数学分析教程(上册) 常庚哲 史济怀 习题解答 1.1-3.4

练习题1.1January21,20131第第第一一一章章章实实实数数数和和和数数数列列列极极极限限限1.1数数数轴轴轴1.1.1反反反证证证法法法。。。设设设r=mn是是是有有有理理理数数数，，，w是是是无无无理理理数数数。。。若若若r+w=pq，，，则则则w=pqmn=pnqmqn为为为有有有理理理数数数，，，与与与题题题设设设相相相悖悖悖联联联系系系“““有有有理理理数数数域域域”””的的的概概概念念念，，，即即即加加加减减减乘乘乘除除除四四四则则则运运运算算算封封封闭闭闭，，，用用用反反反证证证法法法。。。1.1.2根根根据据据“““对对对任任任意意意实实实数数数，，，总总总有有有rn!x”””，，，仿仿仿照照照本本本节节节的的的方方方法法法构构构造造造一一一个个个有有有理理理数数数列列列pqr1+r22p+1qq!1即即即得得得证证证；；；利利利用用用此此此有有有理理理数数数列列列和和和例例例1的的的结结结论论论构构构造造造p√p2+1p+1无无无理理理数数数列列列（（（当当当q充充充分分分大大大时时时，，，p也也也充充充分分分大大大）））即即即得得得证证证。。。1.1.3反反反证证证法法法。。。3p2=mn于于于是是是m3=2n3,利利利用用用奇奇奇偶偶偶性性性：：：m为为为偶偶偶数数数则则则m3=(2p)3=2n3，，，4p3=n3n也也也为为为偶偶偶数数数；；；而而而mn约约约分分分为为为最最最简简简形形形式式式后后后不不不可可可能能能都都都为为为偶偶偶数数数。。。1.1.4反反反证证证法法法。。。利利利用用用例例例1的的的结结结论论论，，，(p2+p3)2=5+2p6不不不是是是完完完全全全平平平方方方数数数，，，即即即得得得证证证。。。1.1.5(0,0)是是是有有有理理理点点点。。。反反反证证证法法法。。。直直直接接接展展展开开开，，，x22p2x+y2=0，，，按按按照照照第第第1题题题结结结论论论，，，上上上式式式左左左边边边是是是无无无理理理数数数，，，而而而右右右边边边是是是零零零。。。1.1.6当当当ab0时时时，，，取取取等等等号号号；；；当当当ab0时时时，，，jjajjbjjmax(jaj;jbj)jaj+jbj=ja+bj。。。1.1.7a，，，b符符符号号号相相相同同同，，，则则则ab0。。。1.1.8数数数轴轴轴上上上，，，x到到到1的的的距距距离离离小小小于于于其其其到到到1的的的距距距离离离。。。1.1.9归归归纳纳纳法法法。。。n=2时时时成成成立立立，，，设设设jn∑i=1aij6n∑i=1jaij，，，于于于是是是jn∑i=1aij=jn∑i=1ai+an+1j6jn∑i=1aij+jan+1j6n∑i=1jaij+jan+1j=n+1∑i=1jaij1.1.10按按按ab;ab;a=b讨讨讨论论论即即即证证证。。。max(a,b)=a+b2+jabj2表表表示示示从从从a;b的的的中中中点点点出出出发发发，，，向向向前前前（（（数数数轴轴轴正正正向向向）））一一一半半半的的的a;b间间间距距距，，，正正正好好好是是是a;b中中中较较较大大大者者者。。。min(a,b)=a+b2jabj2表表表示示示从从从a;b的的的中中中点点点出出出发发发，，，向向向后后后（（（数数数轴轴轴负负负向向向）））一一一半半半的的的a;b间间间距距距，，，正正正好好好是是是a;b中中中较较较小小小者者者。。。1.1.11证证证明明明：：：m6aibi6Mbim6ai6Mbimn∑i=1bi6n∑i=1ai6Mn∑i=1bi1因为b1;b2;


