2015年高考四川理科数学试卷(含解析)

第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|(1)(2)0}Axxx，集合{|13}Bxx，则AB=（）(){|13}Axx(){|11}Bxx(){|12}Cxx(){|23}Dxx【答案】A【考点定位】集合的基本运算.【名师点睛】集合的概念及运算一直是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般是结合不等式，函数的定义域值域考查，解题的关键是结合韦恩图或数轴解答.2.设i是虚数单位，则复数32ii()（A）-i（B）-3i（C）i.（D）3i【答案】C【考点定位】复数的基本运算.【名师点睛】复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可.3.执行如图所示的程序框图，输出S的值是()（A）32-（B）32（C）-12（D）12【答案】D【考点定位】程序框图.【名师点睛】程序框图也是高考的热点，几乎是每年必考内容，多半是考循环结构，基本方法是将每次循环的结果一一列举出来.4.下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（）()cos(2)2Ayx()sin(2)2Byx()sin2cos2Cyxx()sincosDyxx【答案】A【考点定位】三角函数的性质.【名师点睛】本题不是直接据条件求结果，而是从4个选项中找出符合条件的一项，故一般是逐项检验，但这类题常常可采用排除法.很明显，C、D选项中的函数既不是奇函数也不是偶函数，而B选项中的函数是偶函数，故均可排除，所以选A.5.过双曲线2213yx的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则AB（）(A)433(B)23(C)6（D）43【答案】D【考点定位】双曲线.【名师点睛】双曲线22221xyab的渐近线方程为22220xyab，将直线2x代入这个渐近线方程，便可得交点A、B的纵坐标，从而快速得出||AB的值.6.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（）（A）144个（B）120个（C）96个（D）72个【答案】B【考点定位】排列组合.【名师点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏.在本题中，万位与个位是两个特殊位置，应根据这两个位置的限制条件来进行分类.7.设四边形ABCD为平行四边形，6AB，4AD.若点M，N满足3BMMC，2DNNC，则AMNM（）（A）20（B）15（C）9（D）6【答案】C【考点定位】平面向量.【名师点睛】涉及图形的向量运算问题，一般应选两个向量作为基底，选基底的原则是这两个向量有尽量多的已知元素.本题中，由于6AB，4AD故可选,ABAD作为基底.8.设a，b都是不等于1的正数，则“333ab”是“log3log3ab”的（）（A）充要条件（B）充分不必要条件（C）必要不充分条件（D）既不充分也不必要条件【答案】B【考点定位】命题与逻辑.【名师点睛】充分性必要性的判断问题，首先是分清条件和结论，然后考察条件推结论，结论推条件是否成立.这类问题往往与函数、三角、不等式等数学知识结合起来考.9.如果函数21281002fxmxnxmn，在区间122，上单调递减，则mn的最大值为（）（A）16（B）18（C）25（D）812【答案】B【考点定位】函数与不等式的综合应用.【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m、n满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现.10.设直线l与抛物线24yx相交于A，B两点，与圆22250xyrr相切于点M，且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）（A）13，（B）14，（C）23，（D）24，【答案】D【考点定位】直线与圆锥曲线，不等式.【名师点睛】首先应结合图形进行分析.结合图形易知，只要圆的半径小于5，那么必有两条直线（即与x轴垂直的两条切线）满足题设，因此只需直线的斜率存在时，再有两条直线满足题设即可.接下来要解决的问题是当直线的斜率存在时，圆的半径的范围是什么.涉及直线与圆锥曲线的交点及弦的中点的问题，常常采用“点差法”.在本题中利用点差法可得，中点必在直线3x上，由此可确定中点的纵坐标0y的范围，利用这个范围即可得到r的取值范围.第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.在5(21)x的展开式中，含2x的项的系数是（用数字作答）.【答案】40.【考点定位】二项式定理.【名师点睛】涉及二项式定理的题，一般利用其通项公式求解.12.75sin15sin.【答案】62.【考点定位】三角恒等变换及特殊角的三角函数值.【名师点睛】这是一个来自于课本的题，这告诉我们一定要立足于课本.首先将两个角统一为一个角，然后再化为一个三角函数一般地，有22sincossin()abab.第二种方法是直接凑为特殊角，利用特殊角的三角函数值求解.13.某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：C）满足函数关系bkxey（718.2e为自然对数的底数，k、b为常数）。若该食品在0C的保鲜时间设计192小时，在22C的保鲜时间是48小时，则该食品在33C的保鲜时间是小时.【答案】24【考点定位】函数及其应用.【名师点睛】这是一个函数应用题，利用条件可求出参数k、b，但在实际应用中往往是利用整体代换求解（不要总是想把参数求出来）.本题利用整体代换，使问题大大简化.14.如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点。设异面直线EM与AF所成的角为，则cos的最大值为.【答案】25【考点定位】1、空间两直线所成的角；2、不等式.【名师点睛】空间的角与距离的问题，只要便于建立坐标系均可建立坐标系，然后利用公式求解.