第二章-z变换

第2章Z变换2.2Z变换的收敛域•为什么研究收敛域？•收敛域:z变换中级数收敛的所有Z值的集合。•只有级数收敛，变换才有意义。对单边变换，序列与变换式、收敛域唯一对应；一般情况，单边z变换是存在的，只是收敛域大小不同•对双边变换，不同序列、不同收敛域可能映射为同一变换式，而且由于找不到收敛域使变换不存在。•级数收敛的充要条件：绝对可和，即•|x(n)z-n|∞•正向级数收敛性判别法：•比值判别法：对于级数|an|,•根值判别法：nnnaa1limnnnalim1,收敛1,发散=1,收发1,收敛1,发散=1,收发•几类序列z变换的收敛域：•(1)有限长序列:X(z)=x(n)z-n,(n1nn2)•①n10,n20,0|z|∞•②n10,n20,|z|0•③n10,n20,|z|∞•(2)右边序列•X(z)=x(n)z-n,(n1nn2,n2=∞),若n∞,•lim(|x(n)z-n|)1/n1,|z|lim(|x(n)|)1/n=Rx1,收敛。•①n10,n2=∞,Rx1|z|∞•②n10,n2=∞,Rx1|z|•(3)左边序列•X(z)=x(n)z-n,(-∞nn2)•若将n换为-n,则X(z)=x(-n)zn,当n∞,•lim(|x(-n)zn|)1/n1,|z|lim(|x(-n)|)-1/n=Rx2,收敛于圆内部分•①n1=-∞,n20,Rx2|z|0;•②n1=-∞,n20,Rx2|z|;•(4)双边序列•X(z)=x(n)z-n，(-∞n∞)•n1=-∞,n2=∞,Rx2|z|Rx1例求序列x(n)=anu(n)-bnu(-n-1)的z变换•解•若|a||b|,收敛域：|a||z||b|,若|a||b|,则序列的Z变换不存在bzzazzzbzazbzaznxzXnnnnnnnnnnnnnn00101)()(1)有限长序列kNNkzkxzX][)(21][0101][kRNkkxN其它例：11011)(zzzzXNkNk0z2)右边序列kNkzkxzX][)(1Rz][][kuakxk例：1011)(azzazXkkkaz3)左边序列kNkzkxzX][)(2]1[][kubkxk例：111bzbz11)(kkkkkkzbzbzX01kkkzbzb1111Rz4)双边序列kkzkxzX][)(RzRROC]1[][][kubkuakxkk例：111111)(bzazzXbza2.3Z变换的基本性质•线性和位移性•序列线性加权（Z域微分）•序列指数加权（Z域尺度变换）•初值定理和终值定理•时域卷积和Z域卷积定理•帕斯瓦尔定理如果则有：yyxxRzRzYnyZRzRzXnxZ,)()]([,)()]([*即满足均匀性与叠加性；*收敛域为两者重叠部分。1.线性),min(),max(),()()]()([yxyxRRzRRzbYzaXnbynaxZ•例.已知x(n)=anu(n),y(n)=anu(n-1),求x(n)-y(n)的z变换。•解∵Z[x(n)]=X(z)=z/(z-a),|z||a|•Z[y(n)]=Y(z)=y(n)z-n•=anz-n=a/(z-a),|z||a|•∴Z[anu(n)-anu(n-1)]=X(z)-Y(z)=1•|a||z|2.序列的移位xxmRzRzXzmnxZ;)()]([如果则有：xxRzRzXnxZ,)()]([例求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的z变换。1,111)]([1,11)]3([1,1)]([22223zzzzzzzznxZzzzzzznuZzzznuZ3.Z域尺度变换(乘以指数序列)11[()]();nxxZaxnXazRazR如果则有：xxRzRzXnxZ,)()]([例求序列x(n)=anu(n)的z变换。111[()],11()[()],1()1nzZunzzazzZaxnazazza4.序列的线性加权(Z域微分)如果xxRzRzXnxZ,)()]([，则xxRzRzXdzdznnxZ,)()]([例求序列x(n)=nu(n)的z变换。2[()],11[()](),11(1)zZunzzdzzZnxnzzdzzz5.序列的卷积和(时域卷积定理)],min[],max[)()()]([)(,)]([)(,)]([)()()()()()(hxhxnnxxmRRzRRzHzXnyZzYRzRnhZzHRzRnxZzXmnhmxnhnxny则有：，，而且如果6.序列相乘(复卷积定理)其中,C是在变量V平面上，X(z/v),H(v)公共收敛域内环原点的一条逆时针单封闭围线。nxnxccnnxxRRzRRdvvvzHvXjdvvvHvzXjnyZzYRzRnhZzHRzRnxZzXnhnxny;)()(21)()(21)]([)()],([)(;)],([)(),()()(11则有：，且如果。，则对于因果序列)(lim)0()(zXxnxz7.初值定理证明：)0()(lim,)2()1()0()()()()(210xzXzxzxxznxznunxzXznnnn显然8.