(16-20讲)广猛说题(中考数学压轴题破解之道)

1第16讲最值之“胡不归模型”知识必备一、正弦的定义如图16-1-1，在Rt△ABC中，有sinA=,sinB=,从而有=c∙sinA,b=c∙sinB.二、垂线段最短直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，简称“垂线段最短”.方法提炼一、古老传说从前,有一个小伙子在外地学徒,当他获悉在家的老父亲病危的消息后.便立即启程赶路.由于思乡心切,他只考虑了“两点之间线段最短”的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径A→B(如图16-2-1),而忽视了走折线路径A→D→B虽路程多但速度快的实际情况.当他气喘吁吁地赶到家时,老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭.邻居劝慰小伙子时告诉他,老人弥留之际不断念叨着“胡不归?胡不归?...”这个古老的传说,引起了人们的思索,小伙子能否提前到家?倘若可以,他应该选择一条怎样的路线?这就是风靡千百年的“胡不归问题”,一直到十七世纪中叶,才由法国著名科学家费尔马揭开了它的面纱.二、模型建立用现代的数学语言表达出来就是:已知在驿道和砂地上行走的速度分别为V1和V2,在AC上找一定点D,使从A→D→B的行走时间最短.简析第一步(问题数学化):设总时间为t,则t=ADV1+DBV2,这里V1V2,且均为常数,即只要使t最小；这是一个系数不为1的最值问题；第二步(提取“大系教”):由V1V2知1V11V2,提取1V2得t=1V2,(V2V1∙AD+DB),注意V1与V2均为常数,故只要使V2V1∙AD+DB最小；第三步(构造三角函数):如图16-2-2,过定点A在驿道的下方作射线AE,使它们的夹角为α，且sinα=V2V11,作DG⊥AE于点G，则DG=AD∙sinα=V2V1∙AD；2故V2V1∙AD+DB=DG+DB，转化为DG+DB最小；第四步（垂线段最短）：注意AE是一条定射线，再作BH⊥AE于点H，交驿道所在直线于点D',则点D'即为所要寻找的点，此时DG+DB取最小值为BH；因此t=1V2V2V1∙AD+DB=DG+DBV2≥BHV2=AB∙sin∠ㄠ㠳V2，期中V2、AB及∠ㄠh均为常值，即所需时间的最小值为AB∙sin∠ㄠ㠳V2.至此，“胡不归”模型得到完美解决.如果这个小伙子选择了先沿着驿道快马加鞭走到点D'位置，然后再直冲家门，或许他还有希望见到自己的老父亲最后一面，多么凄美的故事啊！反思“胡不归”问题是型如“∙AD+∙DB”的“两定一动型”最值问题,其中A、B为定点,D为动点,、为正的常数；解决的关键是“两次系数化为1”:①若、均不为1,则提取较大系数，将其中一个系数先化为1；②借助正弦的定义,构造锐角α,将另一个系数也化为1；最终只需利用“垂线段最短”原理即可解决问题；特别提醒：这里应该过定直线(驿道)上的定点(A)在该直线的另一侧构造所需的锐角α,如本例中过定点A向驿道的下方构造锐角α,使sinα=V2V11三、举例说明如图16-2-3，已知D为射线AB上一动点，∠ㄠ䁞=ꀀ香,ㄠ䁞=2ꀀ，当AD=___________,时，AD+2CD取最小值____________.简析如图16-2-4，作∠ㄠh=ꀀ香，作DG⊥AE于点G，则AD+2CD=212AD+CD=2(DG+CD)；再作CH⊥AE于点H，交AB于点D'，则AD+2CD=2DG+CD≥2CH，又∠䁞ㄠ㠳=耀香,故CH=AC∙sin耀香=ꀀ，且∠ACD'=ꀀ香，易得AD'=2；即当AD=AD'=2时，AD+2CD取最小值为耀实战分析例1如图16-3-1,已知海岛A到海岸公路BC的距离AB=50km,B、C间的距离为100km,从A到C必须先坐船到BC上的某一点D,航速为25km/h，再乘汽车到C,车速为50km/h,记∠BDA=θ.3问当θ为多少时,由A到C所用的时间t最少?简析由题知t=AD25+DC5香=125（AD+12DC）；如图16-3-2,作∠BCE=ꀀ香,作DG⊥CE于点G,则12DC=DG,故t=125AD+DG;再作AH⊥CE于点H,交BC于点D',则点D'即为要找的点,此时θ=∠CD'H=耀香，t最小.