圆的方程-习题(含答案)

试卷第1页，总4页圆的方程习题（含答案）一、单选题1．以点P(2，－3)为圆心，并且与y轴相切的圆的方程是()A．(x＋2)2＋(y－3)2＝4B．(x＋2)2＋(y－3)2＝9C．(x－2)2＋(y＋3)2＝4D．(x－2)2＋(y＋3)2＝92．当点𝑃在圆𝑥2+𝑦2=1上运动时，连接它与定点𝑄(3,0)，线段𝑃𝑄的中点𝑀的轨迹方程是（）A．(𝑥+3)2+𝑦2=1B．(𝑥−3)2+𝑦2=1C．(2𝑥−3)2+4𝑦2=1D．(2𝑥+3)2+4𝑦2=13．圆x2＋y2－(4m＋2)x－2my＋4m2＋4m＋1＝0的圆心在直线x＋y－4＝0上，那么圆的面积为()A．9πB．πC．2πD．由m的值而定4．圆𝑥2+𝑦2+2√2𝑥=0的半径是（）A．√2B．2C．2√2D．45．已知圆𝐶1:𝑥2+𝑦2−2𝑥−4𝑦−4=0与圆𝐶2:𝑥2+𝑦2+4𝑥−10𝑦+4=0相交于A、B两点，则线段AB的垂直平分线的方程为A．𝑥+𝑦−3=0B．𝑥+𝑦+3=0C．3𝑥−3𝑦+4=0D．7𝑥+𝑦−9=06．若点𝑃为圆𝑥2+𝑦2=1上的一个动点，点𝐴(−1,0)，𝐵(1,0)为两个定点，则|𝑃𝐴|+|𝑃𝐵|的最大值为（）A．2B．2√2C．4D．4√27．已知直线𝑙：𝑥+𝑎𝑦−1=0(𝑎∈𝑅)是圆𝐶:𝑥2+𝑦2−4𝑥−2𝑦+1=0的对称轴.过点𝐴(−4,𝑎)作圆𝐶的一条切线，切点为𝐵，则|𝐴𝐵|=（）A．2B．4√2C．6D．2√108．若直线l：ax+by+1=0经过圆M：x2+y2+4x+2y+1=0的圆心则(a−2)2+（b−2）2的最小值为A．√5B．5C．2√5D．109．若𝑥,𝑎,𝑏均为任意实数，且(𝑎+2)2+(𝑏−3)2=1，则(𝑥−𝑎)2+(ln𝑥−𝑏)2的最小试卷第2页，总4页值为（）A．3√2B．18C．3√2−1D．19−6√2二、填空题10．如图，扇形𝐴𝑂𝐵的圆心角为90°，半径为1，点𝑃是圆弧𝐴𝐵上的动点，作点𝑃关于弦𝐴𝐵的对称点𝑄，则𝑂𝑃⃑⃑⃑⃑⃑⋅𝑂𝑄⃑⃑⃑⃑⃑⃑的取值范围为____．11．已知x,y满足𝑥2－4𝑥－4＋𝑦2＝0,则𝑥2+𝑦2的最大值为____12．若直线l：2ax−by+2=0(a0,b0)与x轴相交于点A，与y轴相交于B，被圆x2+y2+2x−4y+1=0截得的弦长为4，则|OA|+|OB|(O为坐标原点)的最小值为______．13．设直线𝑦=𝑥+2𝑎与圆𝐶:𝑥2+𝑦2−2𝑎𝑦−2=0相交于𝐴,𝐵两点，若|𝐴𝐵|=2√3，则圆𝐶的面积为________.14．已知圆的圆心在曲线𝑥𝑦=1（𝑥0)上，且与直线𝑥+4𝑦+13=0相切，当圆的面积最小时，其标准方程为_______．15．在平面直角坐标系xOy中，已知过点𝐴(2,−1)的圆𝐶和直线𝑥+𝑦=1相切，且圆心在直线𝑦=−2𝑥上，则圆C的标准方程为______．16．已知圆𝐶的圆心在直线2𝑥−𝑦=0上，且经过𝐴(6,2)，𝐵(4,8)两点，则圆𝐶的标准方程是__________．17．在平面直角坐标系中，三点𝑂(0,0),𝐴(2,4)，𝐵(6,2)，则三角形𝑂𝐴𝐵的外接圆方程是__________．18．如图，O是坐标原点，圆O的半径为1，点A（-1，0），B（1，0），点P，Q分别从点A，B同时出发，圆O上按逆时针方向运动.若点P的速度大小是点Q的两倍，则在点P运动一周的过程中，𝐴𝑃⃑⃑⃑⃑⃑⋅𝐴𝑄⃑⃑⃑⃑⃑的最大值是_______.试卷第3页，总4页三、解答题19．设抛物线𝐶：  𝑦2=4𝑥的焦点为𝐹，过𝐹且斜率为𝑘(𝑘0)的直线𝑙与𝐶交于𝐴，𝐵两点，|𝐴𝐵| =8．（1）求𝑙的方程；（2）求过点𝐴，𝐵且与𝐶的准线相切的圆的方程．20．已知圆𝐶:𝑥2+𝑦2+2𝑥−7=0内一点𝑃(−1,2)，直线𝑙过点𝑃且与圆𝐶交于𝐴，𝐵两点.（1）求圆𝐶的圆心坐标和面积；（2）若直线𝑙的斜率为√3，求弦𝐴𝐵的长；（3）若圆上恰有三点到直线𝑙的距离等于√2，求直线𝑙的方程．