一元二次方程根与系数的关系教学设计-人教版〔优秀篇〕

一元二次方程根与系数的关系现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用．本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述．一、一元二次方程的根的判断式一元二次方程20(0)axbxca，用配方法将其变形为：2224()24bbacxaa(1)当240bac时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实数根：242bbacxa(2)当240bac时，右端是零．因此，方程有两个相等的实数根：1,22bxa(3)当240bac时，右端是负数．因此，方程没有实数根．由于可以用24bac的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把24bac叫做一元二次方程20(0)axbxca的根的判别式，表示为：24bac【例1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数：(1)22310xx(2)24912yy(3)25(3)60xx解：(1)2(3)42110，∴原方程有两个不相等的实数根．(2)原方程可化为：241290yy2(12)4490，∴原方程有两个相等的实数根．(3)原方程可化为：256150xx2(6)45152640，∴原方程没有实数根．说明：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式．【例2】已知关于x的一元二次方程2320xxk，根据下列条件，分别求出k的范围：(1)方程有两个不相等的实数根；(2)方程有两个相等的实数根(3)方程有实数根；(4)方程无实数根．解：2(2)43412kk(1)141203kk；(2)141203kk；(3)141203kk；(4)141203kk．【例3】已知实数x、y满足22210xyxyxy，试求x、y的值．解：可以把所给方程看作为关于x的方程，整理得：22(2)10xyxyy由于x是实数，所以上述方程有实数根，因此：222[(2)]4(1)300yyyyy，代入原方程得：22101xxx．综上知：1,0xy二、一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程20(0)axbxca的两个根为：2244,22bbacbbacxxaa所以：22124422bbacbbacbxxaaa，22222122244()(4)422(2)4bbacbbacbbacaccxxaaaaa定理：如果一元二次方程20(0)axbxca的两个根为12,xx，那么：1212,bcxxxxaa说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”．上述定理成立的前提是0．【例4】若12,xx是方程2220070xx的两个根，试求下列各式的值：(1)2212xx；(2)1211xx；(3)12(5)(5)xx；(4)12||xx．分析：本题若直接用求根公式求出方程的两根，再代入求值，将会出现复杂的计算．这里，可以利用韦达定理来解答．解：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007xxxx(1)2222121212()2(2)2(2007)4018xxxxxx(2)121212112220072007xxxxxx(3)121212(5)(5)5()2520075(2)251972xxxxxx(4)22212121212||()()4(2)4(2007)22008xxxxxxxx说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：222121212()2xxxxxx，12121211xxxxxx，22121212()()4xxxxxx，2121212||()4xxxxxx，2212121212()xxxxxxxx，33312121212()3()xxxxxxxx等等．韦达定理体现了整体思想．【例5】已知关于x的方程221(1)104xkxk，根据下列条件，分别求出k的值．(1)方程两实根的积为5；(2)方程的两实根12,xx满足12||xx．分析：(1)由韦达定理即可求之；(2)有两种可能，一是120xx，二是12xx，所以要分类讨论．解：(1)∵方程两实根的积为5∴222121[(1)]4(1)034,412154kkkkxxk所以，当4k时，方程两实根的积为5．(2)由12||xx得知：①当10x时，12xx，所以方程有两相等实数根，故302k；②当10x时，12120101xxxxkk，由于302k，故1k不合题意，舍去．综上可得，32k时，方程的两实根12,xx满足12||xx．说明：根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足0．【例6】已知12,xx是一元二次方程24410kxkxk的两个实数根．(1)是否存在实数k，使12123(2)(2)2xxxx成立？若存在，求出k的值；若不存在，请您说明理由．(2)求使12212xxxx的值为整数的实数k的整数值．解：(1)假设存在实数k，使12123(2)(2)2xxxx成立．∵一元二次方程24410kxkxk的两个实数根∴2400(4)44(1)160kkkkkk，又12,xx是一元二次方程24410kxkxk的两个实数根∴1212114xxkxxk∴222121212121212(2)(2)2()52()9xxxxxxxxxxxx939425kkk，但0k．