非线性泛函分析

-1-参考书籍[1]李广民，宋国乡.非线性泛函分析及其应用.西安电子科技大学研究生教材讲义.1996.[2]薛小平，吴玉虎.非线性分析.科学出版社.2011.[3]郭大钧.非线性泛函分析.山东科学技术出版社.第二版.2002.[4]童裕孙.泛函分析教程,复旦大学出版社.2003.[5]Geraldteschl.NonlinearFunctionalAnalysis.~gerald/.2011.[6]KalausDeimling.NonlinearFunctionalAnalysis.Spring.1985.[7]JohnB.Conway.ACourseinFunctionalAnalysis.Springer.2ndedition.1990.[8]EberhardZeidler.NonlinearFunctionalAnalysisandItsApplication.Spring.1985.(共四卷)Vol.1不动点定理；Vol.2A线性单调算子；Vol.2B非线性单调算子；Vol.3变分法和优化；Vol.4数学物理中的应用[9]Kung-ChingChang(张恭庆).MethodsinNonlinearAnalysis.spring.2005.[10]胡适耕.应用泛函分析.科学出版社.2003.[11]定光柱.泛函分析新讲.科学出版社.2007.-2-非线性泛函分析杨有龙第一章非线性算子-1-在17世纪人们研究泛函极值问题采用的古典变分法，已经涉及到无穷维空间上的非线性映射，随着岁月的流逝，其后在自然科学和工程技术中出现了大量的非线性问题．例如Euler弹性问题、理想不可压缩流体的漩涡运动、量子场论、万有引力的相对论、固体中的相变等，以及像经济学、遗传学、生物学等领域均出现了非线性现象．直到20世纪30年代，在集合论的基础上，借助经典微积分和线性泛函分析的思想，人们建立抽象空间的微积分，它的建立和成熟发展启发人们用泛函分析的观点和方法研究各种非线性问题，标志着非线性分析的研究翻开了新的一页．本章研究和讨论非线性算子的基本概念、抽象空间的微积分、隐函数与反函数定理以及特殊的非线性算子—单调算子的概念和性质．第1节非线性算子的基本概念1.1有界与连续设X和Y是同一数域K上的线性赋范空间，若T是X的某个子集D到Y中的一个映射，则称T为子集D到Y上的算子．记为：:TDY→：如果,xyD∀∈，,αβ∀∈K，有()()()TxyTxTyαβαβ+=+，则称T为D上的线性算子；否则称T为非线性算子．如果0ε∀，0δ∃，当0xxδ−，有0TxTxε−，则称线性算子T在点0x处连续．若算子T在D中每一点都连续，则称T为D上的连续算子．如果存在0M，xD∀∈，有TxMx≤，则称T为D上的线性有界算子，或称T有界．线性算子T有诸多良好性质：T在某点0x处连续⇔T在整个定义域上连续⇔T为线性有界算子⇔T将定义域内的有界集映射为Y中的有界集．特别当X和Y均是Banach空间时，T为线性有界算子⇔T为闭算子．为了叙述的方便，下面假设X和Y均是实数域上的线性赋范空间，除特别指非线性泛函分析杨有龙第一章非线性算子-2-明外，算子的定义域默认为线性赋范空间X．定义1.1.1算子一致连续设:TXY→是从空间X到Y上的算子，如果0ε∀，0δ∃，对于任意的12,xxX∈，只要12xxδ−，就有12TxTxε−，那么称算子T在定义域X上一致连续．定义1.1.2算子有界设:TXY→是从空间X到Y上的算子，如果T将定义域内的任何一个有界集映射为Y中的有界集，那么称算子T在定义域X上有界．由前面的叙述可得：线性算子T有界的充分必要条件是0M∃，xX∀∈，有TxMx≤成立．然而对于非线性算子而言，当0M∃，xX∀∈，有TxMx≤成立时，可得T有界，但是逆向结论不成立，见下例1.1.1．