等比数列典型例题及详细解答

1．等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母__q__表示(q≠0)．2．等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1·qn－1.3．等比中项若G2＝a·b_(ab≠0)，那么G叫做a与b的等比中项．4．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an.(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，1an，{a2n}，{an·bn}，anbn仍是等比数列．5．等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝a11－qn1－q＝a1－anq1－q.6．等比数列前n项和的性质公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为__qn__.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．(×)(2)G为a，b的等比中项⇔G2＝ab.(×)(3)如果数列{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．(×)(4)如果数列{an}为等比数列，则数列{lnan}是等差数列．(×)(5)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝a1－an1－a.(×)(6)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．(×)1．(2015·课标全国Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7等于()A．21B．42C．63D．84答案B解析设等比数列{an}的公比为q，则由a1＝3，a1＋a3＋a5＝21得3(1＋q2＋q4)＝21，解得q2＝－3(舍去)或q2＝2，于是a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42，故选B.2．设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3，S4＝15，则S6等于()A．31B．32C．63D．64答案C解析根据题意知，等比数列{an}的公比不是－1.由等比数列的性质，得(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，即122＝3×(S6－15)，解得S6＝63.故选C.3．等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lgan}的前8项和等于()A．6B．5C．4D．3答案C解析数列{lgan}的前8项和S8＝lga1＋lga2＋…＋lga8＝lg(a1·a2·…·a8)＝lg(a1·a8)4＝lg(a4·a5)4＝lg(2×5)4＝4.4．(2015·安徽)已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前n项和等于________．答案2n－1解析由等比数列性质知a2a3＝a1a4，又a2a3＝8，a1＋a4＝9，所以联立方程a1a4＝8，a1＋a4＝9，解得a1＝1，a4＝8或a1＝8，a4＝1，又∵数列{an}为递增数列，∴a1＝1，a4＝8，从而a1q3＝8，∴q＝2.∴数列{an}的前n项和为Sn＝1－2n1－2＝2n－1.5．(教材改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________．答案27,81解析设该数列的公比为q，由题意知，243＝9×q3，q3＝27，∴q＝3.∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.题型一等比数列基本量的运算例1(1)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于()A.152B.314C.334D.172(2)在等比数列{an}中，若a4－a2＝6，a5－a1＝15，则a3＝________.答案(1)B(2)4或－4解析(1)显然公比q≠1，由题意得a1q·a1q3＝1，a11－q31－q＝7，解得a1＝4，q＝12，或a1＝9q＝－13(舍去)，∴S5＝a11－q51－q＝41－1251－12＝314.(2)设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，则a1q3－a1q＝6，a1q4－a1＝15，两式相除，得q1＋q2＝25，即2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝12.所以a1＝1，q＝2，或a1＝－16，q＝12.故a3＝4或a3＝－4.思维升华等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．(1)在正项等比数列{an}中，an＋1＜an，a2·a8＝6，a4＋a6＝5，则a5a7等于()A.56B.65C.23D.32(2)(2015·湖南)设Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，且3S1,2S2，S3成等差数列，则an＝________.答案(1)D(2)3n－1解析(1)设公比为q，则由题意知0＜q＜1，由a2·a8＝a4·a6＝6，a4＋a6＝5，得a4＝3，a6＝2，所以a5a7＝a4a6＝32.(2)由3S1,2S2，S3成等差数列知，4S2＝3S1＋S3，可得a3＝3a2，所以公比q＝3，故等比数列通项an＝a1qn－1＝3n－1.题型二等比数列的判定与证明例2设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.(1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．(1)证明由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2，有a1＋a2＝S2＝4a1＋2.∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3.