终值定理11)]([Re)]()1[(lim)(lim1)]([)()(zznzXszXznxznxZzXnx阶极点，则有处有一单位圆上在单位圆内，且只允许的极点，且对于因果序列9.共轭序列的共轭序列。为其中，，)()(;)()]([****nxnxRzRzXnxZxx如果xxRzRzXnxZ,)()]([，则10.帕斯瓦尔定理(parseval)其中“*”表示复共轭，闭合积分围线C在公共收敛域内。dHxjnhnxcn1*)1()(21)()(.1;,)]([)(;,)]([)(nxnxhhxxRRRRRzRnhZzHRzRnxZzX且如果则有:11.翻褶序列xxRzRzXnxZ11;)1()]([如果xxRzRzXnxZ,)()]([，则证明：xxxxnnnnnnRzRRzRzXznxznxznxnxZ11)1())(()()()]([11即，，2.4Z的反变换（1）留数法（2）部分分式法（3）幂级数展开法•(1)围线积分法(留数法)•如果X(z)zn-1在z=zm处有s阶极点，则留数mzzncnmzzXsdzzzXjnx])([Re)(21)(11mmzznsmsszznzzXzzdzdszzXs1111)()()!1(1])([RemmzznmzznzzXzzzzXs11)()(])([ReS=1•例求X(z)=z2/(z-1)(z-0.5),|z|1的逆变换•解∵•分析极点：n－1,z=0处无极点，z=1,z=0.5211[()]Re(1)(0.5)mnmzzzzzXzszz2)5.0)(1(Re11znzzzsnznzzzs)5.0()5.0)(1(Re5.01)1(])5.0(2[)(nunxn)(])5.0(2[)(nunxn•(2)部分分式法：先将X(z)/z展成部分分式之和Am/(z-zm)，再乘以z，则有•zm—X(z)/z的极点，对每一项作逆Z变换，即可得x(n)。如X(z)/z中有高阶极点mmmzzzAzX)(sjjijMmmmzzzBzzzAzX10)()(izzsijsjsjzzXzzdzdjsB)()()!(1例求X(z)=z2/(z2-1.5z+0.5)的逆变换x(n),|z|1•解)()5.02()(nunxn15.0)(,)5.0)(1()(212zAzAzzXzzzzX2)1()(;1)5.0()(125.01zzzzzXAzzzXA5.012)(zzzzzX由阶跃和指数序列Z变换关系可知：•(3)幂级数展开法（长除法）•按定义•X(z)=x(n)z-n•若在收敛域内把X(z)展成幂级数，其系数就是序列x(n)•X(n)一般为有理分式,即•X(n)=N(z)/D(z)•例求X(z)=z/(z-1)2的逆变换x(n),(|z|1)•解∵D(z)=(z-1)2=z2-2z+1•z-1+2z-2+3z-3+…•z2-2z+1z•z-2+z-1•2-z-1•2-4z-1+2z-2•3z-1-2z-2•…•∴X(z)=z-1+2z-2+3z-3+…=nz-n,(0n)•x(n)=nu(n)2.5z变换与拉氏变换的关系•1.s~z平面的映射关系•复变量关系zs:z=esT,s=(1/T)lnz•坐标关系：s=+j,z=rej•∵rej=e(+j)T,∴r=eT=e2,=T,Ts=2虚轴=0s=j单位圆r=1,任意左半平面（0)单位圆内r1,任意右半平面（0)单位圆外r1,任意=常圆0,r10,r1负实轴=r任意辐射线=常r任意正实轴=0，r任意实轴=0s=平行直线=常js/2平行线2.Z变换与拉氏变换表达式之对应•x(t)x(n),L[x(t)]=X(s),•由X(s)Z[x(n)]=X(z)•设NiiitpNiipsAtxtueAtxi11)]([),()(L若NiTpiinTpNiizepAnTxnTueAnTxii1111)]([),()(Z0,2)()(0,)()()()(nAtutxntutxtunTxinTtinTtii满足例已知指数函数e-atu(t)的拉氏变换，求抽样序列e-anTu(nT)的z氏变换•解已知assXtuetxat1)(),()(11()1aTXzazeX(s)只有一个极点s=-a,可由公式直接求出抽样序列的z变换2.6离散系统的系统函数•激励与单位样值响应的卷积为系统零状态响应•由卷积定理)(*)()(nhnxny)()()(zHzXzY)()()(zXzYzH0)()(nnznhzH•例求差分方程所描述系统的系统函数和单位脉冲响应。•y(n)-ay(n-1)=bx(n)•解Y(z)-az-1Y(z)-ay(-1)=bX(z)•如果系统处于零状态，则y(-1)=0,于是•H(z)=b/(1-az-1)=bz/(z-a)•h(n)=banu(n)•(2)系统的稳定性与因果性•离散时间系统稳定的充要条件nnnhMnh)(,)(或nznnnhznhzH)(|)()(1稳定系统的H(z)的ROC包括单位圆)()()(nunhnh因果系统ROC:a|z|1,aza稳定因果系统同时满足•系统稳定的充要条件是单位样值响应绝对可和。即：•因果稳定系统的充要条件为：h(n)是单边的