数学分析(3)期中考试卷(2012-2013)答案

（第1页，共4页）《数学分析(3)》A卷答案一.计算题（8分×7=56分）1.设3(,)yZxfxyx，其中f具有二阶连续的偏导数,求2,.ZZxxy解：23123Zxfxyfxyfx23412112242Zxfxfxyfyfxy2.求椭球面22223498xyz平行于平面357xyz的切平面方程.解：3583xyzor3583xyz3.设22zxy，其中()yfx是由方程221xxyy所确定的隐函数,求22,.dududxdx解：222(),2duxydxxy2232(2)6.2(2)duxyxdxxyxy4.求函数4422(,)2fxyxyxxyy的极值.解：求得稳定点(0,0),(1,1),(1,1).极小值点(1,1),(1,1),极小值为(1,1)(1,1)2.f5.若23(,,)fxyzxyzxyz，求(,,)fxyz在点(5,1,2)A处沿到点(9,4,14)B的方向导数()ABfA和梯度()gradfA.解：80(),13ABfA()(1,0,7).gradfA6.设隐函数组(,),(,)uuxyvvxy由方程组2222uuvxyuvvxy所确定，求（第2页，共4页）,,,.uuvvxyxy解：解方程组得2222221uuvuuvuyxxxxuvvvvuvxxxx2222221uuvuuvuxyyyyuvvvvuvyyyy7.利用含参量反常积分的性质计算：2220(0,0).axbxeedxabx解：2220().axbxeedxbax二.讨论分析题（10分+8分=18分）8.设222,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)xyxyfxyxyxy，试分析),(yxf在(0,0)的可微性.解：),(yxf在点(0,0)处不可微.9.设22(,),xyxyfxyxy试讨论(,)fxy在(0,0)的重极限与累次极限.解：22(,)(0,0)limxyxyxyxy不存在(找两条特殊路径如动点(,)xy沿yx或x轴趋向于(0,0))；2200limlim1;yxxyxyxy2200limlim1.xyxyxyxy三.应用题（10分）(考生答题不得超过此线)(考生答题不得超过此线)（第3页，共4页）10.过椭圆2212516xy上任一点作切线，交,xy轴分别为,AB点，求线段AB的最小值.（提示：利用Lagrange乘数法求解）解：Step1.设00(,)xy为椭圆上不在坐标轴上的任意一点，过00(,)xy的切线方程为000016()25()0.xxxyyyStep2.过00(,)xy的切线与,xy轴的交点分别为002516(,0),(0,).ABxyStep3.利用Lagrange乘数法.本题即求222625196dxy在条件2212516xy下的最小值.构造Lagrange函数：2222625196(,,)(1)2516xyLxyxyStep4.当椭圆上动点趋于(5,0)，(5,0)，(0,4)，(0,4)时，22625196.dxyStep5.求得线段AB的最小值为9.结论：过椭圆22221xyab上任一点作切线，交,xy轴分别为,AB点，则线段AB的最小值为.ab四.证明题（8分×2=16分）11.设(,)zzxy是由方程(,)0Fxzyz所确定的隐函数，其中F具有二阶连续的偏导数，证明：2222220.zzzxxyy证明：令,,uxzvyz于是由链式法则可得xuFF,yvFF，().zuvFFF由隐函数求偏导公式有,xuzuvFFzxFFF.yvzuvFFzyFFF从而有：1.zzxy上式分别对x与y求偏导数，又得2222220,0.zzzzxyxxyy注意到22,zzyxxy上面两式相加即证得2222220.zzzxxyy（第4页，共4页）12.证明含参量反常积分20cosxydyy在[,]上一致收敛,其中[0,1).证明：首先有2221001coscoscos.xxxyyydydydyyyy一方面，(,)[,](0,1],xy有2cos11,xxyyyy而反常积分101([0,1))dyy收敛，由Weierstrass判别法知210cosxydyy在[,]上一致收敛.另一方面，令2,yt得211122coscos.2xxytdydtyt对于任何1,N有1cossinsin12.NtdtN[,](1,1),x函数12212xt关于t单调递减，且由1112222111,lim0,222xtttt知当t时，12212xt在[,]上一致收敛于0.于是由Dirichlet判别法知1122cos2xtdtt在[,]上一致收敛.综上所述，20cosxydyy在[,]上一致收敛.Exercises：P2171,2