数学分析复习题及答案

数学分析复习题及答案一.单项选择题1．已知xexxf3)(，则)0(f=（）A.1B.2C.3D.42．设3)21(limexkxx，则k（）A.6B.23C.32D.233．dxxex（）A.CexB.CexexxC.CexxD.Cex14．下列函数在),(内单调增加的是（）A.xyB.xyC.3xyD.xysin二、填空题1．设函数dzezyx则全微分,22．.______________23sinlim0xxx3．0)1ln()(00sin)(xxxkxkxxxxf为常数在0x处连续，则_________a三、判断题1．若函数f在区间),(ba上连续，则f在),(ba上一致连续。（）2．实轴上的任一有界无限点集S至少有一个聚点。（）3．设f为定义在)(0xU上的单调有界函数，则右极限)(lim0xfxx存在。（）四、名词解释1．用的语言叙述函数极限的定义2．用N的语言叙述数列极限的定义五、计算题1．根据第四题第1小题证明04)1(lim2nnnn2．根据第四题第2小题证明5311lim22xxx3．设nnnxxxxxxx11,,11110010，，求证nnxlim存在，并求其值。4．证明：2)(xxf在ba,上一致连续，但在,上不一致连续。5．证明：若)(0xf存在，则xxxfxxfx)()(lim000)(20xf6．证明：若函数)(xf在0x连续，则)(xf与)(2xf也在0x连续，问：若在)(xf或)(2xf在I上连续，那么)(xf在I上是否必连续。一、1.D2.C3.B4.C二、1.dyedxeyxyx2222.233.1三、1.×2.√3.√四、1.函数极限定义：设函数f在点0x的某个空心邻域);(0xU内有定义，A为定数。0，0，当00xx时，Axf)(，则Axfxx)(lim0。2.数列极限定义：设为数列}{na，a为定数，0，0N，当Nn时，有aan，则称数列}{na收敛于a。五、1.证明：212121414)1(22nnnnnnnnn)2(n0，21N，当Nn时，4)1(2nnn；得证。2.证明：)13()2()1(5)13)(2(531122xxxxxxx令1)2(x，则31x，此时，1013x，0，10,1min，当20x时，53112xx3.证明：⑴211nx，2111nnnxxx⑵)1)(1(1111111nnnnnnnnnnxxxxxxxxxx而01xx，由数学归纳法可知，nx单调增加。综合⑴，⑵可知nnxlim存在，设Axnnlim，则由),11(limlim1nnnnnxxxAAA11解得A215（负数舍去）4.证明：先证2)(xxf在ba,上一致连续。0，取)1(ba，则当xx,ba,且有xx时，有xxxxxxxfxf))(()()()(2)1(2baba故2)(xxf在ba,上一致连续。但2)(xxf在,上不一致连续。取10，无论0取得多小，由01limnn知，只要n充分大，总可以使nnx1'，nx''的距离nxx1'''，但0221)1(2)1()''()'(2nnnnxfxf故2)(xxf在,上不一致连续。5.证明：若)(0xf存在，则xxxfxxfx)()(lim000)(20xf证明：由导数的定义，有)(0xfxxfxxfx)()(lim000⑴而0x等价于0x，故)(0xfxxfxxfx)()(lim000⑵⑴和⑵相比，得)(20xfxxfxxfxfxxfx))()(())()((lim00000xxxfxxfx)()(lim0006.证明：因为)(xf在0x连续，所以)()(lim00xfxfxx，则0，0，当00xx时，)()(0xfxf则有)()()()(00xfxfxfxf，所以)()(lim00xfxfxx即)(xf在点0x连续。又因为)()(022xfxf)()()()(00xfxfxfxf且)(xf在0x连续，.0,0,0NM当0xx时，MfNxf)0(,)(00，},min{1取，则当10xx时，有)()(022xfxf)()()()()(00NMxfxfxfxf因此)()(lim0220xfxfxx所以)(2xf在点0x连续。若)(xf在I上某点0x的值0)()(00xfxf，则0x是)(xf的可去间断点，从而I上未必连续