高一数学必修一知识+典型习题整理

第一章集合一、集合有关概念1.集合的中元素的三个特性：(1)元素的确定性.如：世界上最高的山(2)元素的互异性.如：由HAPPY的字母组成的集合YPAH,,,(3)元素的无序性.如：cba,,和bca,,是表示同一个集合2.常用数集的表示：非负整数集（自然数集）：N；正整数集NN或；整数集：Z；有理数集：Q实数集：R3.集合的分类：(1)有限集：含有有限个元素的集合(2)无限集：含有无限个元素的集合(3)空集：不含任何元素的集合，记作：.例：5|2xx二、集合间的基本关系1.“包含”关系——子集注意：BA有两种可能：①A是B的一部分；②A与B是同一集合.反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA2．“相等”关系：BA(BA且AB)实例：设01|2xxA，1,1B“元素相同则两集合相等”3.集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集即AA.②真子集:如果BA,且BA那就说集合A是集合B的真子集，记作AB或(BA)③如果BA,CB,那么CA.④如果BA同时AB那么BA.4.子集个数问题规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集.有n个元素的集合，含有n2个子集，12n个真子集.三、集合的运算运算类型交集并集补集定义BA=BxAxx且|BA=BxAxx或|ACS=AS|xxx且韦恩图示四、典型例题：1.下列四组对象，能构成集合的是（）A某班所有高个子的学生B著名的艺术家C一切很大的书D倒数等于它自身的实数2.集合cba,,的真子集共有个3.若集合RxxxyyM,12|2,0|xxN,则M与N的关系是.4.设集合21|xxA，axxA|，若BA，则a的取值范围是.5.已知集合082|2xxxA,065|2xxxB,019|22mmxxxC,若CB，AB图1AB图2SACA，求m的值.第二章函数一、函数的相关概念1．函数的对应形式：一对一、多对一．2．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域.常见定义域类型：①分母0；②偶次方根的被开方数0；对数式的真数0N；④指数、对数式的底10aa且；⑤00xx中.相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致(两点必须同时具备)3．值域:先考虑其定义域(1)观察法(2)配方法(3)代换法4.函数图象变换规律：①平移变换：左加右减、上加下减；②翻折变换：)(xf去左留右、右翻左)(xf)(xf去下留上、下翻上)(xf二、函数的性质1.函数的单调性(局部性质)I.增函数：2121,xxDxx且，都有)()(21xfxf减函数：2121,xxDxx且，都有)()(21xfxfII.图象的特点增函数：图象从左到右是上升的；减函数：图象从左到右是下降的.III.函数单调区间与单调性的判定方法A.定义法：（证明步骤：取值、作差、变形、定号、下结论）B.图象法:从图象上看升降C.复合函数的单调性规律：“同增异减”2．函数的奇偶性（整体性质）I.用定义判断函数奇偶性的步骤：○1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；○2确定)(xf)(xf与的关系；○3作出相应结论：若为奇函数，则有0)()()()(xfxfxfxf或；若为偶函数，则有0)()()()(xfxfxfxf或II.函数图象的特征奇函数：图象关于原点对称；偶函数：图象关于y轴对称.3.函数解析式主要方法有：①凑配法；②待定系数法；③换元法；④消参法.三、典型习题：1.已知函数()fx满足2()()34fxfxx，则()fx=.2.设函数fx()的定义域为[]01，，则函数fx()2的定义域为__；若函数(1)fx的定义域为[]23，，则函数(21)fx的定义域是.3.设()fx是R上的奇函数，且当[0,)x时,3()(1)fxxx,则当(,0)x时()fx=；()fx在R上的解析式为.4.函数22(1)()(12)2(2)xxfxxxxx，若()3fx，则x=5.求下列函数的定义域：⑴221533xxyx⑵211()1xyx6.求下列函数的值域：（1）223yxx(2)245yxx7.已知函数2(1)4fxxx，求函数()fx，(21)fx的解析式.8.求下列函数的单调区间：⑴223yxx（2）261yxx9.设函数2211)(xxxf判断它的奇偶性并且求证：)()1(xfxf．第三章基本初等函数一、指数函数（一）指数与指数幂的运算1．根式的概念：一般地，如果axn，那么x叫做a的n次方根，其中n1，且n∈N*．负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00n.aann)(为奇数n；)0()0(||aaaaaann)(为偶数n2．分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：)1,,,0(*nNnmaaanmnm，)1,,,0(11*nNnmaaaanmnmnm0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.3．实数指数幂的运算性质①ra·srraa；②rssraa)(；③srraaab)(（二）指数函数及其性质1.指数函数：形如)1,0(aaayx且叫做指数函数.2.指数函数的图象和性质1a10a定义域：R定义域：R值域：,0值域：,0在R上单调递增在R上单调递减非奇非偶函数非奇非偶函数函数图象都过定点（0，1）函数图象都过定点（0，1）654321-1-4-224601654321-1-4-224601二、对数函数（一）对数1．对数的概念：一般地，如果Nax)1,0(aa，那么数x叫做以．a为底．．N的对数，记作：Nxalog（a—底数，N—真数，Nalog—对数式）说明：○1注意底数的限制0a，且1a；○2xNNaaxlog；○3注意对数的书写格式．两个重要对数：○1常用对数：以10为底的对数Nlg；○2自然对数：以无理数71828.2e为底的对数的对数Nln．指数式与对数式的互化幂值真数ba＝NlogaN＝b底数指数对数2.对数的运算性质如果0a，且1a，0M，0N，那么：○1Ma(log·)NMalog＋Nalog；○2NMalogMalog－Nalog；○3naMlognMalog)(Rn．注意：换底公式abbccalogloglog（0a，且1a；0c，且1c；0b）．利用换底公式推导下面的结论（1）bmnbanamloglog；（2）abbalog1log．（二）对数函数1.对数函数：形如0(logaxya，且)1a叫做对数函数，其中Rx.注意:xy2log2，5log5xy都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．2.对数函数的图象和性质：1a10a定义域：,0定义域：,0值域：R值域：R在R上递增在R上递减函数图象都过定点函数图象都过32.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-11234567801132.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-112345678011Nalog（1，0）定点（1，0）（三）幂函数1.幂函数：形如xy)(Ra的函数称为幂函数，其中为常数．2.幂函数性质归纳I.所有的幂函数图象都不经过第四象限，但都过点（1，1）；II.0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[上是增函数；特别地：①当1时，幂函数的图象下凸，概括为“高高昂起”②当10时，幂函数的图象上凸，概括为“匍匐前进”；III.0时，幂函数的图象在区间),0(上是减函数．四、典型习题1.已知10aa且，函数)(logxyayax与的图象只能()2.计算：①64log2log273;②3log422=；2log227log553125=;③21343101.016])2[()87(064.075.030=3.函数)10(2)(652aaaxfxx且过定点；函数f(x)=loga(2x+1)−2恒过定点；函数)10(5)22(log)(2aaxxxfa且过定点.4.函数)132(log221xxy的递减区间为.5.若函数)10(log)(axxfa在区间]2,[aa上的最大值是最小值的3倍，则a.6.已知1()log(01)1axfxaax且，求：（1）()fx的定义域；（2）判断)(xf的奇偶性；（3）求使0)(xf的x的取值范围.7.画出下列函数图象(1)f(x)=ln|x|(2)f(x)=|log3x|8.已知函数f(x)=loga(x2−2x−3)（a0且a≠1），讨论f(x)的单调性9.求函数)34ln()(2xxxf的值域.