中考压轴题分类专题二线段和差的最值问题

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中考压轴题分类专题二——线段和差的最值问题基本题型:一、两线段和的最小值:已知两点A、B与直线l,直线l上有一动点P,求PA+PB的最小值。求出A点关于直线l的对称点/A,连接BA/交直线l于点P,则点P为所求最小值所取的点,min/PBPABA。本题可转化为求ABP的周长的最小值。拓展:已知两点A、B与两直线1l与2l,动点P在1l上,动点Q在2l上,求AP+PQ+QB的最小值。求出A点关于直线1l的对称点/A,再求出B点关于直线2l的对称点/B,连接//BA分别交直线1l于点P、交直线2l于点Q,则P、Q为所求最小值所取的点,min//QBPQAPBA。本题可转化为求四边形APQB的周长的最小值。二、两线段差的最大值:已知两点A、B与直线l(AB与l不平行且在l同侧),动点P在l上,求maxPBPA。连接AB并延长交直线l于点P,则点P为所求最大值时所取的点,maxPBPAAB。yxOBA/PA所需知识点:一、中点公式:已知两点2211y,xQ,y,xP,则线段PQ的中点M为222121yy,xx。拓展:三角形的重心(三中线交点)公式:已知ABC的顶点分别为332211y,xC,y,xB,y,xA,则ABC的重心G为3,3321321yyyxxx。二、直线的斜率:直线的斜率是指直线与x轴正方向所成角的正切值。00900时,0tank;0018090时,0180tantan0k。已知两点2211y,xQ,y,xP,则直线PQ的斜率:2121xxyykPQ。三、平面内两直线之间的位置关系:两直线分别为:111bxky:l,222bxky:l021kk。(一)12121lbbkk∥2l。(二)121lkk与2l相交。特别是21211llkk。四、求已知点关于已知直线的对称点:已知点00y,xP与直线0kbkxy:l,求点P关于直线l的对称点/P。过点P作直线l的垂线/l。则kk/1,又因为/l过点P,将P代入//bxky:l1,既可求出/l。将/l与l联立得/bxkybkxy1,既可求出垂足G点的坐标11y,x。因为G为线段/PP的中点,所以利用中点公式可求得/P为010122yy,xx。典型例题课后练习:例一(09深中四月月考):已知:抛物线02acbxaxy与x轴交于A(1,0),B(5,0)两点,与y轴交于点M,抛物线的顶点为P,且52PB。(1)求P点的坐标及抛物线的解析式;(5)(2)求MOP的面积(O为坐标原点);(2)(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点Q,使MOQ的周长最短?若存在,请求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由。(2)8642-2-4-6-8-10-5510ABMP例二(05深圳中考题)已知△ABC是边长为4的等边三角形,BC在x轴上,点D为BC的中点,点A在第一象限内,AB与y轴的正半轴相交于点E,点B(-1,0),P是AC上的一个动点(P与点A、C不重合)(1)(2分)求点A、E的坐标;(2)(2分)若y=2637xbxc过点A、E,求抛物线的解析式。(3)(5分)连结PB、PD,设L为△PBD的周长,当L取最小值时,求点P的坐标及L的最小值,并判断此时点P是否在(2)中所求的抛物线上,请充分说明你的判断理由。ABCODEyx例三(2009衢州卷):如图,已知点A(-4,8)和点B(2,n)在抛物线2yax上.(1)求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标,并在x轴上找一点Q,使得AQ+QB最短,求出点Q的坐标;(2)平移抛物线2yax,记平移后点A的对应点为A′,点B的对应点为B′,点C(-2,0)和点D(-4,0)是x轴上的两个定点.①当抛物线向左平移到某个位置时,A′C+CB′最短,求此时抛物线的函数解析式;②当抛物线向左或向右平移时,是否存在某个位置,使四边形A′B′CD的周长最短?若存在,求出此时抛物线的函数解析式;若不存在,请说明理由.4x22A8-2O-2-4y6BCD-44课后练习:1、如图,在边长为1的等边三角形ABC中,点D是AC的中点,点P是BC边的中垂线MN上任一点,则PC+PD的最小值为.2、如图,菱形ABCD的两条对角线分别长6和8,点P是对角线AC上的一个动点,点M、N分别是边AB、BC的中点,则PM+PN的最小值是_____________.3、先阅读下面材料,然后解答问题:(本小题满分10分)【材料一】:如图⑴,直线l上有1A、2A两个点,若在直线l上要确定一点P,且使点P到点1A、2A的距离之和最小,很明显点P的位置可取在1A和2A之间的任何地方,此时距离之和为1A到2A的距离.如图⑵,直线l上依次有1A、2A、3A三个点,若在直线l上要确定一点P,且使点P到点1A、2A、3A的距离之和最小,不难判断,点P的位置应取在点2A处,此时距离之和为1A到3A的距离.(想一想,这是为什么?)不难知道,如果直线l上依次有1A、2A、3A、4A四个点,同样要确定一点P,使它到各点的距离之和最小,则点P应取在点2A和3A之间的任何地方;如果直线l上依次有1A、2A、3A、4A、5A五个点,则相应点P的位置应取在点3A的位置.【材料二】:数轴上任意两点a、b之间的距离可以表示为ab.【问题一】:若已知直线l上依次有点1A、2A、3A、……、25A共25个点,要确定一点P,使它到已知各点的距离之和最小,则点P的位置应取在;若已知直线l上依次有点1A、2A、3A、……、50A共50个点,要确定一点P,使它到已知各点的距离之和最小,则点P的位置应取在.【问题二】:现要求112397xxxxxx的最小值,根据问题一的解答思路,可知当x值为时,上式有最小值为.DNMPCBA第16题图图⑴图⑵A3A2lA1A2lA1第14题图DABCPMN4、已知抛物线2yaxbx(a≠0)的顶点在直线112yx上,且过点A(4,0).⑴求这个抛物线的解析式;⑵设抛物线的顶点为P,是否在抛物线上存在一点B,使四边形OPAB为梯形?若存在,求出点B的坐标;若不存在,请说明理由.⑶设点C(1,-3),请在抛物线的对称轴确定一点D,使ADCD的值最大,请直接写出点D的坐标.5、如图11,已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M(-2,1-),且P(1-,-2)为双曲线上的一点,Q为坐标平面上一动点,PA垂直于x轴,QB垂直于y轴,垂足分别是A、B.(1)写出正比例函数和反比例函数的关系式;(2)当点Q在直线MO上运动时,直线MO上是否存在这样的点Q,使得△OBQ与△OAP面积相等?如果存在,请求出点的坐标,如果不存在,请说明理由;(3)如图12,当点Q在第一象限中的双曲线上运动时,作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ,求平行四边形OPCQ周长的最小值.图11xyBhx=2xAOMQP图12xyfx=2xBCAOMPQ

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