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第四章圆与方程4.1圆的方程4．1.2圆的一般方程[学习目标]1.了解二元二次方程、圆的标准方程与圆的一般方程之间的关系(重点)．2.理解圆的一般方程及其特点，会用待定系数法求圆的方程，并能把圆的一般方程转化为标准方程(重点、难点)．3.掌握二元二次方程表示圆的条件，并会应用坐标法求动点的轨迹(方程)(难点、易错点)．1．圆的一般方程的概念当D2＋E2－4F0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．2．圆的一般方程对应的圆心和半径圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F0)表示的圆的圆心为____________，半径长为_______________．－D2，－E212D2＋E2－4F温馨提示如果x2，y2的系数相等，且是不为1的非零常数，只需在方程的两边同除以这个数，系数就可变为1.1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)圆的一般方程可以化为圆的标准方程．()(2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某个圆的方程．()(3)方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则E≠0.()解析：(1)圆的一般方程与标准方程可以互化，故(1)正确．(2)二元二次方程表示圆的方程需满足D2＋E2－4F0故(2)不正确．(3)由圆的方程的一般式定义知(3)正确．答案：(1)√(2)×(3)√2．圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径分别为()A．(4，－6)，r＝16B．(2，－3)，r＝4C．(－2，3)，r＝4D．(2，－3)，r＝16解析：由圆的一般方程可知圆心坐标为(－2，3)，半径r＝1242＋（－6）2＋12＝4.答案：C3．方程x2＋y2＋2ax－2y＋a2＋a＝0表示圆，则实数a的取值范围是()A．a≤1B．a1C．a0D．0a1解析：由D2＋E2－4F0，得(2a)2＋(－2)2－4(a2＋a)0，即4－4a0，解得a1，故选B.答案：B4．若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F＝________．解析：由－D2＝2，－E2＝－4，12D2＋E2－4F＝4，解得F＝4.答案：45．若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则实数k的取值范围是________．解析：由D2＋E2－4F＝(－4)2＋22－4×5k＝20－20k0得k1.答案：k1类型1圆的一般方程的概念(自主研析)[典例1]下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径．(1)x2＋2y2－7x＋5＝0；(2)x2－xy＋y2＋3x＋5y＝0；(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；(4)－2x2－2y2＋10y＝0.解：(1)由于x2，y2的系数不相等，故不表示圆．(2)由于该方程中含有xy这样的二次项，故不表示圆．(3)方程x2＋y2－2x－4y＋10＝0可化为(x－1)2＋(y－2)2＝－5，显然不表示圆．(4)方程－2x2－2y2＋10y＝0可化为x2＋y－522＝254，所以其可以表示以0，52为圆心，以52为半径的圆．归纳升华方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的两种判断方法1．配方法．对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程可以通过配方变形成“标准”形式后，观察是否表示圆．2．运用圆的一般方程的判断方法求解．即通过判断D2＋E2－4F是否为正，确定它是否表示圆．[变式训练]若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆．(1)求实数m的取值范围；(2)求圆心坐标和半径．解：(1)据题意知D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)0，即4m2＋4－4m2－20m0，解得m15，故m的取值范围为－∞，15.(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，故圆心坐标为(－m，1)，半径r＝1－5m.类型2求圆的方程[典例2](1)已知圆经过A(2，－3)和B(－2，－5)，若圆心在直线x－2y－3＝0上，求圆的方程；(2)求过点A(－1，0)，B(3，0)和C(0，1)的圆的方程．解：(1)法一设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则4＋（－3）2＋2D＋（－3）E＋F＝0，（－2）2＋（－5）2＋（－2）D＋（－5）E＋F＝0，－D2－2·－E2－3＝0.所以D＝2，E＝4，F＝－5.所以圆的方程为x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.法二设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则（2－a）2＋（－3－b）2＝r2，（－2－a）2＋（－5－b）2＝r2，a－2b－3＝0，⇒a＝－1，b＝－2，r2＝10.