高数期末复习题--第四章-不定积分

第四章不定积分一、填空题（每小题3分）4.1.1.1．设cxdxxf231)(，则)(xf。x324.1.2.1．不定积分)(sin)3(sin2xdx。Cxxsin33sin314.1.3.1．设函数xxxf)(，则dxxf)(。Cxx4.1.4.1．设cxdxxfsinln)(，则)('xf。x2csc4.1.5.1．设cxdxxf3sin31)(，则)(xf。x3sin34.1.6.1．))((dxxfxd。dxxfx)(4.1.8.1．已知Cxxdxxf11)(（C为任意常数），则)(xf_________。2)1(2x4.1.9.1．已知Cxdxxfcos2)(（C为任意常数），则)(xf_________。xxsin4.1.10.1．设函数)(xf的一个原函数为xe3，则)(xf。xe39二、单项选择题（每小题3分）4.2.1.1．下列函数中，不是x2sin原函数的是[C]A．cx2cosB．cx2sinC．cx2cos21D．cx2cos214.2.2.1．函数)(xf的一个原函数为x2sin，则)(xf=[A]A.x2cos2B.x2sin2C.x2cos21D.x2sin214.2.3.1．dxx100)12([B]A．Cx101)12(1011B．Cx101)12(2021C．Cx99)12(100D．Cx99)12(2004.2.4.1．若cxFdxxf)()(，则dxefexx)([B]A．ceFx)(B．ceFx)(C．ceFx)(D．cxeFx)(．4.2.5.1．设xexf)(，则dxxxf)(ln'[C]A.cx1B.cxlnC.cx1D.cxln．4.2.6.1．设)(xf在,上有连续的导数,则下面等式成立的是[A]A．Cxfdxxf)2(21)2(B．Cxfdxxf)2()2(C．Cxfdxxf)2(2)2(D．)2(2))2((xfdxxf．4.2.7.1．若x2cos是)(xg的一个原函数，则[A]A．Cxxxg2cosd)(B．Cxgxx)(d2cosC．Cxxxg2cosd)(D．Cxgxx)(d)2(cos．4.2.8.1．经过变量替换dxxtx21,tan不定积分[B]A．tdtsecB．tdt3secC．dttt21secD．tdt3sec4.2.9.1．设Cxdxxf2)(，则dxxxf)1(2为[D]A．Cx22)1(2B．Cx22)1(2C．Cx22)1(21D．Cx22)1(214.2.10.1．设)(xf的一个原函数是2x，则dxxxf)([C]A．Cx33B．Cx5C．Cx332D．Cx155．三、计算题（每小题6分）4.3.1.1．计算不定积分dxxex2．解：)3(21)3()(212222分分Cexdedxxexxx4.3.2.1．计算不定积分dxxx232．解：)3(3231)3()32(32161322222分分Cxxdxdxxx4.3.3.1．计算不定积分dxxx12．解：)2(|1|ln21)2()111()2(1111222分分分cxxxdxxxdxxxdxxx．4.3.4.1．计算不定积分dxeexx12。解：分）3()(11112xxxxxedeedxee分）3()1ln()()111(ceeedexxxx．4.3.5.2．计算不定积分dxxxx3)cos(sin2cos．解：)2()cos(sinsincos)cos(sin2cos3223分dxxxxxdxxxx)2()cos(sin)cos(sin2分xxxxd)2(cossin1分Cxx4.3.6.2．计算不定积分dxx11．解：令)2(2,分tdtdxtx)1(1211分dtttdxx)1()111(2分dtt)2(|)1|ln(2分Ctt4.3.7.2．计算不定积分dxx1321．解：令)2(,32分tdtdxtxdxx1321)1()321ln(32)2(|1|ln)1(1分分分cxxcttdttt．4.3.8.2．计算不定积分xdx21．解：令,2xt则tdtdxtx,22,(2分)xdx21=ttdt1(1分)=dtt111(1分)=Ctt1ln(1分)=Cxx21ln2．(1分)4.3.9.3．计算不定积分dxxx429．解：令)2(cos3,sin3分tdtdxtx)2(csccot91sin81cos92242分tdttdttt)1(cot2713分Ct)1(927132分Cxx4.3.10.3．计算不定积分dxxx1123．解：令)2(tansec,sec分tdttdxtx，)2(tansectansec11323分dtttttdxxxxdx2cos)2(22cos1分dxt)2(2sin4121分xx4.3.11.3．计算不定积分dxxx2211．解：令分）（2cos,sintdtdxtx则dxxx2211分）（分）（21cot2cossincos22cxxctdtttt．4.3.12.2．计算不定积分dxxex2．解：dxxex2)2(4121)2(2121)2()(2122222分分分cexedxexeexdxxxxx．4.3.13.2．