数学分析-第二十二章-曲面积分

第二十二章曲面积分§1第一型曲面积分§2第二型曲面积分§3高斯公式与斯托克斯公式一、概念的引入若曲面是光滑的,它的面密度为连续函数),,(zyx,求它的质量.实例所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面,且当点在曲面上连续移动时,切平面也连续转动.§1第一型曲面积分分割取近似求和取极限.),,(lim10niiiiiSM把分成n小块iS（iS也表示第i小块曲面的面积）..SM匀质之质量非匀质之质量，用元素法解决定义1设S为可求面积的曲面,为定义在S上的函数.对曲面S作分割T,将S分成n个小曲面块Si(i=1,2,...,n),Si的面积记为在Si任取一点若极限niiiiiTSf10||||),,(lim存在,则称此极限为f(x,y,z)在S上的第一型曲面积分,记作Sszyxfd),,(面积元素01(,,)dlim(,,)niiiiifxyzSfS被积函数积分曲面积分和式即（2）第一型曲面积分具有与第一型曲线积分相类似的性质.注：（1）当),,(zyxf在光滑曲面上连续时,Szyxfd),,(存在.2.对面积的曲面积分的性质则及可分为分片光滑的曲面若,)3(21;),,(),,()1(dSzyxfkdSzyxkfdSzyxgzyxf)],,(),,([)2(;),,(),,(dSzyxgdSzyxf.),,(),,(),,(21dSzyxgdSzyxfdSzyxf特别，的面积。dS时，当1),,(zyxf3.用曲面积分表示与物质曲面有关的物理量则上连续在设面密度,),,(zyxf;d),,(Szyxfm曲面质量,d),,(1Szyxxfmx曲面质心坐标,d),,(1Szyxyfmy.d),,(1Szyxzfmz则面上的投影区域为在若曲面,),,(:.1xyDoxyyxzz按照曲面的不同情况分为以下三种：记忆口诀：“一投，二换，三代”..dd1)],(,,[22yxzzyxzyxfxyDyxSzyxfd),,(二第一型曲面积分的计算);),,(,(),,(),(:zzxyxfzyxfzxyy;),(),(122dxdzzxyzxydSzx.xzDxoz面投影，得向将曲面,则三代：二换：一投：2.(,)yyxz若曲面：Szyxfd),,(.dd1]),,(,[22xzyyzzxyxfzxDzx3.(,)xxyz若曲面：,则三代：);,),,((),,(),(:zyzyxfzyxfzyxx二换：;),(),(122dydzzyxzyxdSzy一投：.yzDyoz面投影，得向将曲面.dd1],),,([22zyxxzyzyxfyzDzySzyxfd),,(注：（1）这里积分曲面的方程必须是单值显函数，否则可利用可加性，分块计算，结果相加（2）把曲面投影到哪一个坐标面，取决于曲面方程即方程的表达形式（3）将曲面的方程代入被积函数的目的和意义是把被积函数化为二元函数（4）切记任何时候都要换面积元（5）若曲面为参数方程,只要求出在参数意义下dS的表达式,也可将对面积的曲面积分转化为对参数的二重积分.定理22.1设有光滑曲面f(x,y,z)在S上连续,xyDyxf),,(),(yxz则第一型曲面积分的计算的证明xyzO证明由定义知01lim(,,)nkkkkifS22()1(,)(,)ddkxyxyzxyzxyxy221(,)(,)()xkkykkkxyzz而()kxy(,)kkkSxz),(:yxzzo(,,)kkkyxkkkykkxzz)(),(),(122yxkkkykkxzz)(),(),(122yxyxzyxzyxfyxDyxdd),(),(1),,(22)),(,,(kkkkzf)),(,,(kkkkzfSzyxfd),,((光滑)例1解计算zdS,其中是球面2222azyx被平面)0(ahhz截出的顶部.hxyzoaaa面投影，得向将曲面xoy.:222yxaz.:2222hayxDxy,222yxaxzx.222yxayzydxdyyxzyxzdSyx),(),(122,222yxaxzx.222yxayzy.222dxdyyxaazdSdxdyyxaayxaxyD2222221dxdyyxaaxyD1222hxyzoaaa.0,20:22harDxyzdSdxdyyxaaxyD1222hxyzoaaa.0,20:22harDxy.sin,cosryrx.ln2haa思考:若是球面被平行平面z=±h截出的上下两部分,d()Szd()Sz0π4lnhaa则hhxzy例2解所以，.sin,cosryrx面投影，得向将曲面yoz.:222zyax.0,:222yazyDyz,222zyayxy.222zyazxzxyzoaaadydzyxxyxxdSzy),(),(122.222dydzzyaadydzyxxyxxdSzy),(),(122.222dydzzyaaxyzoaaa.0,22:arDyzxyzoaaa.0