第二章z变换和DTFT

第二章z变换和DTFT本章主要内容：1、z变换的定义及收敛域2、z变换的反变换3、z变换的基本性质和定理4、离散信号的DTFT5、z变换与DTFT的关系6、离散系统的z变换法描述§2.1z变换的定义及收敛域信号和系统的分析方法有两种：——时域分析方法——变换域分析方法连续时间信号与系统——LTFT离散时间信号与系统——ZTFT一、ZT的定义),(:),()(21zzXnxnnznxzX)()(z是复变量，所在的复平面称为z平面二、ZT的收敛域•对于任意给定序列x(n)，使其z变换X(z)收敛的所有z值的集合称为X(z)的收敛域。•级数收敛的充要条件是满足绝对可和()nnxnzM1）有限长序列12()()0xnnnnxnn其它21Z()()nnnnXzxnz其变换：0Rocz至少为：Re[]zIm[]jz0•除0和∞两点是否收敛与n1和n2取值情况有关外，整个z平面均收敛。11(1)111()()(1)(1)nnXzxnzxnzxz22(1)0122(0)(1)(1)()nnxzxzxnzxnzz00,021时，nnz00,021时，nnz00,021时，nn•如果n2≤0，则收敛域不包括∞点如果n1≥0，则收敛域不包括0点如果n10n2，收敛域不包括0、∞点2）右边序列11()()0xnnnxnnn110:0:xxnRocRznRocRz当时，当时，Re[]zIm[]jz0xRz包括处10n•因果序列的z变换必在∞处收敛•在∞处收敛的z变换，其序列必为因果序列阿贝尔定理阿贝尔定理0001100nnnnnnaxxxxaxxxx若幂级数在收敛，则在内都收敛若幂级数在发散，则幂级数在都发散3）左边序列220()()nnxnxnnn220:00:0xxnRoczRnRoczR当时，当时，Re[]zIm[]jz0xR20n4）双边序列n为任意值时皆有值::xxxxxxRRRocRRRocRzR当时，当时，Re[]zIm[]jz0xRxR10z()()()nnnnXzxnzxnz其变换：Roc:0xzR前式Roc:xRz后式例1znZT0,1][收敛域应是整个z的闭平面1δnnzn][例2：求x(n)=RN(n)的z变换及其收敛域Re[]zIm[]jz0X(z)=()=()nnNnnxnzRnz解：10=Nnnz21,...,1rjNzerN零点：01zN极点：（）阶:0Rocz122111nnnnnnqqqq111Nzz21nq时须满足11(1)NNzzz例3：求x(n)=anu(n)的变换及其收敛域Re[]zIm[]jz0a0X(z)=()=()=nnnnnnnnxnzaunzaz解：0z零点：za极点：:Rocza111az11az当时Re[]zIm[]jz0aX(z)=()=(1)nnnnnxnzaunz解：0z零点：za极点：:Rocza111111azazaz11az当时11==nnnnnnazaz例4：求x(n)=-anu(-n-1)的变换及其收敛域10X(z)=()==nnnnnnnnnnnxnzazazaz解：10=nnnnnnazaz11nnnazazaz11/azza1011nnnazaz11azza例5：求x(n)=a|n|，a为实数，求ZT及其收敛域Re[]zIm[]jz0a1/a211(1)1()11(1)()azzaaXzazazazza当时，0,z零点：1,zaa极点：:1/Rocaza1X()az当时，无公共收敛域，不存在•给定z变换X(z)不能唯一地确定一个序列，只有同时给出收敛域才能唯一确定。•X(z)在收敛域内解析，不能有极点，故：–右边序列的z变换收敛域一定在模最大的有限极点所在圆之外–左边序列的z变换收敛域一定在模最小的有限极点所在圆之内Re[]zIm[]jz0abcRe[]zIm[]jz0abcRe[]zIm[]jz0abcRe[]zIm[]jz0abc§2.2z反变换•实质：求X(z)幂级数展开式•z反变换的求解方法：围线积分法（留数法）部分分式法长除法()[()]xnIZTXzz反变换:从X(z)中还原出原序列x(n)()[()]()nnXzZTxnxnz1、围数积分法求解（留数法）若函数X(z)zn-1在围数C上连续，在C以内有K个极点zk，而在C以外有M个极点zm，则有：mzznkzzncnmkzzXsorzzXsdzzzXjnx])([Re])([Re)(21)(111Re[]zIm[]jz0xRxRCRe[()][()()]rrzzrzzsFzzzFz1、围数积分法求解（留数法）根据复变函数理论，若函数X(z)在环状区域内是解析的，则在此区域内X(z)可展开成罗朗级数，即而其中围线c是在X(z)的环状收敛域内环绕原点的一条反时针方向的闭合单围线。