21．已知点𝑀(𝑥0,𝑦0)在圆𝑂:𝑥2+𝑦2=4上运动，且存在一定点𝑁(6,0)，点𝑃(𝑥,𝑦)为线段𝑀𝑁的中点.（1）求点𝑃的轨迹𝐶的方程；（2）过𝐴(0,1)且斜率为𝑘的直线𝑙与点𝑃的轨迹𝐶交于不同的两点𝐸,𝐹，是否存在实数𝑘使得𝑂𝐸⃑⃑⃑⃑⃑⋅𝑂𝐹⃑⃑⃑⃑⃑=12，并说明理由.22．已知圆经过2,5,2,1两点，并且圆心在直线12yx上。(1)求圆的方程；(2)求圆上的点到直线34230xy的最小距离。23．在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，曲线𝑦=𝑥2−6𝑥+1与坐标轴的交点都在圆𝐶上．（1）求圆𝐶的方程；（2）若圆𝐶与直线𝑥−𝑦+𝑎=0交于𝐴，𝐵两点，且𝑂𝐴⊥𝑂𝐵，求𝑎的值．24．已知点𝐴(1,−2),𝐵(−1,4)，求（1）过点A,B且周长最小的圆的方程；（2）过点A,B且圆心在直线2𝑥−𝑦−4=0上的圆的方程．25．已知𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶的顶点𝐴(8,5)，直角顶点为𝐵(3,8)，顶点𝐶在y轴上；（1）求顶点𝐶的坐标；试卷第4页，总4页（2）求𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶外接圆的方程．26．如图,设P是圆2225xy上的动点,点D是P在x轴上的投影，M为线段PD上一点,且45MDPD，(1)当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被轨迹C所截线段的长度.27．选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线𝐶的参数方程为{𝑥=3cos𝜃𝑦=2sin𝜃（𝜃为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线𝐶上的点按坐标变换{𝑥′=13𝑥𝑦′=12𝑦得到曲线𝐶′.（Ⅰ）求曲线𝐶′的普通方程；（Ⅱ）若点𝐴在曲线𝐶′上，点𝐵(3,0)，当点𝐴在曲线𝐶′上运动时，求𝐴𝐵中点𝑃的轨迹方程.答案第1页，总16页参考答案1．C【解析】【分析】因为与y轴相切，所以可知圆的半径𝑟=2，根据圆心坐标，可得圆的标准方程。【详解】圆心为(2，－3)并且与y轴相切所以半径𝑟=2所以圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝4所以选C【点睛】本题考查了根据圆心坐标和半径写出圆的方程，属于基础题。2．C【解析】【分析】设动点𝑃(𝑥0,𝑦0)，𝑃𝑄的中点为𝑀(𝑥,𝑦)，由中点坐标公式解出𝑥0=2𝑥−3，𝑦0=2𝑦，将点𝑃(2𝑥−3,2𝑦)代入已知圆的方程，化简即可得到所求中点的轨迹方程．【详解】设动点𝑃(𝑥0,𝑦0)，𝑃𝑄的中点为𝑀(𝑥,𝑦)，可得{𝑥=𝑥0+32𝑦=𝑦02，得𝑥0=2𝑥−3，𝑦0=2𝑦.∵点𝑃(𝑥0,𝑦0)在圆𝑥2+𝑦2=1上运动∴(2𝑥−3)2+(2𝑦)2=1，化简得(2𝑥−3)2+4𝑦2=1.∴所求动点𝑀的轨迹方程是(2𝑥−3)2+4𝑦2=1.故选C.【点睛】求轨迹方程的常用方法：（1）直接法：直接利用条件建立𝑥，𝑦之间的关系𝐹(𝑥,𝑦)=0；（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程；（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；答案第2页，总16页（4）代入(相关点)法：动点𝑃(𝑥,𝑦)依赖于另一动点𝑄(𝑥0,𝑦0)的变化而运动，常利用代入法求动点𝑃(𝑥,𝑦)的轨迹方程．3．