;bn都是正数，n∑i=1bi0,所以m6a1+a2+


+anb1+b2+


+bn6M1.1.12归归归纳纳纳法法法。。。n=2显显显然然然；；；设设设(1+x)n1+nx,又又又x1,则则则(1+x)n(1+x)(1+nx)(1+x)1+(n+1)x1.1.13由由由对对对称称称性性性，，，只只只需需需考考考察察察06xy，，，原原原式式式等等等价价价于于于xm(ynxn)+ym(xnyn)60(xmym)(ynxn)602练习题1.2January24,20131第第第一一一章章章实实实数数数和和和数数数列列列极极极限限限1.1数数数轴轴轴1.2无无无尽尽尽小小小数数数1.2.1直直直接接接证证证明明明；；；任意有理数pq，对于确定的q，可按其除q的余数将整数分成q类；由除法过程，进位后的被除数必然属于某一同余类，从而至多经过q次，余数就会重复出现，所以pq不是有尽小数就是无尽循环小数；任意无尽循环小数a=0:_a1···_an，则a×10n=0:0···0|{z}n个0_a1···_an，两式相减得a×10n110n=0:a1···an，于是a=a1


an10n1=a1


an9···9|{z}n个9为有理数。1.2.2实实实数数数一一一一一一对对对应应应←→长长长度度度一一一一一一对对对应应应←→无无无尽尽尽小小小数数数（（（公公公理理理）））由上题有理数⇐⇒循环小数（有尽小数看做0循环），故无理数⇐⇒无尽不循环小数。1.2.30:24999···=0:25=14，，，0:_37_5=375999=125333，，，4:_51_8=4518999=41427=12227注意0:_9=1，可用极限来定义无尽不循环小数。1.2.4反反反证证证法法法；；；无尽不循环的性质很明显，对任意固定的n，总可以有连续n位是0，也可以有连续n位是1，于是只要假设存在循环节，总能找出反例。1.2.5（（（1）））反反反证证证法法法；；；若s̸=0，则√2=−rs为有理数（注意有理数域的概念，习题1.1）；（2）设法化为（1）的情况；平方，r+s√2=−t√3，(r+s√2)2=(−t√3)2。1.2.6归归归纳纳纳法法法；；；(1+a1)···(1+an)(1+an+1)(1+a1+···+an)(1+an+1)=1+a1+···+an+an+1+n∑i=1aian+1条件a1;a2;···;an同号使得上式∑中各项均为正。11.2.7从从从结结结论论论出出出发发发；；；直接应用上题结论，两式右边即得证；观察（1）式左边恰是（2）式右边的倒数，若1∏(1a)∏(1+a)即得证；而∏(1−a)∏(1+a)=n∏i=1(1−a2i)12练习题1.2January24,20131第第第一一一章章章实实实数数数和和和数数数列列列极极极限限限1.1数数数轴轴轴1.2无无无尽尽尽小小小数数数1.3数数数列列列极极极限限限1.3.1“““N”””（（（1）））11+pn1pn，，，取取取n12（（（2）））sinnn61n，，，取取取n1（（（3）））原原原式式式单单单调调调递递递减减减，，，故故故可可可取取取2n，，，(2n)!(2n)2nnn(2n)n(2n)2n=(12)n，，，由由由例例例3知知知可可可取取取nlnln12（（（4）））j(1)n1nj1n，，，取取取n1（（（5）））j2n+35n1025j=j75n10j，，，取取取n15(7+10)（（（6）））j0:9


