优化设计的数学基础(一)

第三章优化设计的数学模型§3-1设计变量§3-2约束条件§3-3目标函数§3-4优化设计的数学模型§3-5数学模型的几何描述§3-6优化设计的迭代过程及终止准则优化设计的数学模型是描述实际优化问题的设计内容、变量关系、有关设计条件和意图的数学表达式，它反映了物理现象各主要因素的内在联系，是进行优化设计的基础。§3-1设计变量一、设计变量设计变量：在优化设计过程中是变化的，需要优选的量。设计参数：在优化设计过程中保持不变或预先确定数值。可以是几何参数：例，尺寸、形状、位置运动学参数：例，位移、速度、加速度动力学参数：例，力、力矩、应力其它物理量：例，质量、转动惯量、频率、挠度非物理量：例，效率、寿命、成本设计向量：用X=[x1,x2,…,xn]T表示，是定义在n维欧氏空间中的一个向量。二、设计点与设计空间设计点:X(k)（x1(k),x2(k),…,xn(k)）：是设计向量X(k)的端点，代表设计空间中的一个点，也代表第k个设计方案。可能是可行方案、也可能不是可行方案。设计空间Rn：以x1,x2,…,xn为坐标轴，构成n维欧氏实空间Rn。它包含了所有可能的设计点，即所有设计方案。欧氏空间:由于工程设计中的设计变量都是实数，所以称这种设计空间为欧式空间三、连续量与离散量一般来说，设计变量大多是一些连续变化的量。但在机械设计中，有些变量也可能是跳跃式的量。例如齿轮的齿数必须为整数，模数必须符合国家标准所规定的值，轴承的尺寸必须符合产品样本中所规定的值等。凡属这类跳跃式的量称为离散量。对于离散设计变量，在优化设计过程中常常把它们视作连续量，在求得连续量的优化结果后再进行圆整或标准化，以求得一个实用的最优方案。§3-2约束条件设计空间是所有设计方案的集合，但这些设计方案有些是工程上所不能接受的。如一个设计满足所有对它提出的要求，就称为可行设计。一个可行设计必须满足某些设计限制条件，这些限制条件称作约束条件，简称约束。一、设计约束的类型(1)约束又可按其数学表达形式分成等式约束和不等式约束两种类型。(2)根据约束的性质可以把它们区分成：性能约束——针对性能要求而提出的限制条件称作性能约束。例如，选择某些结构必须满足受力的强度、刚度或稳定性等要求；边界约束——只是对设计变量的取值范围加以限制的约束称作边界约束。例如，允许机床主轴选择的尺寸范围，对轴段长度的限定范围就属于边界约束。(3)显式约束隐式约束约束函数有的可以表示成显式形式，即反映设计变量之间明显的函数关系，有的只能表示成隐式形式,如例中的复杂结构的性能约束函数（变形、应力、频率等），需要通过有限元等方法计算求得。可行域：在可行域内任意一点称为可行设计点（内点），代表一个可行方案,可行设计点的集合D称为可行设计区域。非可行域：在可行域外的点称为非可行设计点（外点），代表不可采用的设计方案，这种设计点的集合为非可行域。二、可行域和非可行域§3-3目标函数为了对设计进行定量评价，必须构造包含设计变量的评价函数，它是优化的目标，称为目标函数，以F(X)表示。12()()nFxFxxx，，，在优化过程中，通过设计变量的不断向F(X)值改善的方向自动调整，最后求得F(X)值最好或最满意的X值。在构造目标函数时，应注意目标函数必须包含全部设计变量，所有的设计变量必须包含在约束函数中。在机械设计中，可作为参考目标函数的有：体积最小、重量最轻、效率最高、承载能力最大、结构运动精度最高、振幅或噪声最小、成本最低、耗能最小、动负荷最小等等。在最优化设计问题中，可以只有一个目标函数，称为单目标函数。当在同一设计中要提出多个目标函数时，这种问题称为多目标函数的最优化问题。在一般的机械最优化设计中，多目标函数的情况较多。§3-4优化设计的数学模型综上所述，最优化问题数学模型一般表示如下：对于无约束最优化问题：min()nFXXR式中，表示n维实欧氏空间。nR对于约束最优化问题：min()X:()0,1,2,...,()0,v=1,2....,qnuvFXDRDgXuphX式中D表示由p个不等约束条件和q个等约束条件所规定的可行域。通过最优化方法求得的一组最优设计变量：12*[*,*,,*]nXxxx表示了一个最优化的设计方案，称为最优设计点。对应于该设计方案的目标函数为：12*(*)(*,*,,*)nFFXFxxx称为最优化值。