,22:arDyz.sin,cosrzry例3解计算dSxyz,其中是由平面,0x,0y,0z及1zyx所围成的四面体的整个边界曲面..4321xyzo1111234.0:1x.0:2ydSxyzdSxyzdSxyzdSxyzdSxyz4321.0:1xdSxyzdSxyzdSxyzdSxyzdSxyz4321.0:2y.0:3zdSxyzdSxyzdSxyzdSxyzdSxyz4321dSxyz4312xyzo1114.1:4yxzdSxyzdSxyzdSxyzdSxyzdSxyz4321dSxyz4面投影，得向将曲面4xoy.10,10:xyxDxy,1xz.1yzdxdyyxzyxzdSyx),(),(122.3dxdy312xyzo1114dSxyzdSxyz4dxdyyxxyXYD3)1(dyyxxydxx)1(31010.1203,1xz.1yzdxdyyxzyxzdSyx),(),(122.3dxdy312xyzo1114计算dszyx)(,其中为平面5zy被柱面2522yx所截得的部分.例4积分曲面：yz5,解投影域：}25|),{(22yxyxDxydszyx)(故xyDdxdyyyx)5(2xyDdxdyx)5(2rdrrd5020)cos5(2.2125dxdyzzdSyx221dxdy2)1(01,2dxdy计算xdS,其中是圆柱面122yx,平面2xz及0z所围成的空间立体的表面.例5解321其中1：0z,2：2xz,3：122yx.投影域1D：122yx显然011DxdxdyxdS,,01112DdxdyxxdS讨论3时,将投影域选在xoz上.（注意：21xy分为左、右两片）3xdS31xdS32xdS（左右两片投影相同）xzDzxdxdzyyx2212xozxzDdxdzxxx221121120212xdzdxxx,xdS00.例6计算曲面积分其中S为立体的边界曲面.解设所以zzd例7计算其中是介于平面之间的圆柱面分析若将曲面分为前后(或左右)则HzRzRI022d2RHarctan2oHxyz解取曲面面积元素两片,则计算较繁.例8计算.:2222Rzyx解取球面坐标系,则0cos)cosd(2RRR02dcossinRR20d例9.已知物质球面上每点的面密度等于该点到球的某一定直径的距离的平方，求其质量m.解：设定直径在z轴上，球面方程为2222:Rzyx.),,(zyxM为球面上的任一点，则面密度22),,(yxzyxf，质量Syxmd)(22.,d)(31ddd222222SzyxSzSySx故具有轮换对称性关于由于曲面,zyx，，Szyxd)(32222SRd322.38432422RRRSyxmd)(22故四、小结2、对面积的曲面积分的解法是将其化为投影域上的二重积分计算.1、对面积的曲面积分的概念;dSzyxf),,(iiiniiSf),,(lim10（按照曲面的不同情况分为三种）作业：P282:1(1)~(4)，2，3.思考题在对面积的曲面积分化为二重积分的公式中,有因子,试说明这个因子的几何意义.221yxzz思考题解答是曲面元的面积,dS2211),cos(yxzzzn221yxzz故是曲面法线与轴夹角的余弦的倒数.z习题二(P193)作业1；2；4；5；6.一、填空题:1、已知曲面的面a积为,则ds10_______；2、dszyxf),,(=yzDzyzyxf),),,((________dydz；3、设为球面2222azyx在xoy平面的上方部分,则dszyx)(222____________；4、zds3_____,其中为抛物面)(222yxz在xoy面上方的部分；5、dsyx)(22______,其中为锥面22yxz及平面1z所围成的区域的整个边界曲面.练习题二、计算下列对面积的曲面积分:1、dszxxxy)22(2,其中为平面622zyx在第一卦限中的部分；2、dszxyzxy)(,其中为锥面22yxz被柱面axyx222所截得的有限部分.三、求抛物面壳)10)((2122zyxz的质量,此壳的面密度的大小为z.四、求抛物面壳)10()(2122zyxz的质量，此壳的面密度的大小为.z练习题答案一、1、a10；2、22)()(1zxyx；3、42a；4、10111；5、221.二、1、427；2、421564a.三、6.四、)136(152.第二十二章曲面积分§2第二型曲面积分•曲面分类双侧曲面单侧曲面莫比乌斯带曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分左侧和右侧(单侧曲面的典型)一、基本概念L设连通曲面S上处处有连续设M0为曲面S上一点，确定方向为正方向，另一个方向为负方向.L为S上任一经过点M0且不超出S边界的闭曲线.设点M从M0出发，沿L连续移动，M在M0点与M00ML变动的切平面（或法线）曲面在M0点的一个法线有相同的法线方向，当点M连续移动时，其法线方向也连续变动，最后当M