例2如图16-3-3，在平面直角坐标系中，AB=AC，A（0,22）,C(1,0),D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C,点P在AD上的运动速度是CD上的3倍，要使整个过程运动时间最少，则点D的坐标应为_______________.简析设点P在CD上的速度为υ，在AD上的速度为3υ，则总时间t=ADꀀυ+DCυ=1υ（ADꀀ+DC）；如图16-3-4，作DG⊥AB于点G，由题易知sin∠ㄠh=sin∠䁞ㄠh=1ꀀ，则DG=AD∙sin∠ㄠh=ADꀀ，故t=DG+DCυ；再作CH⊥AB于点H,交AO于点D'，则t=DG+DCυ≥CHυ，当且仅当点D与D'重合时取等号，即此时t最少，且易得tan∠OCD'=tan∠ㄠh=24，由OC=1，可得OD'=24，因此要使整个过程运动时间最小，则点D的坐标应为（0，24）.例3如图16-3-5，抛物线y=22ꀀ与x轴交于A、B两点，过B的直线交抛物线于点E,且tan∠hㄠ=4ꀀ，有一只蚂蚁从A出发，先以1个单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25个单位/s的速度沿着DE爬到E点处觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间是_____________s.简析设蚂蚁所需总时间为t，则t=AD1+DE125=AD+4DE5；如图16-3-6，在直线BE的右上方作∠hh,使sin∠hh=45；作DC⊥EF于点G，则DG=DE∙sin∠hh=4DE5，故t=AD+DG；再作AH⊥EF于点H，交BE于点D'，则t=AD+DG≥AH，当且仅当点D与D'重合时取等号，即此时t取最小值为AH；4由tan∠hㄠ=4ꀀ，易求sin∠hㄠ=45，故∠hh=∠hㄠ，从而有EF∕∕x轴，故AH的长等于点E的纵坐标；然后作EK⊥x轴于点K，由tan∠hㄠ=4ꀀ，可设EK=4k，则E（3-3k，4k），代入抛物线得1=1耀9，2=香舍去，故点E的坐标为7ꀀ，耀49；因此，所求时间t的最小值为耀49s.反思命制“胡不归”问题，往往会设置一些特殊角，如例1中的30、例2中的∠ㄠh以及例ꀀ中的∠hh=∠hㄠ,大家要善于捕捉这些特殊性，“特事特办”.例4（2017年广州中考题）如图16-3-7，矩形ABCD的对角线AC、BD相较于点O,△COD关于CD的对称图形为△CED.（1）求证：四边形OCED是菱形；（2）连接AE，若AB=6cm，BC=5cm.1求sin∠hㄠh的值；2若点P的线段AE上一动点（不与点A重合），连接OP，一动点Q从点O出发，以1cm/s的速度沿线段OP匀速运动到点P，再以1.5cm/s的速度沿线段PA匀速运动到点A，到达点A后停止运动.当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，求AP的长和点Q走完全程所需的时间.简析（1）由OC=OD=EC=ED，易得四边形OCED是菱形；（2）①此问方法较多，这里仅提供一种简法：如图16-3-8，设AE、CD交于点F，由（1）可得DE/CA且AC=2DE，则△DEF~△CAF，从而易得CF=2DF，故DF=2，因此sin∠hㄠh=DFAF=2ꀀ;3图16-3-9，取AE上一点P，连接OP,作PG⊥AD于点G,再作OH⊥AD于点H，交AE于点P',设点Q走完全程所需的时间为t,则t=OP+PA15=OP+2ꀀPA=OP+PA∙sin∠hㄠh=hൌ+ൌh≥h㠳,当且仅当点P与P'重合时取等号，即此时t取最小值为3s,且AH=52,AP=AP'=ꀀ2cm反思本题的关键是抓住特殊角sin∠EAD=2ꀀ，且设问方式层层递进，理应顺着命题人给的“台阶”往下走.