例1.1.1实数域上的狄利克雷(Dirichlet)函数定义为：0()1xDxx⎧=⎨⎩为无理数为有理数由于()Dx的值域为有界集{0,1}，所以是有界算子；显然()Dx不是连续算子；可验证不存在0M，x∀∈R，使得有()DxMx≤成立时(为什么？)．()Dx还具有性质：①处处不连续；②处处不可导；③在任何区间内黎曼不可积；④是可测函数；⑤在单位区间[0,1]上勒贝格可积，且勒贝格积分值为1．由定义知，算子T一致连续时必然连续，下面的定理进一步说明算子T一致连续必有界．定理1.1.1设:TXY→是从空间X到Y上的一致连续算子，那么算子T在X上有界．证明只需证明T将X中的任意球{,}rSxxXxr=∈≤映成Y中的有界集(为什么？)．由于算子T一致连续，所以0ε∀，0δ∃，对于任意的12,rxxS∈，只要12xxδ−，就有12TxTxε−．非线性泛函分析杨有龙第一章非线性算子-3-当上述r和δ一旦取定，便可以选取适当的正整数n，使得(1)2nrδ−．设,rabS∈，令111iniixabnn−−=+−−(0,1,2,,(1)in=−)(怎么构造的？)可验证0121,,,,nxaxxxb−==这n个点均属于rS，且相邻两个元素满足条件1iixxδ−−，于是111(1)niiiTaTbTxTxnε−−=−≤−−∑显然(1)nε−与,ab的选择无关，故()rTS为Y中的有界集．□事实上，上述定理中的ix可在“线段”{(1),01}Mxxabλλλ==−+≤≤上等长取点，即分别取λ值：1220,,,,,1111nnnn−−−−．1.12全连续与紧算子定义1.1.3点列的极限(强收敛、弱收敛)设X是线性赋范空间，点列{}nxX⊂．若存xX∈使得lim0nnxx→∞−=成立，则称点列{}nx强收敛到x(或者依范数收敛到x；收敛到x)，记为limnnxx→∞=，或者limnnsxx→∞−=，或者nxx→．若存在xX∈使得*fX∀∈，有lim()()nnfxfx→∞=成立，则称点列{}nx弱收敛到x，记为limnnwxx→∞−=或者wnxx→．其中*X表示X的共轭空间*{:,}XffXf=→为线性有界泛函R，线性赋范空间的共轭空间为Banach空间．若点列{}nx强收敛(或者弱收敛)，则极限点唯一；若点列强收敛，则必弱收敛；若点列弱收敛，则点列必有界．对于算子的连续性除了依范数收敛的连续外，还有全连续和弱连续：定义1.1.4弱连续和全连续算子设X和Y是两个线性赋范空间，算子:TXY→非线性泛函分析杨有龙第一章非线性算子-4-(1)若T将X中的弱收敛点列映成Y中的强收敛点列，则称算子T全连续或强连续．(全连续：弱收敛点列→强收敛点列)weak-to-normcontinuous或者completelycontinuous(2)若T将X中的弱收敛点列映成Y中的弱收敛点列，则称算子T弱连续或半连续．(弱连续：弱收敛点列→弱收敛点列)weak-to-weakcontinuous(3)若T将X中的强收敛点列映成Y中的强收敛点列，则称算子T连续．(连续：强收敛点列→强收敛点列)norm-to-normcontinuous由于点列强收敛时必弱收敛，所以算子T全连续⇒连续；全连续⇒弱连续；(IfTisw-wcontinuous,thenitsgraphisweaklyclosed,aweaklyclosedsetisstronglyclosed,sothisgraphisstronglyclosed,andtherefore(byclosedgraphtheorem线性算子)norm-normcontinuous.–(Gedgar~edgar/)引理1.1.1设X为自反的线性赋范空间，则X的任一闭线性子空间Y是自反空间．(练习题1)引理1.1.2设X为自反的线性赋范空间，则X的任一有界点列{}nx必含有弱收敛子列{}knx．(练习题2)引理1.1.3设X是Banach空间，{}nxX⊂，若{}nx弱收敛到x，则{}nx有界．