基于油管头实测轴向载荷的泵示功图仿真模型

◀油气田开发工程▶基于油管头实测轴向载荷的泵示功图仿真模型∗姚春东　赵　然　张红超　李鹏飞　孙　亮（燕山大学机械工程学院）　　摘要：抽油机井泵况诊断技术是以实测悬点示功图为基础，应用抽油杆柱纵向振动的波动方程可以将悬点示功图转化为泵示功图。建立了抽油机井泵示功图仿真的新方法，该方法以实测油管头轴向载荷与悬点位移的时间历程为已知条件，应用波动方程描述油管柱的轴向振动，建立了油管柱底端轴向载荷的仿真模型，并以此为基础建立了抽油泵泵筒内瞬时液体压力和柱塞液体载荷的仿真模型，从而建立了基于油管头轴向载荷的示功图仿真方法。实测与仿真结果表明：油管头轴向载荷与悬点位移所构成的图形与悬点示功图具有确定的对应关系，基于油管头轴向载荷仿真泵示功图是可行的。所建立的泵示功图仿真模型具有较高的仿真精度，能够满足工程实际应用的要求。关键词：油管柱；油管头；轴向载荷；波动方程；抽油泵；示功图；仿真模型中图分类号：ＴＥ９３３　文献标识码：Ａ　ｄｏｉ：１０􀆰１６０８２／ｊ􀆰ｃｎｋｉ􀆰ｉｓｓｎ􀆰１００１－４５７８􀆰２０１６􀆰１１􀆰０１２ＰｕｍｐＩｎｄｉｃａｔｏｒＤｉａｇｒａｍＳｉｍｕｌａｔｉｏｎＭｏｄｅｌｂａｓｅｄｏｎＭｅａｓｕｒｅｄＡｘｉａｌＬｏａｄｏｆＴｕｂｉｎｇＨｅａｄＹａｏＣｈｕｎｄｏｎｇ　ＺｈａｏＲａｎ　ＺｈａｎｇＨｏｎｇｃｈａｏ　ＬｉＰｅｎｇｆｅｉ　ＳｕｎＬｉａｎｇ（ＭｅｃｈａｎｉｃａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＣｏｌｌｅｇｅｏｆＹａｎｓｈａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｐｕｍｐｄｉａｇｎｏｓｉｓｔｅｃｈｎｉｑｕｅｏｆｒｏｄｐｕｍｐｅｄｗｅｌｌｉｓｔｏｃｏｎｖｅｒｔｐｏｌｉｓｈｅｄｒｏｄｉｎｄｉｃａｔｏｒｄｉａｇｒａｍｉｎｔｏｐｕｍｐｉｎｄｉｃａｔｏｒｄｉａｇｒａｍｂｙｕｓｉｎｇｗａｖｅｅｑｕａｔｉｏｎｆｏｒｌｏｎｇｉｔｕｄｉｎａｌｖｉｂｒａｔｉｏｎｏｆｓｕｃｋｅｒｒｏｄｓｔｒｉｎｇｏｎｔｈｅｂａｓｉｓｏｆｍｅａｓ⁃ｕｒｅｄｐｏｌｉｓｈｅｄｒｏｄｉｎｄｉｃａｔｏｒｄｉａｇｒａｍ􀆰Ａｎｅｗｍｅｔｈｏｄｉｓｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄｔｏｓｉｍｕｌａｔｅｔｈｅｐｕｍｐｉｎｄｉｃａｔｏｒｄｉａｇｒａｍｏｆｒｏｄｐｕｍｐｅｄｗｅｌｌ􀆰Ｕｎｄｅｒｋｎｏｗｎｃｏｎｄｉｔｉｏｎｏｆｔｉｍｅｈｉｓｔｏｒｙｆｏｒｍｅａｓｕｒｅｄａｘｉａｌｌｏａｄａｎｄｐｏｌｉｓｈｅｄｒｏｄｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔｏｆｔｕｂ⁃ｉｎｇｈｅａｄ，ｔｈｅｗａｖｅｅｑｕａｔｉｏｎｉｓｕｓｅｄｆｏｒｄｅｓｃｒｉｂｉｎｇａｘｉａｌｖｉｂｒａｔｉｏｎｏｆｔｕｂｉｎｇｓｔｒｉｎｇａｎｄａｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｍｏｄｅｌｉｓｂｕｉｌｔｆｏｒａｘｉａｌｌｏａｄｏｎｔｈｅｂｏｔｔｏｍｏｆｔｕｂｉｎｇｓｔｒｉｎｇ􀆰Ｏｎｔｈｅｂａｓｉｓｏｆｔｈｅａｂｏｖｅｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｍｏｄｅｌ，ａｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｍｏｄｅｌｉｓｂｕｉｌｔｆｏｒｔｒａｎｓｉｅｎｔｌｉｑｕｉｄｐｒｅｓｓｕｒｅｉｎｔｈｅｏｉｌｐｕｍｐｃｙｌｉｎｄｅｒａｎｄｐｌｕｎｇｅｒｌｉｑｕｉｄｌｏａｄｉｎｏｒｄｅｒｔｏｅｓｔａｂｌｉｓｈｔｈｅｉｎｄｉｃａｔｏｒｄｉａｇｒａｍｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｂａｓｅｄｏｎａｘｉａｌｌｏａｄｏｆｔｕｂｉｎｇｈｅａｄ􀆰Ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔａｎｄｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｒｅｓｕｌｔｓｉｎｄｉｃａｔｅｔｈａｔｔｈｅｄｉａｇｒａｍｃｏｎｓｔｉｔｕｔｅｄｂｙｔｕｂｉｎｇｈｅａｄａｘｉａｌｌｏａｄａｎｄｐｏｌｉｓｈｅｄｒｏｄｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔｈａｓａｄｅｆｉｎｅｄｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇｒｅｌａｔｉｏｎｗｉｔｈｔｈｅｐｏｌｉｓｈｅｄｒｏｄｉｎｄｉｃａｔｏｒｄｉａｇｒａｍ，ａｎｄｉｔｉｓｆｅａｓｉｂｌｅｔｏｓｉｍｕｌａｔｅｔｈｅｐｕｍｐｉｎｄｉｃａｔｏｒｄｉａｇｒａｍｂａｓｅｄｏｎａｘｉａｌｌｏａｄｏｆｔｕｂ⁃ｉｎｇｈｅａｄ􀆰Ｔｈｅｐｕｍｐｉｎｄｉｃａｔｏｒｄｉａｇｒａｍｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｍｏｄｅｌｂｕｉｌｔｉｓｏｆｈｉｇｈｓｉｍｕｌａｔｉｏｎａｃｃｕｒａｃｙａｎｄａｂｌｅｔｏｍｅｅｔｒｅ⁃ｑｕｉｒｅｍｅｎｔｓｆｏｒａｃｔｕａｌｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ􀆰Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｔｕｂｉｎｇｓｔｒｉｎｇ；ｔｕｂｉｎｇｈｅａｄ；ａｘｉａｌｌｏａｄ；ｗａｖｅｅｑｕａｔｉｏｎ；ｏｉｌｐｕｍｐ；ｉｎｄｉｃａｔｏｒｄｉａｇｒａｍ；ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｍｏｄｅｌ０　引　言自Ｓ􀆰Ｇ􀆰ＧＩＢＢＳ于２０世纪６０年代建立了抽油机井泵况诊断方法以来［１］，基于井下抽油泵示功图的抽油机井泵况诊断技术已经广泛应用于油田实际。目前井下抽油泵示功图的获得主要应用如下２种方法：一是以实测悬点示功图为基础［２－３］，应用抽油杆柱纵向振动的仿真模型将悬点实测示功图转化为井下泵示功图［４－６］，该方法属于获得井下泵示功图的间接方法；二是利用井下示功仪在接近拉杆处测试井下抽油泵示功图［７－８］，这是一种获得井下泵示功图的直接方法。与间接方法比较，直接方法获得的井下示功图具有精度高的优点，但测试系统—９５—　　２０１６年　第４４卷　第１１期石　油　机　械ＣＨＩＮＡＰＥＴＲＯＬＥＵＭＭＡＣＨＩＮＥＲＹ　　　　　　∗基金项目：国家自然科学基金项目“整体区块抽油机井运行仿真优化的基础理论研究”（５１１７４１７５）。