B【解析】【分析】由圆的方程求出圆心坐标，代入直线方程求出m的值，求出圆的方程后并配方求圆的半径，代入圆的面积求解即可．【详解】∵圆的方程是：x2+y2﹣（4m+2）x﹣2my+4m2+4m+1=0，∴圆心坐标是（2m+1，m），∵圆心在直线x+y﹣4=0上，∴2m+1+m﹣4=0，解得m=1，则圆的方程是：x2+y2﹣6x﹣2y+9=0，即（x﹣3）2+（y﹣1）2=1，∴半径r=1，圆的面积S=πr2=π，故选：B．【点睛】本题考查由圆的一般式方程求圆心和半径的方法：公式法和配方法，属于基础题．4．A【解析】分析：一般方程转化为标准方程，即可得到半径值。详解：把一般方程转化为圆的标准方程(𝑥+√2)2+𝑦2=2由标准方程，可知半径为√2所以选A点睛：本题考查了圆的一般方程与标准方程的转化，根据标准方程求圆心或半径，属于基础题。5．A【解析】【分析】两个圆相减，可得交点弦所在的直线方程；再由弦的垂直平分线过圆心及斜率关系，求得AB的垂直平分线方程。【详解】答案第3页，总16页圆𝐶1:𝑥2+𝑦2−2𝑥−4𝑦−4=0与圆𝐶2:𝑥2+𝑦2+4𝑥−10𝑦+4=0相交于A、B两点所以AB所在的直线方程为两个方程相减，得3x-3y+4=0AB垂直平分线的斜率为x+y+b=0圆𝐶1:𝑥2+𝑦2−2𝑥−4𝑦−4=0的圆心为（1,2）将（1,2）代入x+y+b=0解得b=-3所以AB的垂直平分线的方程为𝑥+𝑦−3=0所以选A【点睛】本题考查了圆方程的简单应用，注意相关性质的用法，属于基础题。6．B【解析】∵∠APB=90°，∴|PA|2+|PB|2=4由不等式可得(|𝑃𝐴|+|𝑃𝐵|2)2≤|PA|2+|PB|22=2∴|𝑃𝐴|+|𝑃𝐵|≤2√2故选：B7．C【解析】试题分析：直线l过圆心，所以𝑎=−1，所以切线长𝐴𝐵=√(−4)2+1−4×(−4)+2+1=6，选C.考点：切线长视频8．B【解析】由圆的方程知圆心为(−2,−1)，所以2𝑎+𝑏=1，(a-2)2+（b−2）2的几何意义为直线2𝑎+𝑏=1上的动点(𝑎,𝑏)与定点(2,2)的距离的平方，故过点(2,2)向直线2𝑎+𝑏=1作垂线段，其长的平方最小，最小值为𝑑2=(|4+2−1|√5)2=5，故选B.9．D【解析】【分析】该题可以看做是圆上的动点到曲线𝑦=ln𝑥上的动点的距离的平方的最小值问题，可以转化为圆心到曲线𝑦=ln𝑥上的动点的距离减去半径的平方的最值问题，结合图形，可以断定那答案第4页，总16页个点应该满足与圆心的连线与曲线在该点的切线垂直的问题来解决，从而求得切点坐标，即满足条件的点，代入求得结果.【详解】由题意可得，其结果应为曲线𝑦=ln𝑥上的点与以𝐶(−2,3)为圆心，以1为半径的圆上的点的距离的平方的最小值，可以求曲线𝑦=ln𝑥上的点与圆心𝐶(−2,3)的距离的最小值，在曲线𝑦=ln𝑥上取一点𝑀(𝑚,ln𝑚)，曲线有𝑦=ln𝑥在点M处的切线的斜率为𝑘′=1𝑚，从而有𝑘𝐶𝑀⋅𝑘′=−1，即ln𝑚−3𝑚+2⋅1𝑚=−1，整理得ln𝑚+𝑚2+2𝑚−3=0，解得𝑚=1，所以点(1,0)满足条件，其到圆心𝐶(−2,3)的距离为𝑑=√(−2−1)2+(3−0)2=3√2，故其结果为(3√2−1)2=19−6√2，故选D.【点睛】本题考查函数在一点处切线斜率的应用，考查圆的程，两条直线垂直的斜率关系，属中档题.10．[√2−1，1].【解析】分析:先建立直角坐标系，再设出点P,Q的坐标，利用已知条件求出P,Q的坐标，再求出𝑂𝑃⃑⃑⃑⃑⃑⋅𝑂𝑄⃑⃑⃑⃑⃑⃑的函数表达式，求其最值，即得其取值范围.详解:以点O为坐标原点,以OA所在直线作x轴，以OB所在直线作y轴，建立直角坐标系.则A(1，0),B(0，1),直线AB的方程为x+y-1=0,设P(𝑐𝑜𝑠𝛼,sin𝛼)(0≤𝛼≤𝜋2)，𝑄(𝑥0,𝑦0)，所以PQ的中点(𝑥0+cos𝛼2,𝑦0+sin𝛼2)，由题得{𝑘𝑃𝑄=sin𝛼−𝑦0cos𝛼−𝑥0=1𝑥0