高考数学数列的极限专题复习(专题训练最全版)

1专题七、数列的极限1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列}{na的项na无限趋近于．．．．．某个常数A（即|an－A|无限地接近于0），那么A叫做数列}{na的极限，或称数列}{na收敛于A，记作：Aannlim（A不一定是｛an｝中的项），读作“n趋向于无穷大时，an的极限等于A”.注意：只有无穷数列才有极限，有限数列不存在极限。2.几个重要极限：（1）01limnn；（2）CCnlim（C是常数）；（3）1,11,110limaaaaann或不存在，；注意：nnalim存在与0alimnn，实数a要满足的条件是不同的；（4）)()()(0lim0011101110tstsbatsbnbnbnbanananassssttttn不存在；（5）ennn)11(lim，特别注意此式的变式情况，如：)()(lim)()()(1)()(1lim)(1limngnfngnfnfnngnnenfnf，其中要存在0)(limnfn。3.数列极限的运算法则：如果,lim,limBbAannnn那么：（1）BAbannn)(lim；BAbannn)(lim；（2）BAbannn.).(lim；)0(limBBAbannn；注意：运用数列极限的运算法则求数列极限，应注意法则适应的前提条件：参与运算的数列都有极限，运算法则仅适合于有限个数列。4.无穷等比数列的各项和：公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n项的和，当n无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和，记做1lim,(0||1)1nnaSSqq.25.求极限的常用方法：（1）求数列极限最后往往转化为Nmnm1或1qqn型的极限；（2）分子、分母同时除以mn或na；（3）求和（或积）的极限一般先求和（或积）再求极限；（4）利用已知数列极限（如01lim10limnqqnnn，等）；（5）含参数问题应对参数进行分类讨论求极限；（6）∞－∞，，0－0，00等形式，必须先化简成可求极限的类型再用四则运算求极限。例1.已知a、b∈R，且1a，1b，则无穷数列：1，ab)1(，22)1(abb，，112)1(nnabbb的和为_____________解：设cn=（1+b+b2+…+bn﹣1）an﹣1=•an﹣1=（an﹣1﹣an﹣1bn），∵|a|＜1，|b|＜1，∴无穷数列：1，（1+b）a，（1+b+b2）a2，…，（1+b+b2+…+bn﹣1）an﹣1…的和：S=[﹣]=[﹣﹣+]=﹣==例2.已知bbnannn)1(lim2，则实数a=___________4解：======b∴1﹣b2=0，解得b=1或b=﹣1（舍去），且，∴a=4．3例3.已知数列{na}满足nnaa211，31a，则nnalim=____________2【分析】由题意推导数列{}是一个等比数列，求出通项公式an，然后利用数列的极限的运算法则，求出数列的极限．解：∵===．∴{}是一个首项为，公比为﹣的等比数列，∴，∴an=，∴===2．例4.过点))(0,12(Nnn且方向向量为（2，1）的直线交双曲线422yx于An，Bn两点，记原点为O，△OAnBn的面积为nS，则nnSlim=【分析】依题意，可知过点（2﹣，0）的直线的斜率为，n→+∞时，点（2﹣，0）→（2，0），原问题转化为直线x﹣2y﹣2=0与双曲线x2﹣y2=4的两个交点A、B与原点O所组成的三角形的面积。解：∵过点且方向向量为（2，1），即其斜率k=，（2﹣）=2，∴当n→+∞时，点（2﹣，0）→（2，0），∴n→+∞时，△OAnBn的面积就是直线y﹣0=（x﹣2），即x﹣2y﹣2=0与双曲线x2﹣y2=4的两个交点A、B与原点O所组成的三角形的面积，设为S，由消去x得：3y2+8y=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2，=﹣，y1•y2，=0，x1+x2，=2y1+2y2，+4=﹣，4∴|AB|==•=•=．又O点到直线x﹣2y﹣2=0的距离d==，∴S==|AB|•d=××=．变式训练：1．（2016静安区一模）已知数列{an}的通项公式为na4,44,2nnnnnn，则nnalim____解：数列{an}的通项公式为，则======﹣2．2.已知na2015,)21(2015,121nnnn，Sn是数列{na}的前n项和（A）A.nnalim和nnSlim都存在B.nnalim和nnSlim都不存在C.nnalim存在，nnSlim不存在D.nnalim不存在，nnSlim存在解：an=，Sn是数列{an}的前n项和，可得==0．=S2014+=S2014﹣，是定值．所以两个极限存在．53.若1)2122(lim2bnnannn，则复数ibaba的虚部为﹣2解：2n+=，∵，∴，解得∴点（a，b）的坐标为（4，﹣2），故答案为（4，﹣2）．4.数列{na}满足1])32[(limnnan，则)(limnnna=__________1/2【分析】由，求出=0．解：∵∴===0∵，∴∴2﹣3=1，∴2=1∴=，故答案为5.设{na}和{nb}都是公差不为零的等差数列，且2limnnnba，则nnnnabbb221lim=____1/8解：设{an}和{bn}的公差分别为d1和d2，∵===2，∴d1=2d2．====6.