所以圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.法三线段AB中垂线的方程为2x＋y＋4＝0.它与直线x－2y－3＝0的交点(－1，－2)为圆心，由两点间距离得r2＝10，所以圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.(2)法一设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，(*)把A、B、C三点坐标代入方程(*)得1－D＋F＝0，9＋3D＋F＝0，1＋E＋F＝0，所以D＝－2，E＝2，F＝－3.故所求圆的方程为x2＋y2－2x＋2y－3＝0.法二线段AB的中垂线方程为x＝1，线段AC的中垂线方程为x＋y＝0，由x＝1，x＋y＝0，得圆心坐标为M(1，－1)，半径r＝|MA|＝5，所以圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.归纳升华1．求圆的方程的基本方法：确定圆的方程需要三个独立条件，“选标准，定参数”是解题的基本方法．其中，选标准是根据已知条件选恰当的圆的方程的形式，进而确定其中三个参数．一般来讲，条件涉及圆上的点多，可选择一般方程，条件涉及圆心与半径，可选择标准方程．2．求圆的方程的一般步骤：(1)根据题意选用圆的两种形式的方程中的一种；(2)根据所给条件，列出关于D，E，F或a，b，r的方程组；(3)解方程组，求出D，E，F或a，b，r的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求的圆的方程．[变式训练]求经过点A(1，5)和B(2，－22)，且圆心在x轴上的圆的方程．解：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F0)．因为圆心在x轴上，所以－E2＝0，即E＝0.又因为圆过点A(1，5)和B(2，－22)，所以12＋(5)2＋D＋F＝0，22＋(－22)2＋2D＋F＝0，即D＋F＋6＝0，①2D＋F＋12＝0.②联立①②，解得D＝－6，F＝0.故所求圆的方程为x2＋y2－6x＝0.类型3求与圆有关的动点的轨迹(方程)[典例3]等腰三角形的顶点是A(4，2)，底边的一个端点是B(3，5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．解：设另一端点C的坐标为(x，y)．依题意，得|AC|＝|AB|.由两点间距离公式，得（x－4）2＋（y－2）2＝（4－3）2＋（2－5）2，整理得(x－4)2＋(y－2)2＝10.这是以点A(4，2)为圆心，以10为半径的圆，如图所示，又因为点A，B，C为三角形的三个顶点，所以A，B，C三点不共线，即有点B，C不能重合，所以C点的横坐标x≠3.而且点B，C不能为一直径的两端点，所以x＋32≠4，点C的横坐标x≠5.故端点C的轨迹方程是(x－4)2＋(y－2)2＝10(x≠3，x≠5)，所以端点C的轨迹是以A(4，2)为圆心，10为半径的圆，但除去(3，5)和(5，－1)两点．归纳升华1．求轨迹方程的三种常用方法．(1)直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简、证明．(2)定义法：动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程．(3)代入法：若动点P(x，y)依赖于某圆上的一个动点Q(x1，y1)而运动，把x1，y1用x，y表示，再将Q点的坐标代入到已知圆的方程中得P点的轨迹方程．2．(1)求出轨迹方程后应说出最后是什么样的图形；(2)要考虑轨迹上应去掉的点及轨迹不存在的情形．[变式训练]设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作▱MONP，求点P的轨迹方程．解：如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为x2，y2，线段MN的中点坐标为x0－32，y0＋42.因为平行四边形的对角线互相平分，故x2＝x0－32，y2＝y0＋42，则x0＝x＋3，y0＝y－4，即N(x＋3，y－4)．又点N在圆x2＋y2＝4上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.直线OM与轨迹相交于两点－915，125和－215，285，不合题意，舍去．因此点P的轨迹为圆，其轨迹方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝4.且不包括－915，125和－215，285两点．1．任何一个圆的方程都可写成x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式，但方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的曲线不一定是圆，只有D2＋E2－4F0时，方程才表示圆心为－D2，－E2，半径为r＝12D2＋E2－4F的圆．2．在圆的方程中含有三个参数，因此必须具备三个独立条件才能确立一个圆．求圆的方程时是选用标准方程还是一般方程的依据：当给出的条件与圆心坐标、半径有关，或者由已知条件容易求得圆心和半径时，一般用标准方程．当上述特征不明显时，常用一般方程，特别是给出圆上三点，用待定系数法求圆的方程时，常用一般式．3．要画出圆的图象，必须知道圆心和半径，因此应掌握用配方法将圆的一般方程化为标准方程．