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2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学1.已知集合2Mx4x2，N{xxx60，则MN=A.{x4x3B.{x4x2C.{x2x2D.{x2x3【答案】C【解析】【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．【详解】由题意得，Mx4x2,Nx2x3，则MNx2x2．故选C．【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．2.设复数z满足zi=1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则A.22(x+1)y1B.22(x1)y1C.2(1)21xyD.2(y+1)21x【答案】C【解析】【分析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C．【详解】zxyi,zix(y1)i,zix2(y1)21,则2(1)21xy．故选C．【点睛】本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．3.已知0.20.3alog0.2,b2,c0.2，则2A.abcB.acbC.cabD.bca【答案】B【解析】【分析】运用中间量0比较a,c，运用中间量1比较b,c【详解】alog20.2log210,b0.20221,0.3000.20.21,则0c1,acb．故选B．【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512（512≈0.61，8称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是A.165cmB.175cmC.185cmD.190cm【答案】B【解析】【分析】理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解．【详解】设人体脖子下端至腿根的长为xcm，肚脐至腿根的长为ycm，则2626x51，得x42.07cm,y5.15cm．又其腿长为105cm，头顶至脖子下xy1052端的长度为26cm，所以其身高约为42．07+5．15+105+26=178．22，接近175cm．故选B．【点睛】本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取类比法，利用转化思想解题．sinxx5.函数f(x)=2cosxx在[—π，π的]图像大致为A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，得f(x)是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．sin(x)(x)sinxxf(x)f(x)【详解】由22cos(x)(x)cosxx，得f(x)是奇函数，其图象关于原点对称．又f1242()1,22()22f()0．故选D．21【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A.516B.1132C.2132D.1116【答案】A【解析】【分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．【详解】由题知，每一爻有2中情况，一重卦的6爻有26情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有3C，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为636C62=516，故选A．【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．7.已知非零向量a，b满足a=2b，且（a–b）b，则a与b的夹角为A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】B【解析】【分析】本题主要考查利用平面向量数量积数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由(ab)b得出向量a,b的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．【详解】因为(ab)b，所以(ab)babb2=0，所以abb2，所以cos=2ab|b|12ab2|b|2，所以a与b的夹角为，故选B．3【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]．18.如图是求22112的程序框图，图中空白框中应填入A.A=12AB.A=21AC.A=112AD.A=112A【答案】A【解析】【分析】本题主要考查算法中的程序框图，渗透阅读、分析与解决问题等素养，认真分析式子结构特征与程序框图结构，即可找出作出选择．1A,k12是，因为第一次应该计算221112=12A【详解】执行第1次，，kk1=2，循环，执行第2次，k22，是，因为第二次应该计算22112=12A，kk1=3，循环，执行第3次，k22，否，输出，故循环体为A12A，故选A．1【点睛】秒杀速解认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为A．2A9.记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S40，a55，则A.an2n5B.an3n10C.2SnnD.28n12Sn2nn2【答案】A【解析】【分析】等差数列通项公式与前n项和公式．本题还可用排除，对B，a55，4(72)2S40,a5S5S425850105，S100，排除B，对C，42排除C．对D，152S0,aSS52505，排除D，故选A．455422【详解】由题知，dS4a430412aa4d551，解得a13d2，∴an2n5，故选A．【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．10.已知椭圆C的焦点为F1(1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点.若│AF│22│F2B│，│AB││BF│1，则C的方程为A.2x221yB.22xy321C.22xy431D.22xy541【答案】B【解析】【分析】可以运用下面方法求解：如图，由已知可设F2Bn，则AF22n,BF1AB3n，由椭圆的定义有2aBF1BF24n,AF12aAF22n．在△和△BF1F2中，AFF12由余弦定理得224n422n2cosAFF4n,2122n42n2cosBFF9n21，又AF2F1,BF2F1互补，cosAFFcosBFF，0两式消去cosAF2F1,cosBF2F1，得3n2611n2，2121解得3n．22222a4n23,a3,bac312,所求椭圆方程为22xy321，故选B．【详解】如图，由已知可设F2Bn，则AF22n,BF1AB3n，由椭圆的定义有2aBFBF4n,AF2aAF2n．在△AF1B中，由余弦定理推论得1212cosFAB12224n9n9n1．在△AF1F2中，由余弦定理得22n3n32214n4n22n2n4，3解得3n．22222a4n23,a3,bac312,所求椭圆方程为22xy321，故选B．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．11.关于函数f(x)sin|x||sinx|有下述四个结论：①f(x)是偶函数②f(x)在区间（,）单调递增2③f(x)在[,]有4个零点④f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是A.①②④B.②④C.①④D.①③【答案】C【解析】【分析】化简函数fxsinxsinx，研究它的性质从而得出正确答案．【详解】fxsinxsinxsinxsinxfx,fx为偶函数，故①正确．当2x时，fx2sinx，它在区间,2单调递减，故②错误．当0x时，fx2sinx，它有两个零点：0；当x0时，fxxx，它有x一个零点：，故fx在,有3个零点：sinsin2sin0，故③错误．当x2k,2kkN时，fx2sinx；当x2k,2k2kN时，fxsinxsinx，0又fx为偶函数，fx的最大值为2，故④正确．综上所述，①④正确，故选C．【点睛】画出函数fxsinxsinx的图象，由图象可得①④正确，故选C．12.已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，PB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为A.86B.46C.26D.6【答案】D【解析】【分析】先证得PB平面PAC，再求得PAPBPC2，从而得PABC为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解.【详解】解法一:PAPBPC,ABC为边长为2的等边三角形，PABC为正三棱锥，PBAC，又E，F分别为PA、AB中点，EFPB，EFAC，又EFCE，CEACC,EF平面PAC，PB//平面PAC，PABPAPBPC2，PABC为正方体一部分，2R2226，即644663R,VR6，故选D．2338解法二:设PAPBPC2x，E,F分别为PA,AB中点，EF//PB，且1EFPBx，ABC为边长为2的等边三角形，2CF3又CEF9021CE3x,AEPAx2AEC中余弦定理cosEAC2432xx22x，作PDAC于D，PAPC，QD为AC中点，cosEACAD1PA2x，24321xx4x2x，2212212xxx，PAPBPC2，又AB=BC=AC=2，22PAPBPC两两垂直，2R2226，,,6R，244663VR6，故选D.338【点睛】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.曲线2xy3(xx)e在点(0,0)处的切线方程为__________．_【答案】3xy0.【解析】【分析】本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程【详解】详解：/3(21)x3(2)x3(231)x,yxexxexxe所以，/ky|x30所以，曲线2xy3(xx)e在点(0,0)处的切线方程为y3x，即3xy0．【点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．14.记Sn为等比数列{an}的前n项和．若12a，aa，则S5=___________．_1463【答案】1213.【解析】【分析】本题根据已知条件，列出关于等比数列公比q的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到S．题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查．51【详解】设等比数列的公比为q，由已知2a,aa，所以146311325(q)q,又q0，33所以q3,所以S5155(13)a(1q)312111q133．【点睛】准确计算，是解答此类问题基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算，部分考生易出现运算错误．15.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是___________．_【答案】0.216.【解析】【分析】本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解．题目有一定的难度，注重了基础知识、基