解本题要注意，空间两直线所成的角是不超过90度的.几何问题还可结合图形分析何时取得最大值.当点M在P处时，EM与AF所成角为直角，此时余弦值为0（最小），当M点向左移动时，EM与AF所成角逐渐变小，点M到达Q点时，角最小，从而余弦值最大.15.已知函数xxf2)(，axxxg2)(（其中Ra）.对于不相等的实数21,xx，设2121)()(xxxfxfm，2121)()(xxxgxgn.现有如下命题：（1）对于任意不相等的实数21,xx，都有0m；（2）对于任意的a及任意不相等的实数21,xx，都有0n；（3）对于任意的a，存在不相等的实数21,xx，使得nm；（4）对于任意的a，存在不相等的实数21,xx，使得nm.其中的真命题有（写出所有真命题的序号）.【答案】①④【考点定位】函数与不等式的综合应用.【名师点睛】四川高考数学15题历来是一个异彩纷呈的题，个中精彩读者可从解析中慢慢体会.解决本题的关键是转化思想，通过转化使问题得以解决.三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.设数列{}na的前n项和12nnSaa，且123,1,aaa成等差数列.（1）求数列{}na的通项公式；（2）记数列1{}na的前n项和nT，求得1|1|1000nT成立的n的最小值.【答案】（1）2nna；（2）10.【考点定位】本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列通项公式与前n项和公式等基础知识，考查运算求解能力.【名师点睛】凡是有nS与na间的关系，都是考虑消去nS或na（多数时候是消去nS，得na与1na间的递推关系）.在本题中，得到na与1na间的递推关系式后，便知道这是一个等比数列，利用等比数列的相关公式即可求解.等差数列与等比数列是高考中的必考内容，多属容易题，考生应立足得满分.17.某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐3名男生，2名女生，B中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队（1）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率.（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X得分布列和数学期望.【答案】（1）A中学至少1名学生入选的概率为99100p.（2）X的分布列为：p153515321XX的期望为()2EX.【考点定位】本题考查随机事件的概率、古典概型、随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查运用概率与统计的知识与方法分析和解决实际问题的能力.【名师点睛】应用问题一定要注意弄清题意，找出题中的关键字词.在本题中，就要分清楚集训队与代表队的区别.求概率时，如果直接求比较复杂，就应该先求其对立事件的概率.超几何分布和二项分布是中学中的两个重要概率分布，考生必须牢固掌握.本题的概率分布就是一个超几何分布问题.18.一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC的中点为M，GH的中点为N（1）请将字母,,FGH标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）（2）证明：直线//MN平面BDH（3）求二面角AEGM的余弦值.【答案】（1）点F、G、H的位置如图所示.（2）详见解析.（3）223MDCABEFHG（2）连结BD，设O为BD的中点.（另外，也可利用空间坐标系求解）【考点定位】本题主要考查简单空间图形的直观图、空间线面平行的判定与性质、空间面面夹角的计算等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力.【名师点睛】立体几何解答题的考查内容，不外乎线面、面面位置关系及空间夹角与距离的计算.（1）注意ABCD是底面，将平面展开图还原可得点F、G、H的位置.（2）根据直线与平面平行的判定定理，应考虑证明MN平行于平面BDH内的一条直线.连结O、M，易得MNHO是平行四边形，从而//MNOH，进而证得//MN平面BDH.（3）要作出二面角AEGM的平面角，首先要过M作平面AEGC的垂线，然后再过垂足作棱EG的垂线，再将垂足与点M连结，即可得二面角AEGM的平面角.19.如图，A，B，C，D为平面四边形ABCD的四个内角.（1）证明：1costan;2sinAAA（2）若180,6,3,4,5,ACABBCCDADo求tantantantan2222ABCD的值.【答案】（1）详见解析；（2）4103.【考点定位】本题考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理、简单的三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程、化归与转化等数学思想.【名师点睛】本题第（1）小题为课本必修4第142页练习1，体现了立足课本的要求.高考中常常将三角恒等变换与解三角形结合起来考，本题即是如此.本题的关键体现在以下两点，一是利用角的关系消角，体现了消元的思想；二是用余弦定理列方程组求三角函数值，体现了方程思想.20.如图，椭圆E：2222+1(0)xyabab的离心率是22，过点P（0,1）的动直线l与椭圆相交于A，B两点，当直线l平行与x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为22.(1)求椭圆E的方程；（2）在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得QAPAQBPB恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22142xy；（2）存在，Q点的坐标为(0,2)Q.【考点定位】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力