应用维护不便，因此直接测试方法一般多用于抽油杆柱振动特性的机理研究。目前抽油机井泵况诊断技术主要是应用间接方法获得井下示功图。基于波动方程的悬点实测示功图转化为泵示功图的仿真方法广泛应用于油田实际。研究结果表明：波动方程中的阻尼系数是影响示功图转化精度的主要因素。由于抽油杆柱属于细长杆柱，其抗拉压刚度较低，存在显著的轴向振动，示功图转化精度对阻尼系数计算精度极其敏感。由于影响抽油杆柱阻尼系数的因素较多，既涉及到井下多相流流体的特性，也和井眼结构、井筒结蜡程度等因素相关，所以较难精确计算阻尼系数。确定井下泵示功图的关键是确定柱塞瞬时液体载荷，而柱塞液体载荷与油管底端轴向液体载荷之间具有确定的函数关系，因此笔者探索通过实测油管头轴向载荷，并基于波动方程实现对油管柱底端轴向液体载荷、抽油泵柱塞液体载荷与井下抽油泵示功图的仿真。相对于抽油杆柱来说，油管柱抗拉压刚度较大，轴向振动不显著，因此阻尼系数对油管柱纵向振动响应影响相对较小，有利于提高井下示功图的仿真精度。１　油管头轴向载荷与油管柱底端轴向载荷转化仿真模型　　对于抽油机井，设任意时刻ｔ油管头的轴向载荷为ＰＨ（ｔ），悬点位移ｘｐｒ（ｔ），即已知油管头轴向载荷的时间历程、油管头轴向载荷随悬点位移的变化规律。设任意时刻ｔ油管柱底端（忽略泵筒长度的影响，即假设抽油泵泵筒与油管柱连接处的横截面为油管柱底端）的轴向载荷为Ｐｔ（ｔ），位移为ｘｔ（ｔ）。抽油机井工作时，随着悬点上、下往复运动，抽油泵吸入阀与排出阀交替开启与关闭，泵筒内液体压力周期性变化，从而导致作用于油管柱底端的轴向载荷Ｐｔ（ｔ）周期性变化，并引起油管柱的轴向振动，即油管柱底端的轴向载荷Ｐｔ（ｔ）是油管柱轴向振动的激励，油管头轴向载荷ＰＨ（ｔ）是油管柱轴向振动的响应。为便于对油管柱纵向振动规律进行仿真，做如下假设和简化：①不考虑油管内液柱的振动；②油井是铅直的，油管柱为单级管柱；③管柱为弹性变形，横截面为圆环形；④油管头处简化为固定端，即轴向位移为０；⑤油管柱未锚定，将油管柱底端简化为自由端，并受轴向载荷Ｐｔ（ｔ）激励。在上述假设条件下，应用波动方程描述油管柱的轴向振动［９］，则可以得到如下数学模型：∂２ｕ∂ｔ２－ｃ２∂２ｕ∂ｘ２＋ν∂ｕ∂ｔ＝０ｕ｜ｘ＝０＝０ＥｔＡｔ∂ｕ∂ｘｘ＝０＝ＰＨ（ｔ）－Ｗｔìîíïïïïïï（１）其中ｃ＝Ｅｔρ（２）式中：ｕ为管柱任意截面ｘ在时刻ｔ的位移，ｍ；ｃ为声音在油管中的传播速度，ｍ／ｓ；Ｅｔ为油管柱材料的弹性模量，Ｐａ；ρｔ为油管柱材料密度，ｋｇ／ｍ３；Ａｔ为油管柱的横截面积，ｍ２；ν为阻尼系数，１／ｓ；ＰＨ（ｔ）为油管头轴向载荷，Ｎ；Ｗｔ为油管柱重力，Ｎ。波动方程（１）忽略了油管柱自重的影响，因此油管头处的载荷边界条件仅为动载荷ＰＨ（ｔ）－Ｗｔ。目前常采用差分法求波动方程（１）的数值解或采用级数法求其解析解。笔者采用级数法求其解析解。将油管头轴向动载荷ＰＨ（ｔ）－Ｗｔ展开成傅氏级数：ＰＨ（ｔ）－Ｗｔ＝σ０２＋∑Ｎｎ＝１（σｎｃｏｓｎωｔ＋τｎｓｉｎｎωｔ）（３）式中：σｎ、τｎ为傅立叶系数；ω为曲柄角速度，ｒａｄ／ｓ；Ｎ为截断的傅氏级数项。傅立叶系数σｎ、τｎ由下式计算：σｎ＝ωπ∫Ｔ０ＰＨ（ｔ）ｃｏｓｎωｔｄｔτｎ＝ωπ∫Ｔ０ＰＨ（ｔ）ｓｉｎｎωｔｄｔìîíïïïï（４）式中：Ｔ为悬点运动周期，ｓ。