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1三角板、直尺在中考试题中的应用一、三角板与直尺的叠放例1如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝30°，∠2＝50°，则∠3的度数为()(A)80(B)50(C)30(D)20答D．点评通过把三角板、直尺结合，利用三角板的特殊角、直尺平行的特性，既考查了构建数学模型的能力，又考查了相关数学知识．二、一副三角板的叠放例2将三副三角板如图6所示叠放在一起，若AB＝14cm，则阴影部分的面积是__cm2．答：492．点评通过两个三角板的组合，融知识应用的综合性、交汇性、灵活性于一体，这类试题的知识源于生活，思维能力高于教材．三、三角板应用于锐角三角函数问题例3腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑．为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C，利用三角板测得雕塑顶端A点的仰角为30°，底部B的俯角为45°，小华在五楼找到一点D，利用三角板测得A点的俯角为60°(如图3)．若已知CD为10米，请求出雕塑AB的高度．(结果精确到0.1米，参考数据3＝1.73)．分析过点C作CE⊥AB于E．由三角板的特殊角可知：∠D＝90°－60°＝30°，∠ACD＝90°－30°＝60°，∴∠CAD＝90°．由CD＝10，可知AC＝12CD＝5．在Rt△ACE中，AE＝AC．sin∠ACE＝5·sin30°＝52，2CE＝AC·cos∠ACE＝5cos30°＝523；在Rt△BCE中，BE＝CE＝523．所以AB＝AE＋BE＝52(3＋1)≈6.8(米)．点评本题利用三角板刻画了传统的仰角、俯角的概念．立意新颖，锻炼了学生利用自己手头工具解决实际问题的能力．四、三角板应用于图形的旋转变换例4如图4，在Rt△POQ中，OP＝OQ＝4，M是PQ的中点，把一角板的直角顶点放在点M处，以点M为旋转中心，旋转三角板，三角板的两直角边与△POQ的两直角边分别交于点A、B．(1)求证：MA＝MB；(2)连结AB，探究：在旋转三角板的过程中，△AOB的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．分析要证MA＝MB，只需证明这两条线段所在的三角形全等，因此，过点M作ME⊥OP于点E，MF⊥OQ于点F，由∠O＝90°得四边形OEMF是矩形．由于M是PQ的中点，OP＝OQ＝4，所以，当x＝2，即点A为OP的中点时，△AOB的周长有最小值，最小值为4＋22．点评本题利用三角板的灵活性，为图形的旋转变换、全等变换增添了新鲜血液，使得数学题3型更加富有活力，更有利于学生思维的发展．五、三角板应用于反比例函数问题例5在直角三角板中，BC＝2．若将此三角板的一条直角边BC或AC与x轴重合，使点A或点B刚好在反比例函数y＝6x(x0)的图象上时，设△ABC在第一象限部分的面积分别记做S1、S2(如图5(1)、(2)所示)D是斜边与y轴的交点，通过计算比较S1、S2的大小．分析如图5(1)，根据含30°的直角三角形的性质，可知∴S1＝S2．点评本题是反比例函数、锐角三角函数的综合题，利用三角板的可移动性，根据反比例函数的性质，结合图形计算了四边形的面积．六、三角板应用于代数几何综合题例6在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点A(O，2)，点C(1，0)，如图6所示，抛物线y＝ax2一ax－2经过点B．(1)求点B的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)在抛物线上是否还存在点P(点B除外)，使AACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．4分析(1)首先过点B作BD⊥x轴，垂足为D，易证△BDC≌△CAO．所以BD＝OC＝1，CD＝OA＝2，从而点B的坐标为(3，1)．(2)利用待定系数法即可求得二次函数的解析式为y＝12x2－12x－2．(3)假设存在点P，使得△ACP是直角三角形．①如图6(1)，若以AC为直角边，点AC为直角顶点，则延长BC至P1，使得P1C＝BC，得到等腰Rt△ACP1．经检验P1在抛物线y＝12x2－12x－2上．②如图6(2)，若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2＝AC，得到等腰Rt△ACP2．过点P2作P2N⊥y轴，同理可得P2(－2，1)．经检验P2(－2，1)也在抛物线y＝12x2－12x－2上．③如图6(3)，若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP3上CA，且使得AP3＝AC，得到等腰Rt△ACP3．过点P3作P3H⊥y轴，同理可得P3(2，3)．经检验P3(2，3)不在抛物线y＝12x2－12x－2上．故符合条件的点有两点：P1(－1，－1)，P2(－2，1)．点评此题是中考压轴题，考查了全等三角形的判定与性质，待定系数法求二次函数的解析式，等腰直角三角形的性质等知识．解题的关键是要注意数形结合思想、方程思想与分类讨论思想的应用．七、直尺应用于代数几何综合题例7在平面直角坐标系中，抛物线过原点O，且与x轴交于另一点A，其顶点为B，孔明同学用一把宽为3cm带刻度的直尺对抛物线进行如下测量；①量得OA＝3cm；②把直尺的左边与抛物线对称轴重合，使得直尺左下端点与抛物线的顶点重合(如图7(1))，测得抛物线与直尺右边的交点C的刻度读数为4.5．请完成下列问题：(1)写出抛物线的对称轴；(2)求抛物线的解析式；(3)将图中的直尺(足够长)沿水平方向向右平移到点A的右边(如图7(2))，直尺的两边交x轴于点H、G，交抛物线于点E、F．求证：S梯形EFGH＝16（EF2－9）．5分析(1)由于O、A关于抛物线对称轴对称，且OA＝3cm，由此可求得抛物线的对称轴为x＝32．(2)根据点O、A的坐标，可将抛物线解析式设为y＝ax(x－3)，在(1)题求得了抛物线的对称轴，即可得到B、C两点的横坐标，分别代入抛物线的解析式中，表示出它们的纵坐标，从而B(32，－94a)、C(92，274a)．根据C、B的纵坐标差为4.5即可列方程求出待定系数的值，从而确定抛物线的解析式为：21322yxx．(3)可设出E点的横坐标为m，进而根据直尺的宽度得到F点的横坐标为n，根据(2)题所得抛物线，即可表示出两点的纵坐标，所以E（m，12m2－32m）、F（n，12n2－32n）．利用梯形的面积公式，可求出梯形EFGH的面积表达式，然后与16(EF2－9)进行比较即可．点评此题利用刻度读数代替了已知线段的长度，考查的知识点虽不是很多，但能够从图中获得有效的信息是解决问题的关键．