,0,xxxxRzRRR（）()nnxxnXzCzRzR11()2nncCXzzdzjRe[]zIm[]jz0xRxRC0,1,2,n•若F(z)在c外M个极点zm，且分母多项式z的阶次比分子多项式高二阶或二阶以上，则：11()()(,)2nxxcxnXzzdzcRRj1()()nFzXzz()Re[()]kzzkxnsFz()Re[()]mzzmxnsFz•利用留数定理求围线积分，令•若F(z)在围线c上连续，在c内有K个极点zk，则：Re[()][()()]rrzzrzzsFzzzFz单阶极点的留数：2()1/44(4)(1/4)zXzzzz例1：，，求其z反变换Re[]zIm[]jz0C41/4211()(,)2(4)(1/4)nxxczxnzdzcRRjzz解：211()(4)(1/4)(4)(1/4)nnzzFzzzzzz其中：11()4nFzcz当时在围线内只有一阶极点14()Re[()]zxnsFz1141()4(4)(1/4)nzzzzz415n11()(1)04nFzcznz当时在围线内有一阶极点和-阶极点4()Re[()]zxnsFz14441/4nzzzzz2415ncz=4F(z)而围线外只有一阶极点，且的分母多项式阶次高于分子多项式阶次两次以上244()(1)(2)1515nnxnununRe[]zIm[]jz0C41/42()4(4)(1/4)zXzzzz例2：，，求其z反变换Re[]zIm[]jz0C41/4解：收敛域是圆的外部lim()1X(z)z=zXz又，即在处收敛()()00xnxnn是一个因果序列，即，()xn是右边序列10()c(4)(1/4)0()0nznFzzzxn同样当时，由在外无极点，且分母阶次比分子阶次高两阶以上，由围线外极点留数为可得0n当时1()(4)(1/4)nzFzzz144cz在围线内有一阶极点，Re[]zIm[]jz0C41/441/4()Re[()]Re[()]zzxnsFzsFz111441(4)()114(4)()(4)()44nnzzzzzzzzzz21(44)15nn21()(44)()15nnxnun思考：n=0,1时，F(z)在围线c外也无极点，为何()0xn2、部分分式展开法求解IZT：NMnrNkrkkikkknnzzCzzAzBzAzBzX01111)1(1)()()(•常见序列的ZT参见书p.54页的表2-1若函数X(z)是z的有理分式，可表示为：•利用部分分式的z反变换和可以得到函数X(z)的z反变换。()Re1,2,,kkzzXzAskNrz用留数定理求系数：1125()2316zXzzzz例：，，求z反变换Re[]zIm[]jz03223353123zzXzAReszzzz112255516623zzzXzzzzzzz解：1252323XzAAzzzzz12252123zzXzAReszzzz1123Xzzzz1111231213zzXzzzzz23z11[()]1nZTaunzaaz11[(1)]1nZTaunzaaz1112z2()nun2z1113z3(1)nun3z231nnxnunun例2设利用部分分式法求z反变换。2||,)5.01)(21(1)(11zzzzX5.031234)5.0)(2()(2zzzzzzzzX)()5.0(31234)(nunxnn解：3、幂级数展开法求解（长除法）:•一般X(z)是有理分式，可利用分子多项式除分母多项式（长除法法）得到幂级数展开式，从而得到x(n)。nnzxxzxznxzX1)1()0()1()()(•根据收敛域判断x(n)的性质，在展开成相应的z的幂级数将X(z)X(z)的x(n)展成z的分子分母按z的因果序列负幂级数降幂排列左边序列正幂级数升幂排列xzRxzR例1111azzX)(azROC1:)11az111az1az221zaaz22za...2211zaaz111az...2211zaaz,...},,{][21aanx长除法示例解：由Roc判定x(n)是因果序列，用长除法展成z的负幂级数azROC2:}0,,{...,][12aanx111az...221zaza)11az1za1221zaaz22za...221zazaza11解：由Roc判定x(n)是左边序列，用长除法展成z的正幂级数2()1/44(4)(1/4)zXzzzz例：，，求z反变换解：X(z)的Roc为环状，故x(n)是双边序列极点z=1/4对应右边序列，极点z=4对应左边序列先把X(z)展成部分分式161()1515(4)()41/41/4Xzzzzzzz116()151/44zzXzzz[phone]zzzzzzzz23144zzz1114114161141146zzzzz12111416zz2123111()141544Xzzzzzz1+16244()()(1)1515nnxnunun201114154nnnnnnzz1、线性性§2.3Z变换的基本性质和定理)()()()