又Sn＋1＝4an＋2，①Sn＝4an－1＋2n≥2，②①－②，得an＋1＝4an－4an－1(n≥2)，∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)(n≥2)．∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1(n≥2)，故{bn}是首项b1＝3，公比为2的等比数列．(2)解由(1)知bn＝an＋1－2an＝3·2n－1，∴an＋12n＋1－an2n＝34，故{an2n}是首项为12，公差为34的等差数列．∴an2n＝12＋(n－1)·34＝3n－14，故an＝(3n－1)·2n－2.引申探究例2中“Sn＋1＝4an＋2”改为“Sn＋1＝2Sn＋(n＋1)”，其他不变探求数列{an}的通项公式．解由已知得n≥2时，Sn＝2Sn－1＋n.∴Sn＋1－Sn＝2Sn－2Sn－1＋1，∴an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，又a1＝1，当n＝1时上式也成立，故{an＋1}是以2为首项，以2为公比的等比数列，∴an＋1＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n－1.思维升华(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．(2)利用递推关系时要注意对n＝1时的情况进行验证．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)．(1)求a2，a3的值；(2)求证：数列{Sn＋2}是等比数列．(1)解∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)，∴当n＝1时，a1＝2×1＝2；当n＝2时，a1＋2a2＝(a1＋a2)＋4，∴a2＝4；当n＝3时，a1＋2a2＋3a3＝2(a1＋a2＋a3)＋6，∴a3＝8.综上，a2＝4，a3＝8.(2)证明a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)，①∴当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝(n－2)Sn－1＋2(n－1)．②①－②得nan＝(n－1)Sn－(n－2)Sn－1＋2＝n(Sn－Sn－1)－Sn＋2Sn－1＋2＝nan－Sn＋2Sn－1＋2.∴－Sn＋2Sn－1＋2＝0，即Sn＝2Sn－1＋2，∴Sn＋2＝2(Sn－1＋2)．∵S1＋2＝4≠0，∴Sn－1＋2≠0，∴Sn＋2Sn－1＋2＝2，故{Sn＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．题型三等比数列的性质及应用例3(1)在等比数列{an}中，各项均为正值，且a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝5，则a4＋a8＝________.(2)等比数列{an}的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若S10S5＝3132，则公比q＝________.答案(1)51(2)－12解析(1)由a6a10＋a3a5＝41及a6a10＝a28，a3a5＝a24，得a24＋a28＝41.因为a4a8＝5，所以(a4＋a8)2＝a24＋2a4a8＋a28＝41＋2×5＝51.又an0，所以a4＋a8＝51.(2)由S10S5＝3132，a1＝－1知公比q≠±1，则可得S10－S5S5＝－132.由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q5，故q5＝－132，q＝－12.思维升华(1)在等比数列的基本运算问题中，一般利用通项公式与前n项和公式，建立方程组求解，但如果能灵活运用等比数列的性质“若m＋n＝p＋q，则有aman＝apaq”，可以减少运算量．(2)等比数列的项经过适当的组合后构成的新数列也具有某种性质，例如等比数列Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等比数列，公比为qk(q≠－1)．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3a9＝2a25，a2＝2，则a1等于()A.12B.22C.2D．2(2)等比数列{an}共有奇数项，所有奇数项和S奇＝255，所有偶数项和S偶＝－126，末项是192，则首项a1等于()A．1B．2C．3D．4答案(1)C(2)C解析(1)由等比数列的性质得a3a9＝a26＝2a25，∵q＞0，∴a6＝2a5，q＝a6a5＝2，a1＝a2q＝2，故选C.(2)设等比数列{an}共有2k＋1(k∈N*)项，则a2k＋1＝192，则S奇＝a1＋a3＋…＋a2k－1＋a2k＋1＝1q(a2＋a4＋…＋a2k)＋a2k＋1＝1qS偶＋a2k＋1＝－126q＋192＝255，解得q＝－2，而S奇＝a1－a2k＋1q21－q2＝a1－192×－221－－22＝255，解得a1＝3，故选C.12．分类讨论思想在等比数列中的应用典例(12分)已知首项为32的等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，且－2S2，S3,4S4成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)证明：Sn＋1Sn≤136(n∈N*)．思维点拨(1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式；(2)求出前n项和，根据函数的单调性证明．规范解答(1)解设等比数列{an}的公比为q，因为－2S2，S3,4S4成等差数列，所以S3＋2S2＝4S4－S3，即S4－S3＝S2－S4，可得2a4＝－a3，于是q＝a4a3＝－12.[2分]又a1＝32，所以等比数列{an}的通项公式为an＝32×－12n－1＝(－1)n－1·32n.[3分](2)证明由(1)知，Sn＝1－－12n，Sn＋1Sn＝1－－12n＋11－－12n＝2＋12n2n＋1，n为奇数，2＋12n2n－1，n为偶数.[6分]当n为奇数时，Sn＋1Sn随n的增大而减小，所以Sn＋1Sn≤S1＋1S1＝136.[8分]当n为偶数时，Sn＋1Sn随n的增大而减小，所以Sn＋1Sn≤S2＋1S2＝2512.[10分]故对于n∈N*，有Sn＋1Sn≤136.[12分]温馨提醒(1)分类讨论思想在等比数列中应用较多，常见的分类讨论有①已知Sn与an的关系，要分n＝1，n≥2两种情况．②等比数列中遇到求和问题要分公比q