已知数列{na}同时满足下面两个条件：①不是常数列；②它的极限就是这个数列中的项；请写出则此数列的一个通项公式na=____________解：由于当an=时，数列{an}不是常数数列，它的极限==1，6且a1=1，故满足题中的两个条件．【点评】本题考查数列的函数特性，求数列的极限，注意本题答案不唯一，如等都能满足条件。7.已知1ba，则1111limnnnnnbaba的值是___________解：已知a＞b＞1，则（）==．8.设0＜nx＜1，nnxx111，则nnxlim=_____________解：0＜xn＜1，xn+1=1﹣（n∈N），可得1﹣xn+1=，即为lg（1﹣xn+1）=lg（1﹣xn），则{lg（1﹣xn）}为为公比，lg（1﹣x1）为首项的等比数列，则lg（1﹣xn）=lg（1﹣x1）•（）n﹣1，即有1﹣xn=，即xn=1﹣，则xn=[1﹣]=1﹣（1﹣x1）0=1﹣1=0．9.已知11a，71b，且满足nnnnnnabbaba43211，求nnnbalim=___________1/4【分析】根据数列递推式可得an+2=bn，即数列{an}从第三项开始与{bn}相同，利用=k，可得结论．解：由题意，∵an+1=bn﹣2an①∴an+2=bn+1﹣2an+1②②﹣①×3：an+2﹣3an+1=（bn+1﹣3bn）﹣2an+1+6an∵bn+1=3bn﹣4an，∴an+2﹣3an+1=﹣2an+1+2an，∴an+2﹣an+1=2an∴an+2=bn，即数列{an}从第三项开始与{bn}相同，∵a1=1，b1=7，∴，设=k，7∴k==，∴k=1（舍去）或k=，∴=10.已知数列)!2()!1(!2nnnnan，nS为其前n项和，则nnSlim=________1/2解：∵====﹣，∴a1+a2+…+an=[（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=﹣∴=（﹣）=﹣=﹣0==．11.已知9)222(x展开式的第7项为421，则)(lim2nnxxx的值为__________解：=84=，解得x=﹣．∴（x+x2+…xn）=．12.（2017静安区一模）在无穷等比数列{na}中，21)(lim21nnaaa，则1a的取值范围是_________________解：在无穷等比数列{an}中，，可知|q|＜1，则=，a1=∈（0，）∪（，1）．13.数列{an}满足1a=10，10181naann，记][x表示不超过实数x的最大整数，则])[(limnnnaa=_________1/6解：由an+1=an+18n+10，得a1=10，又a1=10，∴a2﹣a1=18×1+10，a3﹣a2=18×2+10，…an﹣an﹣1=18（n﹣1）+10，累加得：an=a1+18[1+2+…+（n﹣1）]+10（n﹣1）=．∴﹣[]===．8则（﹣[]）=．14.（2015杨浦区一模）对数列{na}，{nb}，若区间[na，nb]满足下列条件：①[1na，1nb][na，nb]（n∈N*）；②0)(limnnnab.则称[na，nb]为区间套。下列选项中，可以构成区间套的数列是（C）A.nna)21(，nnb)32(B.nna)31(，12nnbnC.nnan1nnb)31(1D.23nnan，12nnbn解：由题意，对于A，，∵，∴[an+1，bn+1]⊊[an，bn]（n∈N*）不成立，所以A不正确；对于B，，∵，∴[an+1，bn+1]⊊[an，bn]（n∈N*）不成立，所以B不正确；对于C，，∵∴[an+1，bn+1]⊊[an，bn]（n∈N*）成立，并且，所以C正确；对于D，，∵，∴[an+1，bn+1]⊊[an，bn]（n∈N*）不成立，所以D不正确；故选C．15.已知3133)2(3lim1nnnnnnxnn，则实数x的取值范围是_____________（﹣1，5）解：，即为=，即有=0，（）n=0，即为||＜1，解得﹣1＜x＜5．916．（2013上海）记椭圆114422nnyx围成的区域（含边界）为Ωn（n=1，2，…），当点（x，y）分别在Ω1，Ω2，上时，yx的最大值分别是M1，M2，，则nnMlim=__________解：把椭圆得，椭圆的参数方程为：（θ为参数）∴x+y=2cosθ+sinθ，∴（x+y）max==．∴Mn==2．17．如图所示，在边长为1a的正方形A1B1C1D1中，依次作无限个内接正方形A2B2C2D2，A3B3C3D3，…，使得∠B1A2B2=∠B2A3B3=…=，令它们的边长依次为2a，3a，…（1）用，1a表示2a及na；（2）求)(lim21nnaaa的值。解：（1）在直角△A2B1B2中，A2B1=A2B2cosθ=a2cosθ，在直角△A1A2D2中，A1A2=A2D2sinθ=a2sinθ，则a1=a2cosθ+a2sinθ，即a2=同理可得a3==，…an=，则an=（2）（a1+a2+…+an）=（a1++…+）10=，由于sinθ+cosθ=sin（）∈（1，），则=0．故原式=．18.如图，记棱长为1的正方体C1，以C1各个面的中心为顶点的正八面体为C2，以C2各面的中心为顶点的正方体为C3，以C3各个面的中心为顶点的正八面体为C4，…，以此类推得一系列的多面体Cn，设Cn的棱长为na，则数列{na}的各项和为解：正方体C1各面中心为顶点的凸多面体C2为正八面体，它的中截面（垂直平分相对顶点连线的界面）是正方形，该正方形对角线长等于正方体的棱长，所以它的棱长a2===；以C2各个面的中心为顶点的正方体为图形C3是正方体，正方体C3面对角线长等于C2棱长的，（正三角形中心到对边的距离等于高的），因此对角线为×=，所以a3==，以上方式类推，得a4==，a5==，…，{an}各项依次为：1，，，，，…奇数