最优点和最优值两者构成了一个优化问题的最优解。在数学模型中，若目标函数F（X）和约束函数和都是设计变量的线性函数，这样的优化问题常称为线性规划问题，否则称为非线性规划问题。()ugX()vhX12*,*,,*nxxx§3-5数学模型的几何描述为了进一步说明最优化问题的一些基本概念，下面再对它作必要的几何描述，以便比较直观地、形象化地理解它。先以一个二维优化问题为例。设有一个约束最优化问题，数学模型如下：22121211222123142min(44)()20()10()0()0xxxXDRDgXxxgXxxgXxgXx：对于这样一个优化问题，可用下图的几何图形来说明几个基本概念。§3-6优化设计的迭代过程及终止准则一、迭代过程与迭代格式为了适应电子计算机的工作特点，要求最优化方法具有下列性质：1.数值计算，而不是解析方法；2.具有简单的逻辑结构，并能进行反复的运算过程：3.不要求获得精确解，而只要求有足够精度的近似解。满足上述要求的计算过程或计算方法就是所谓的数值迭代过程或数值迭代方法。数值迭代的基本思想是：从某一个选定的初始点出发，按照某种最优化方法所规定的原则，确定适当的方向和步长，获得第一个新的修改设计点，计算此点的目标函数值使满足：(0)X(1)X(1)()FX(1)(0)()()FXFX(1)X(2)X最终达到与理论最优点X*非常逼近的近似最优点X**。。。(1)()()kkkXXX(1)()()111(1)()()222(1)()()333kkkkkkkkkxxxxxxxxx式中的就是以为新起始点，沿着一定的方向以一定的步长确定下一个设计点的改进迭代矢量。由此可知，每一步迭代格式可写作：(k)X(k)X(k)S(k+1)X(1)()()()kkkkXXaS——第n步迭代计算的步长。(k)a二、优化方法的分类目前已有的最优化方法很多，各种方法的区别就在于确定方向S和步长a的方法不同。这些方法可大致归纳为两大类：1．直接搜索法这种方法只需要进行函数的计算与比较来确定优化的方向和步长。2．间接法这种方法需要利用函数的一阶或二阶偏导数矩阵来确定优化方向和优化步长。由于大多数工程设计问题的设计变量比较多，函数形式也比较复杂，不易求得一阶和二阶偏导数，因此在实际应用中，直接搜索法更受工程界的欢迎。但不论何种具体的优化算法，它们在确定方向和步长时都应具有以下共同之点：（1）所选择的优化方向S是比较容易计算的；（2）所选择的优化方向应尽可能指向目标函数F（X）的极小点，至少在每一个迭代点附近是指向F（X）的极小点；（3）所选的步长a应在已定方向上使目标函数达到极小，或者至少使目标函数值有所下降。(k)X三、迭代点列的收敛条件和终止准则1．点列收敛的柯西准则若某种迭代过程所选择的设计点序列为：若点列是收敛的，即存在极限：点列收敛的必要与充分条件是，对于任意指定的足够小的正数ε，存在着自然数N，使得当两个自然数m和p大于N时满足：满足上述条件的点列称为基本序列，这个条件叫做点列收敛的柯西准则。收敛条件式也可写作：(),0,1,2...kXk()*limkkXX()()mpXX2()()1nmpiiiXX2、优化计算的终止准则通常采用的计算终止准则有以下几种形式：（1）当两相邻的迭代点之间的距离足够小时用矢量的长度来表示，即为：也可以用矢量长度在各坐标轴上的分量来表示，即：()()2(1)()1mpnkkiiiXXXX或(1)(),=1,2,,kkiiXXin（2）当目标函数的下降量已达到充分小时，即：也可以用目标函数值的相对下降量达到充分小时来表示，即：(1)()()()kkFXFX(1)()(1)()()()kkkFXFXFX（3）当迭代点的目标函数梯度达到充分小时，即：但是这种判别准则很可能把驻点作为最优值点输出，这是它的缺点。()()kFX在优化设计中，只要满足以上诸式中之一，就可算作目标函数值已收敛于函数F（X）的极小值，近似最优化解已求得：迭代即可以结束。**(1)kXX**(1)()kFFX上述三个收敛准则都在一定程度上反映了达到极值点的特点，但都不能保证所取得的设计点是全局最优点，它很可能是一个局部最优点，因此有必要进一步考查它是否为全局最优点。(1)kX判断全局最优点常采用的方法是：同时取若干个相距甚远的两点作为初始点，考查它们最后迭代的最优解是否趋于同一解。