°，ｋ∈ＺD.α＋β＝ｋ·360°，ｋ∈Z5.钟表经过4小时，时针与分针各转了(填度).6.在直角坐标系中，作出下列各角,并判断各为第几象限角(或界限角).(1)360°