∴不存在实数k，使12123(2)(2)2xxxx成立．(2)∵222121212211212()44224411xxxxxxkxxxxxxkk∴要使其值是整数，只需1k能被4整除，故11,2,4k，注意到0k，要使12212xxxx的值为整数的实数k的整数值为2,3,5．说明：(1)存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明存在，否则即不存在．(2)本题综合性较强，要学会对41k为整数的分析方法．练习A组1．一元二次方程2(1)210kxx有两个不相等的实数根，则k的取值范围是()A．2kB．2,1kk且C．2kD．2,1kk且2．若12,xx是方程22630xx的两个根，则1211xx的值为()A．2B．2C．12D．923．已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于x的方程22(21)30xmxm的根，则m等于()A．3B．5C．53或D．53或4．若t是一元二次方程20(0)axbxca的根，则判别式24bac和完全平方式2(2)Matb的关系是()A．MB．MC．MD．大小关系不能确定5．若实数ab，且,ab满足22850,850aabb，则代数式1111baab的值为()A．20B．2C．220或D．220或6．如果方程2()()()0bcxcaxab的两根相等，则,,abc之间的关系是______7．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程22870xx的两个根，则这个直角三角形的斜边长是_______．8．若方程22(1)30xkxk的两根之差为1，则k的值是_____．9．设12,xx是方程20xpxq的两实根，121,1xx是关于x的方程20xqxp的两实根，则p=_____，q=_____．10．已知实数,,abc满足26,9abcab，则a=_____，b=_____，c=_____．11．对于二次三项式21036xx，小明得出如下结论：无论x取什么实数，其值都不可能等于10．您是否同意他的看法？请您说明理由．12．若0n，关于x的方程21(2)04xmnxmn有两个相等的的正实数根，求mn的值．13．已知关于x的一元二次方程2(41)210xmxm．(1)求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程的两根为12,xx，且满足121112xx，求m的值．14．已知关于x的方程221(1)104xkxk的两根是一个矩形两边的长．(1)k取何值时，方程存在两个正实数根？(2)当矩形的对角线长是5时，求k的值．B组1．已知关于x的方程2(1)(23)10kxkxk有两个不相等的实数根12,xx．(1)求k的取值范围；(2)是否存在实数k，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请您说明理由．2．已知关于x的方程230xxm的两个实数根的平方和等于11．求证：关于x的方程22(3)640kxkmxmm有实数根．3．若12,xx是关于x的方程22(21)10xkxk的两个实数根，且12,xx都大于1．(1)求实数k的取值范围；(2)若1212xx，求k的值．第三讲一元二次方程根与系数的关系习题答案A组1．B2．A3．A4．A5．A6．2,acbbc且7．38．9或39．1,3pq10．3,3,0abc11．正确12．413．21(1)1650(2)2mm14．3(1)(2)22kkB组1．13(1)112kk且(2)不存在2．1m(1)当3k时，方程为310x，有实根；(2)当3k时，0也有实根．3．(1)314kk且；(2)7k．1、每个人身上都有惰性和消极情绪，成功的人都是懂得管理自己的情绪和克服自己的惰性，并像太阳一样照亮身边的人，激励身边的人。2、你心里最崇拜谁，不必变成那个人，而是用那个人的精神和方法，去变成你自己。3、你今天必须做别人不愿做的事，好让你明天可以拥有别人不能拥有的东西。4、不要觉得全心全意去做看起来微不足道的事，是一种浪费，小事做的得心应手了，大事自然水到渠成。5、别着急要结果，先问自己够不够格，付出要配得上结果，工夫到位了，结果自然就出来了。6、你没那么多观众，别那么累。做一个简单的人，踏实而务实。不沉溺幻想，更不庸人自扰。7、别人对你好，你要争气，图日后有能力有所报答，别人对你不好，你更要争气望有朝一日，能够扬眉吐气。8、奋斗的路上，时间总是过得很快，目前的困难和麻烦是很多，但是只要不忘初心，脚踏实地一步一步的朝着目标前进，最后的结局交给时间来定夺。9、运气是努力的附属品。没有经过实力的原始积累，给你运气你也抓不住。上天给予每个人的都一样，但每个人的准备却不一样。不要羡慕那些总能撞大运的人，你必须很努力，才能遇上好运气。10、你的假装努力，欺骗的只有你自己，永远不要用战术上的勤奋，来掩饰战略上的懒惰。11、时间只是过客，自己才是主人，人生的路无需苛求，只要你迈步，路就在你的脚下延伸，只要你扬帆，便会有八面来风，启程了，人的生命才真正开始。12、不管做什么都不要急于回报，因为播种和收获不在同一个季节，中间隔着的一段时间，我们叫它为坚持。13、你想过普通的生活，就会遇到普通的挫折。你想过最好的生活，就一定会遇上最强的伤害。这个世界很公平，想要最好，就一定会给你最痛。14、成长是一场和自己的比赛，不要担心别人会做得比你好，你只需要每天都做得比前一天好就