根据边界条件，应用分离变量法可得油管柱任意截面ｘ处的位移：ｕ（ｘ，ｔ）＝σ０２ＥＡｔｘ＋∑Ｎｎ＝１Ｏｎ（ｘ）ｃｏｓｎｗｔ＋Ｐｘ（ｘ）ｓｉｎｎｗｔ（５）　　油管柱任意截面ｘ处的轴向载荷为：Ｐ（ｘ，ｔ）＝Ｅｆｒσ０２Ｅｆｒ＋∑Ｎｎ＝１∂Ｏｎ（ｘ）∂ｘｃｏｓｎωｔ＋æèç∑Ｎｎ＝１∂Ｐｎ（ｘ）∂ｘｓｉｎｎωｔöø÷（６）其中Ｏｎ（ｘ）＝ｘｎｃｈβｎｘｓｉｎαｎｘ＋μｎｓｈβｎｘｃｏｓαｎｘＰｎ（ｘ）＝ｘｎｓｈβｎｘｃｏｓαｎｘ－μｎｃｈβｎｘｓｉｎαｎｘ{（７）—０６—　　　　　　石　油　机　械２０１６年　第４４卷　第１１期于是有：αｎ＝ｎωａ２１＋１＋ｃｎｗæèçöø÷２βｎ＝ｎωａ２－１＋１＋ｃｎｗæèçöø÷２ｘｎ＝σｎαｎ＋τｎβｎＥｆｒ（α２ｎ＋β２ｎ）μｎ＝σｎβｎ－τｎαｎＥｆｒ（α２ｎ＋β２ｎ）ìîíïïïïïïïïïïïïïï（８）　　由式（５）和式（６），并令式中的ｘ等于下泵深度Ｌ，则可以实现对油管柱底端轴向载荷Ｐｔ（ｔ）与位移为ｘｔ（ｔ）的仿真。２　柱塞液体载荷与泵示功图仿真模型对抽油泵泵筒与柱塞进行受力分析，可得油管柱底端轴向载荷Ｐｔ（ｔ）、柱塞液体载荷（即抽油杆柱底端横截面的轴向载荷）ＰＰ（ｔ）的计算公式：Ｐｔ（ｔ）＝Ａｐｐ－ｐｓＡｔｏ＋ｐｄ（Ａｔｉ－Ａｐ）－Ｆｆ（９）ＰＰ（ｔ）＝（Ａｐ－Ａｒ）ｐｄ－Ａｐｐ＋Ｆｆ（１０）式中：Ｐｔ（ｔ）为油管柱底端轴向载荷，Ｎ；ＰＰ（ｔ）为柱塞轴向液体载荷，Ｎ；Ａｐ为抽油泵柱塞横截面积，ｍ２；Ａｔｏ为油管外圆面积，ｍ２；Ａｔｉ为油管内圆面积，ｍ２；Ａｒ为底部抽油杆横截面积，ｍ２；ｐｄ为抽油泵排出口压力，Ｐａ；ｐｓ为泵吸入口沉没压力，Ｐａ；ｐ为任意时刻泵筒内液体压力，Ｐａ；Ｆｆ为柱塞与泵筒之间摩擦力，Ｎ。当已知油管头轴向载荷时，由式（９）可以计算出任意时刻泵筒内的液体压力：ｐ＝１ＡｐＰｔ（ｔ）＋ｐｓＡｔｏ－[ｐｄ（Ａｔｉ－Ａｐ）＋Ｆｆ]（１１）　　将ｐ代入式（１０）便可以计算出柱塞液体载荷。另外，对比式（９）与式（１０），也可由下式计算柱塞液体载荷：ＰＰ（ｔ）＝ｐｄＡｔｉ－Ｐｔ（ｔ）－ｐｓＡｔｏ（１２）　　对于实际油井，下泵深度、油井动液面与井筒参数已知，因此可以应用简单的油水两相混合液模型或应用多相管流模型［５］计算泵的沉没压力与排出压力。当已知油管头轴向载荷时，应用公式（１０）或公式（１２）便可以实现对柱塞液体载荷的仿真计算。根据柱塞液体载荷的仿真结果，便可以绘出柱塞液体载荷随位移的变化图形，实现对抽油泵示功图的仿真。３　仿真实例与精度验证　　油井参数：抽油机型号ＣＹＪＹ１０－３－５３ＨＢ，冲程Ｓ＝３ｍ，冲次ｎ＝４ｍｉｎ－１，泵径Ｄ＝７０ｍｍ，抽油杆柱组合ø２５ｍｍ×４００ｍ＋ø２２ｍｍ×６００ｍ，油管柱内径６２ｍｍ、外径７３ｍｍ，油井动液面８００ｍ，含水质量分数ｎｗ＝９０％，油压ｐ０＝０􀆰７ＭＰａ，套压ｐｃ＝０􀆰３ＭＰａ，气油比Ｓｐ＝５０ｍ３／ｍ３；饱和压力ｐｂ＝８ＭＰａ，由多相管流模型［１０］计算的抽油泵排出压力ｐｄ＝１０􀆰１０ＭＰａ、沉没压力ｐｓ＝１􀆰９８ＭＰａ。图１ａ为油管头实测轴向载荷时间历程曲线；图１ｂ为油管头实测轴向载荷随悬点位移的变化规律图形；图１ｃ为实测悬点示功图。图１　油管头轴向载荷与悬点示功图Ｆｉｇ􀆰１　Ｔｕｂｉｎｇｈｅａｄａｘｉａｌｌｏａｄａｎｄｐｏｌｉｓｈｅｄｒｏ