(见原泛函分析Ph4)定理1.1.2设X为自反的Banach空间，Y为Banach空间，若算子T:XY→弱连续，则T为X上的有界算子．证明设{}nx是X中的有界点列，下面证明{}nTx也是Y中的有界点列．假设在Y中{}nTx无界，于是存在单调递增子列，knTx→+∞(n→+∞)．显然相应的点列{}knx有界，由引理1.1.2知，有界点列{}knx含有弱收敛子列{}ix′，于是由算子T弱连续得，点列{}iTx′在Y中弱收敛，根据引理1.1.3可得{}iTx′有界，这与它是单调递增列knTx→+∞的子列相矛盾．故T为X上的有界算子．□定义1.1.5紧算子非线性泛函分析杨有龙第一章非线性算子-5-设X和Y是两个线性赋范空间，如果算子:TXY→是连续算子，且若点列{}nx在X中有界，则{}nTx在Y中有收敛子列，那么称T为紧算子．注：若T是线性算子，上述定义中的“连续”要求可以去掉．定理1.1.3设X为自反的Banach空间，Y为线性赋范空间，若算子T:XY→全连续，则T为紧算子．证明显然T为连续算子．设{}nx是自反空间X中的有界点列，由引理1.1.2知，点列{}nx必含有弱收敛子列{}knx，由算子T全连续性知，{}knTx为Y中有强收敛点列，可见算子T作用于有界点列{}nx，使得{}nTx在Y中有收敛子列{}knTx，故则T为紧算子．□注：对于非线性算子而言，上述定理1.1.3的逆一般不成立．例1.1.2设H是Hilbert空间，x∀∈H，()fxx=，试证:f→HR是紧算子，却不是全连续算子．证明由实数的完备性知，有界点列必有收敛子列，所以易知算子f是紧算子．设{}ne为H的完全标准正交系，那么x∀∈H，有1(,)kkkxxee∞==∑，221(,)kkxxe∞==∑可见当n→+∞时，有(,)0nex→．由Riesz表示定理知，**f∀∈H存在唯一的z∈H使得*()(,)nnfeez=可得*()(,)0()nnfeezn=→→+∞，于是点列{}ne弱收敛到0．然而()1nnfee==，即{()}nfe并不强收敛，故f不是全连续算子．□注意：事实上，由于2(,)2mnmnmneeeeee−=−−=，所以点列{}ne不强收敛，但是点列{}ne却弱收敛到0．对于线性算子而言，上述定理1.1.3的逆却成立．定理1.1.4设X是自反的Banach空间，Y为Banach空间，若T:XY→线性紧算子，则T为全连续算子．证明设X的点列{}nx弱收敛于0x，下证点列{}nTx在Y中强收敛于0Tx．非线性泛函分析杨有龙第一章非线性算子-6-假设{}nTx在Y中不强收敛于0Tx，则存在{}nTx的一个子列{}knTx，使得对于某个0ε，有0knTxTxε−．由{}nx弱收敛于0x知，{}knx弱收敛于0x，于是{}knx在X中有界．根据算子T紧性可得，{}knTx在Y中有收敛子列{}kjnTx，并记其收敛到0y，于是知{}kjnTx也弱收敛于0y．因为{}{}kjnnxx⊂且{}nx弱收敛于0x，所以{}kjnx也弱收敛于0x，在线性连续算子T的作用下，{}kjnTx弱收敛于0Tx．由弱极限的唯一性知00yTx=，于是{}kjnTx收敛到0Tx，这与前面的0knTxTxε−相矛盾(0knTxTxε−蕴含着{}knTx的任何子列均不收敛)．故原命题成立，可得T为全连续算子．□非线性泛函分析杨有龙第一章非线性算子-7-第2节抽象函数的微积分抽象函数是普通函数在Banach空间中的推广，是一类特殊的算子，关于算子的诸多定义概念依然具备．在学习一般算子的F和G微分前，作为铺垫本节学习抽象函数的微积分．X∗是X的共轭(或对偶)空间．定义1.2.1抽象函数设X是一个Banach空间，[,]ab⊂R，称映射():[,]xtabX→为[,]ab上的抽象函数．显然抽象函数是从区间[,]ab到Banach空间X的算子，当然就有抽象函数的连续和半连续(或弱连续)．连续和半连续