例5如图16-3-10，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，且BC=6，∠ㄠ䁞=15香，则PA+PB+PD的最小值为_________.5简析1由菱形的对称性易知PB=PD，则PA+PB+PD=PA+2PB=2（12PA+PB），转化为“胡不归模型”；如图16-3-11，作∠ൌㄠh=ꀀ香，PG⊥AE于点G，再作BH⊥AE于点H，则PG=12PA，故PA+PB+PD=2PG+PB≥2BH,即PA+PB+PD的最小值为2BH；易知∠ㄠ㠳=45，故BH=AB2=ꀀ2,从而PA+PB+PD的最小值为耀2.简析2如图16-3-12，先构造等边△APQ，则PA=PQ；再构造等边△ABE,连接QE、DE，易证△APB≅△AQE,则PB=QE；因此有PA+PB+PD=PQ+QE+PD≥DE，当且仅当D、P、Q、E四点共线时取等号；易知∠hㄠh=9香，AE=AD，从而△ADE为等腰直角三角形，则DE=62，即PA+PB+PD的最小值为62.反思法1通过对称性转化为“胡不归模型”，法2构造等边三角形，巧借旋转解决问题，其本质又是另一个有趣的话题，即“费马点问题”，有兴趣可自行查阅.总结“胡不归”问题属“两定一动”型如“∙AD+∙DB（不妨设香）”的最值问题，期中定点B以及动点D都在一条定直线上，先提取“大系数”，可转化成型如“AD+DB”的最值问题，达到化期中一个系数为1的效果；接下来过直线上的一点B作一条与其夹角成α的直线，期中sinα=，借助“正弦处理”，可以将另一个系数也化为1，这也是难点之所在；最终问题可以转化为“垂线段最短”来解决，而且一般这种题型的命制都有特殊角的存在，解题时要具备寻找特殊性的意识。类题巩固1.如图16-4-1，一条笔直的公路穿过草原，公路边有一个消防站A，距离公路5千米的地方有一居民点B,A、B的直线距离是13千米.一天，居民点B着火，消防员受命欲前往救火，若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时，而在草地上的最快速度是40千米/小时，则消防车在出发后最快经________小时可到达居民点B.（友情提醒：消防车可从公路的任意位置进入草地行驶.）62.（2015年内江）如图16-4-2，在△ACE中，CA=CE，∠䁞ㄠh=ꀀ香,⊙O经过点C,且圆的直径AB在线段AE上.（1）试说明：CE是⊙O的切线；（2）若△ACE中AE边上的高为，试用含的代数式表示⊙O的直径AB;（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当12CD+OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长.7第17讲角处理之“倍半角模型”知识必备一、等腰三角形与“倍半角”如图17-1-1，在等腰△ABC中，AB=AC,则∠䁞ㄠh=2∠二、角平分线与“倍半角”如图17-1-2，若BP平分∠ㄠ䁞，则∠ㄠ䁞=2∠ㄠൌ=2∠ൌ䁞方法提炼一、模型建立（一）由“倍”造“半”由图17-2-1显知：若tanα=，则tanα2=+，这里2=2+2.反思已知“倍角”求“半角”，只需将该倍角所在的直角三角形相应的直角边顺势延长，“等腰现，半角出”.（二）由“半”造“倍”方式一：如图17-2-2，在Rt△ABC（期中∠ㄠ∠45）的直角边AC上取点D，当BD=AD时，则∠h䁞=2∠ㄠ;设CD=x,则BD=AD=b-x，在Rt△BCD中，由勾股定理得2+2=（bx）2，解得x=222b，故有tan∠h䁞=tan2∠ㄠ=x=222.反思已经“半角”求“倍角”，只需在该半角所在的直角三角形相应的直角边截取线段，“等腰现，倍角出”；可以看出：由“倍”造“半”，极其容易，只需口算；由“半”造“倍”，相对麻烦，需要方程；其实构造方式多种多样，并非唯一，下面再提供两种由“半”造“倍”的过程，仅作了解之用：8方式二：如图17-2-3，利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，构造出等腰三角形，作斜边上的高线构造直角三角形，由图显知：sin∠䁞hh=ൌ2∠ㄠ=2=22；方式三：如图17-2-4，将Rt△ABC关于直角边AC对称，构造等腰△ABD，作DE⊥AB于点E，由图显知：sin∠h