计算不定积分xdxxln2．解：xdxxln2)2(91ln31)2(131ln31)2(ln3133333分分分cxxxdxxxxxxdx．4.3.14.2．计算不定积分dxxx2ln．解：dxxx2ln)2()1(ln分xxd)2(1ln12分dxxxx)2(1ln分cxxx4.3.15.2．计算不定积分xdxxcos．解：)2(cossin)2(sinsin)2(sincos分分分Cxxxxdxxxxxdxdxx．4.3.16.2．计算不定积分dxxx2cos．解：dxxx2cos)2()(tan分xxd)2(tantan分xdxxx)2(|sec|lntan分cxxx．4.3.17.2．计算不定积分xdxxarctan．解：xdxxarctan)2()21(arctan2分xxd)2()1arctan(21222分dxxxxx．)2()arctanarctan(212分cxxxx．4.3.18.3．计算不定积分xdxexsin．解：xdxexsin)2(cossin分xdxexexx)2(sincossin分xdxexexexxx)2()cos(sin21sin分cxxexdxexx4.3.19.3．计算不定积分xdxex3cos．解：)2(3cos913cos913sin31)2(3sin313sin313cos分分xdxexexexdxexexdxexxxxxx)2(3cos1013sin1033cos分Cxexexdxexxx4.3.20.3．计算不定积分xdxexsin3．解：)2(sin9sin3cos)2(cos3cossin333333分分xdxexexexdxexexdxexxxxxx)2(sin103cos101sin333分Cxexexdxexxx三、综合应用题（每小题7分）4.4.1.3．已知函数)(xf满足Cxxxfxed)(，求xxfd)(.解：因为Cxxxfxed)(，所以)3()(分xxexf，则有)2()2(d)(分分Cexedxexedxxexxfxxxxx4.4.2.3．计算不定积分dxxx)1ln(2．解：dxxx)1ln(2=)1()1ln(2122xdx(2分)=dxxxxxx12)1(21)1ln(212222(2分)=Cxxx2)1ln(21222(2分)．4.4.3.3．计算不定积分dxxfx)2(，其中)(xf的原函数为xxsin．解：分）3()2()2(41)2(21)2(21)2(21))2((21)2('xdxfxxfdxxfxxfxfxddxxxf因为)(xf的原函数为xxsin，所以)2(sincossin)(2'分xxxxxxxf所以分）2(2sin412cos4182sin82sin2cos2)2('cxxxcxxxxxxdxxxf．4.4.4.3．计算不定积分dxxx)1ln(．解：)()1ln(21)1ln(2xdxdxxx（2分）dxxxxx121)1ln(2122（2分）dxxxxx)111(21)1ln(212（2分）cxxxxx)1ln(212141)1ln(2122（1分）．4.4.5.3．计算不定积分dxxx232)1(arctan．解：令tdtdxtx2sec,tan（2分）则tdtttdtttdxxxcossecsec)1(arctan23232（2分）tdtttttdsinsinsin（1分）Ctttcossin（1分）Cxxx211arctan（1分）．4.4.6.4．计算不定积分1cosxdxx．解：2221secsectan1cos222222cos2xxxxxxdxdxxdxxdxdxx(3分)tantantan2tantan2lncos2222222xxxxxxxxdxxdxC(2分)11costanlntanln1cos222xxxxCxxC(2分)．4.4.7.4．已知()fx的一个原函数为xxln)sin1(，求dxxfx)(．解：因为()fx的一个原函数为xxln)sin1(，所以Cxxdxxfln)sin1()(（2分）xxxxxfsin1lncos)(（2分）dxxfxxfdxxfx)()()(=Cxxxxxxln)sin1()sin1(lncos（2分）)1(ln)sin1cos(sin11CCCxxxxx（1分）．4.4.8.4．计算不定积分dxxx2sinsinln．解：)(cotsinlnsinsinln2xxddxxx（2分）xdxxx2cotsinlncot（2分）dxxxx)1(cscsinlncot2（1分）Cxxxxcotsinlncot（2分）．4.4.9.4．已知xxxf)1ln()(ln，求dxxf)(．解：方法1设textx,ln，则tteetf)1ln()(．（2分）xxxxxxxedxeedeedxeedxxf1)1ln()1ln()1ln()(（2分）dxeeeedxeeeeexxxxxxxxx)11()1ln(11)1ln(（2分）Cexeexxx)1ln()1ln(．（1分）方法2设tdtdxtx,ln，（2分）则12)1ln()1ln()(ln)(dttdtttdtttf