立体几何证明题

一．平行证明线线平行线面平行面面平行，其核心是线线平行！（一）证明线线平行的常用方法法一：中位线或比例关系（相似）法二：线面平行的性质定理法三：面面平行的性质定理法四：平行四边形的对边相互平行法五：向量方法PQMN法六：线面垂直的性质定理（垂直于同一平面的两直线平行）（二）证明线面平行的常用方法法一：判定定理，关键在于“找线”1．中位线或比例关系（相似）2．线面平行的性质定理3．面面平行的性质定理4．平行四边形的对边相互平行法二：转化成面面平行法三：向量法（证明直线的方向向量与平面的法向量垂直）（三）证明面面平行的常用方法法一：判定定理法二：垂直于同一直线的两平面平行法三：向量法（证明两平面的法向量共线）MD'C'B'A'DCBA范例1：如图，正方体''''ABCDABCD中，点M为'DD的中点．（1）证明：'//BD平面MAC；（2）证明：平面'//ABD平面''DBC．O例2、如图,在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中,点E在PD上,且PE:ED=2：1，问在棱PC上是否存在一点F,使BF∥平面AEC?证明你的结论；MFOQPFEDCBA范例2：两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面交于AB，,,PAEQDB且APDQ．求证：//PQ平面BCE二．垂直证明线线垂直线面垂直面面垂直，其核心是线线垂直！（一）证线线垂直的方法：法一：等腰三角形的底边上的中线法二：勾股定理法三：线面垂直的性质定理法四：三垂线定理及其逆定理法五：向量证明过程分析：a⊥POPA⊥aAO⊥aa⊥平面PAOPO平面PAOPA⊥aAaOP三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。结论汇总1：板书证明过程PCBA例1已知P是平面ABC外一点，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，求证：PC⊥BC证明：∵P是平面ABC外一点PA⊥平面ABC∴AC是斜线PC在平面ABC上的射影∵BC平面ABC且AC⊥BC∴由三垂线定理得PC⊥BC结论应用：线射垂直线斜垂直PAOaαPAOaα平面内的一条直线和平面的一条斜线在平面内的射影垂直平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直三垂线定理的逆定理？在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。PAOaα已知：PA，PO分别是平面的垂线和斜线，AO是PO在平面的射影,a,a⊥PO求证：a⊥AO三垂线定理的逆定理（二）证明线面垂直的常用方法法一：判定定理法二：向量法1．直线与平面的法向量共线2．已知,,PQMNPQMNA，若0,0SEPQSEMN，则直线//SE平面．法三：面面垂直的性质定理（三）证明面面垂直的常用方法法一：判定定理法二：向量法（证两平面的法向量相互垂直）例1已知：正方体中，AC是面对角线，BD'是与AC异面的体对角线.求证：AC⊥BD'ABDCA′B′CD′′D1C1B1A1GFEDCBA范例3：如图，在长方体1111DCBAABCD中，11ADAA，E、F、G分别为CD、CB、1CC的中点．（Ⅰ）求证：11ADEB；（Ⅱ）若1CDDD，求证：平面1AAC平面EFG．EDCBAP范例4：（选自教材2-1，P109例4）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PA底面ABCD，PAAD，E为PD中点．（Ⅰ）求证：PCBD；（Ⅱ）求证：平面AEB平面ECD．【变式练习1】如图，E，F分别为直角三角形ABC的直角边AC和斜边AB的中点，沿EF将△AEF折起到△A1EF的位置，连结A1B，A1C.求证：(1)EF⊥平面A1EC；(2)AA1⊥平面A1BC.1111111111111111//12.EFACABEFBCACBCEFECEFAEAECEEAEAECCEAECEFAECACMEMEACEMAAAECEEMACAAACEFAECAAAECAAEFEFBC因为，分别为和的中点，所以，因为，所以，，又＝，平面，平面，所以平面取的中点，连结，又因为为的中点，所以，＝，所以，所以，又因为平面，平面，所以【证明，又】，所以1111.AABCACBCCAAABC，又＝，所以平面如图1,在正方体1111ABCDABCD中，M为1CC的中点，AC交BD于点O，求证：1AO平面MBD．证明：连结MO，1AM，∵DB⊥1AA，DB⊥AC，1AAACA，∴DB⊥平面11AACC，而1AO平面11AACC∴DB⊥1AO．设正方体棱长为a，则22132AOa，2234MOa．在Rt△11ACM中，22194AMa．∵22211AOMOAM，∴1AOOM．∵OM∩DB=O，∴1AO⊥平面MBD．空间角的计算一找——二证——三求解（一）异面直线的成角02法一：平移——通过平移转化为求解三角形问题法二：向量法，已知异面直线,ab的方向向量为1122(,),(,)ABxyCDxy，则121222221122cos,xxyyABCDABCDABCDxyxy注意：异面直线,ab的成角与,ABCD的关系是,ABCD或+,ABCD例1在正方体ABCD-A1B1C1D1中.（1）求直线A1B与直线CD所成角；(2)求直线A1B和直线B1C所成角（3）求直线A1O和直线AD1所成的角.（4）求直线A1C和直线AD所成的角的余弦值D1ABA1CB1C1DO直线与平面所成的角线面角相关概念αP斜线PA与平面所成的角为PABl平面的斜线A斜足A斜线PA在平面内的射影垂足BB平面的垂线1.斜线与平面所成的角是指斜线和它在平面上的射影所成的角)90,0(02.平面的垂线与平面所成的角为直角3.一条直线与平面平行或在平面内，则这条直线与平面所成的角的00角一条直线与平面所成的角的取值范围是]90,0[0QAP（二）直线与平面的成角02法一：找出角，求解直角三角形；法二：如图，求直线PA与平面所成角．