91j=10n，，，取取取nln1ln10（（（7）））j1+2+


+nn212j=j(n+1)n2n212j=12n，，，取取取n12（（（8）））j12+22+


+n2n313j=jn(n+1)(2n+1)6n313j=3n2+n6n33n2+n26n3=23n，，，取取取n23（（（9）））jarctann2j=2arctann，，，arctann2，，，取取取ntan(2)（（（10）））2arctann2=n2arctannn2+n26n2arctann1+n2arctann2+，，，取取取nmax{tan(2);tan(2)}1.3.2按按按定定定义义义；；；jjanjjajj6janaj，即得证；逆命题不成立，如an=(1)n1.3.3按按按定定定义义义；；；取=12，若k2(A;A+)，则k1AkA+k+1，则(A;A+)中不含其它整数。1.3.4按按按定定定义义义重重重新新新叙叙叙述述述即即即可可可；；；（（（1）））不不不能能能；；；如如如f1;1;1;1;


g即即即an=(1)n，，，取取取a=11（（（2）））不不不能能能；；；如如如{12;12;12;12;


}即即即an=12(1)n，，，取取取a=0（（（3）））可可可以以以；；；极极极限限限定定定义义义中中中任任任意意意正正正数数数的的的“““任任任意意意”””强强强调调调的的的是是是任任任意意意小小小，，，1约约约束束束不不不起起起作作作用用用；；；（（（4）））可可可以以以；；；1k，，，1k本本本身身身是是是无无无穷穷穷小小小（（（k!1）））（（（5）））可可可以以以；；；即即即从从从某某某项项项起起起，，，后后后面面面各各各项项项全全全在在在(a;a+)中中中，，，取取取=minf;g即即即可可可。。。1.3.5对对对于于于数数数列列列fang，，，有有有00;使使使得得得8n2N;9n0n;s:t:janaj0或者说fang有无限项在区间(a0;a+0)以外。1.3.6从从从结结结论论论出出出发发发（（（观观观察察察法法法）））；；；或或或利利利用用用递递递推推推公公公式式式；；；（1）整理条件易得an+bn+cn=an1+bn1+cn1=


=a+b+c暂不考虑存在性，对条件两边取极限，可以解出limn!1an=limn!1bn=limn!1cn=a+b+c3从此结论出发，按定义anjana+b+c3j=13j2anbncnj于是考察anbn;ancn由原条件易得anbn=12(an1bn1)等比数列jqj1，得证。（2）将三个条件循环代入得an=12(bn1+cn1)=12(an2+cn22+an2+bn22)=12(an2+cn2+bn22)=12(an2+an1)求通项公式，通常以两个等比数列为坐标；令q212q12=0解得q1=12;q2=1于是{an+12an1}为公比是q=1的等比数列，fanan1g为公比是q=12的等比数列，于是an=2(an+12an1)+(anan1)3代入通项公式，再求极限即得证。fang的通项公式也可以由两个等比数列之一用初等方法推出。2练习题1.4January25,20131第第第一一一章章章实实实数数数和和和数数数列列列极极极限限限1.1数数数轴轴轴1.2无无无尽尽尽小小小数数数1.3数数数列列列极极极限限限1.4收收收敛敛敛的的的性性性质质质1.4.1唯唯唯一一一性性性、、、有有有界界界性性性、、、子子子列列列、、、四四四则则则运运运算算算、、、无无无穷穷穷小小小、、、夹夹夹逼逼逼准准准则则则、、、保保保号号号性性性（（（1）））不不不能能能判判判定定定；；；如如如{n}+{n};{n}+{−n}，，，{(−1)n}×{(−1)n};{n}×{n}（（（2）））发发发散散散；；；反反反证证证法法法，，，利利利用用用四四四则则则运运运算算算性性性质质质bn=(an+bn)−an（（（3）））发发发散散散；；；反反反证证证法法法，，，利利利用用用四四四则则则运运运算算算性性性质质质bn=anbnan（（（4）））不不不能能能判判判定定定；；；如如如{0}×{n};{1n}×{n2}（（（5）））不不不能能能判判判定定定；；；如如如sinn612n+sinn61n+sinn，，，n612n+n61n+n1.4.2按按按定定定义义义；；；充分靠后时an+1;an∈(a−;a+)故1−2a−a−a+an