求解时可以先求出点P到平面的距离d，则sindPA法三：向量法如图，n为平面的法向量，则,2PAn或,2PAn即cossin,PAn或cossin,PAn例1在正方体ABCD-A1B1C1D1中.（1）求直线A1B和平面ABCD所成的角；(2)求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.（3）求直线A10和平面ABCD所成的角.D1ABA1CB1C1DO例2如图，AB为平面的一条斜线，B为斜足，AO⊥平面，垂足为O，直线BC在平面内，已知∠ABC=60°，OBC=45°，求斜线AB和平面α所成的角.ABCOαDGFED'C'B'A'DCBA范例5：（选自教材2-1，P118）如图，棱长为1的正方体''''ABCDABCD中，点,,EFG分别是',,'DDDBBB的中点．（1）求证：EFCF；（2）求EF与CG所成角的余弦值；（3）求直线CE与平面EFG所成角的正切值．ED1C1B1A1DCBA范例6：如图，长方体1111ABCDABCD中，11,2ADDCAA，E为1DD的中点．（Ⅰ）求异面直线1CE与1DB所成角的余弦值；（Ⅱ）求直线1CD与平面AEC所成角的正弦值．一、二面角的定义及二面角的平面角平面的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做一个半平面。从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。（1）半平面——（2）二面角——lαβιαβBOAa(3)二面角画法——如下图llAB二面角－AB－l二面角－l－二面角C－AB－DABCD5（4）二面角的记法——“面1—棱—面2”上述变化过程中图形在变化，形成的“角度”的大小如何来确定？αβB。OA(5)二面角的平面角——垂直于二面角的棱的任一平面与两个半平面的交线所成的角叫做二面角的平面角。从二面角的棱上任一点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。①二面角的平面角与点（或垂直平面）的位置无任何关系，只与二面角的张角大小有关。αβB。OAB1。O1A1②二面角就是用它的平面角来度量的。一个二面角的平面角多大，我们就说个二面角是多少度的二面角。（注）注意二面角的平面角必须满足：3）角的边都要垂直于二面角的棱1）角的顶点在棱上2）角的两边分别在两个面内lOABAOB(6)二面角的范围：[0。,180。]（7）直二面角——平面角为直角的二面角叫做直二面角OAB一、几何法：找出平面角，求解三角形1、定义法:以二面角的棱a上任意一点O为端点，在两个面内分别作垂直于a的两条射线OA,OB，则∠AOB就是此二面角的平面角。aOAB在一个平面内选一点A向另一平面作垂线AB，垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂足为O，连结AO，则∠AOB就是二面角的平面角。3、垂面法:过二面角内一点A作AB⊥于B，作AC⊥于C，面ABC交棱a于点O，则∠BOC就是二面角的平面角。aABCO2、三垂线法:ABOa例1在正方体ABCD-A1B1C1D1中.（1）找出二面角A1-BD-A；(2)找出二面角A1-BD-B1；.（3）E是BB1的中点，找出平面A1DE与平面ABCD所成锐角D1ABA1CB1C1DEPABCD过E作ED⊥PC于D，则∠BDE就是此二面角的平面角。连结BD，过B作BE⊥AC于E，E∵△ABC为正△，∴BE=a23在Rt△PAC中，E为AC中点，则DE=在Rt△DEB中a42tan∠BDE=DEBE6∴∠BDE=arctan6例1:已知正三角形ABC，PA⊥面ABC，且PA=AB=a，求二面角A-PC-B的大小。三垂线法:练习3：三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=3，AC=4，PB=PC=BC（1）求二面角P-BC-A的大小；（2）求二面角A-PC-B的大小。PABCDEcosABCPBCSS若△ABC是△PBC在平面ABC的投影，则二面角θ满足：法二：向量法如图，n为平面的法向量，m为平面的法向量，则,mn或,mn求二面角的大小，先求出两个半平面的法向量的夹角，然后根据二面角与其大小相等或互补求出二面角的大小。mn如图：二面角的大小等于-m,n2、平面法向量法:2、平面法向量法:求二面角的大小，先求出两个半平面的法向量的夹角，然后根据二面角与其大小相等或互补求出二面角的大小。mnαβ如图：二面角的大小等于m,n例4:在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，AD=SA=AB=BC=1，求面SCD与面SBA所成的二面角的余弦值大小.12xyz解：以A为原点，如图建立空间直角坐标系。0,0,1,1,1,0,10,,0,1,0,02SCDB则：,,SCDnxyz设平面的法向量为,0,011,1,1,0,,12nSCnSDnSCnSDSCSD01,2,1202xyzxznyyzz10,,02SABAD平面的法向量为0106cos,1362nADnADnADDCBAS范例7：（选自教材2-1，P119）如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB垂直于AD和BC，侧棱SA底面ABCD，且1,0.5SAABBCAD．（1）求二面角SBCA的正切值；（2）求面SCD与面SAB所成二面角的大小；（3）求二面角ASCD的余弦值．作业(4)求二面角SCDA的余弦值．2．（2007福建）如图，三棱柱111ABCABC的所有棱长都为2，且侧棱1CC平面ABC，D为1CC中点．（Ⅰ）求证：1AB⊥平面1ABD；（Ⅱ）求二面角1AADB的正弦值；（Ⅲ）求点C到平面1ABD的距离．ABCD1A1C1B9．（2