毕业论文-几类重要不等式的证明与应用

目录摘要·········································································3ABSTRACT······························································31均值不等式·························································41.均值不等式及其证明·················································42.均值不等式的实际应用···············································52柯西不等式·····························································61.柯西不等式及其证明·················································72.柯西不等式的应用··················································73排序不等式······························································91.排序不等式及其证明·················································92.排序不等式的应用··················································94切比雪夫不等式·························································101.切比雪夫不等式及其证明·················································112.切比雪夫不等式的应用··················································11参考文献·······························································192几类重要不等式的证明与应用任后兵数学与统计学学院数学与应用数学2009级摘要：不等式是解决数学问题的重要工具，在初等数学中几个重要的不等式更是主要的工具.通过对几个重要不等式的证明，慢慢的渗透到其他的不等式的证明.这能够培养出学生的综合能力和运用数学解决问题的能力，在教学中应当予以重视.在推广新课程理念下，均值不等式、柯西不等式、排序不等式已经进入了学生的课堂，切比雪夫不等式在不等式证明中也有很多的应用，这不仅拓展了学生的知识结构，也增强了学生的思维能力．同时，也给教育工作者带来了新的挑战．本文就几个重要不等式的证明与应用作出一定归纳.关键词：不等式概念证明应用ProofandapplicationofseveralimportantinequalitiesRenHoubingSchoolofMathematicsandStatistics,MathematicsandAppliedMathematics,2009Abstract：Nequalityisanimportanttoolforsolvingmathematicalproblem,Severalimportantinequalityinelementarymathematicsisthemaintool.Basedontheseveralimportantinequalities,slowlyinfiltratedintotheotherproofofinequality.Itcancultivatethestudents'comprehensiveabilityandapplyingmathematicstosolvethequestionability,moreattentionshouldbepaidtointeaching.Undertheideasofspreadingthenewcurriculumstandards,averagevalueinequality,cauchyinequality,seqencinginequalityhasalreadyselectedintotheCurriculums,chebyshevinequalityalsohasmanyapplicationintheproofofinequality,whichcannotonlyexpandthestudents'knowledge,butalsoenhancestudents'imagination．Meanwhile,italsobringsanewchallengeforeducators．Inthispaper,severalimportantinequalitiesandapplicationtomakecertaininduction.Keywords：Inequalityconceptproofapplication3第一章绪论1.1研究背景和历史现状不等式主要研究数的不等关系,它能作为数学模型来刻画现实世界中的不等关系，还能反映事物在量上的区别，所以说不等式是数学知识的重要组成部分，是研究数量的大小关系所必须的知识，是进一步学习数学和其他学科的基础和工具。在高中数学中，不等式的知识主要用以解决不等式的证明、解不等式及应用不等式三类问题。不等式具有很强的工具性，因为数学学科中的很多其他问题的解决都会用到不等式,如确定函数的最大值和最小值，证明不等式，求空间线面距离，概率的范围等等.同时，不等式在物理学等其他学科中也有广泛的应用.不等式问题中蕴涵了很多数学思想方法.而数学思想方法是数学知识的精髓，是联系各部分的纽带，是解题的“指南针”.要想更好的解决数学问题就要熟练掌握数学思想方法，因而学好不等式知识是非常必要的.本文由均值不等式、柯西不等式、排序不等式、切比雪夫不等式这4个重要不等式组成.它们是不等式中比较基础，应用也很广泛的不等式.《普通高中数学课程标准·数学》必修5将2维均值不等式、选修4-5将柯西不等式和排序不等式已经纳入了新的课程系统，更多的不等式进入了新教材，进入了学生的课堂，这充分说明了掌握一些重要不等式的必要性.虽然有新的不等式进入新教材，但是我们偏重于应用不等式解决数学问题的研究，往往忽视不等式在高中数学内容中所具有的教育价值的发现，同时，研究也缺乏一定的系统性．另外，我们知道均值不等式和柯西不等式是我们解决不等式问题时使用频率较高的一个不等式，其各种变形与使用技巧的文章有很多．但等号成立的条件似乎没有得到足够的重视，其实挖掘等号成立的条件，揭示其潜在的功能，这对于很多等式求值、等式证明和解方程方面具有得天独厚的妙用．在一定程度上说，目前对柯西不等式在高中数学中的应用挖掘深度不够，缺乏系统性的研究．为此，本文对几个重要不等式进行深入研究，发现其内在的涵义，希望为高中数学教学提供一定的参考价值．1.2研究方法1．文献研究法：查阅国内期刊网中的文献及相关著述的书籍，进而把握重要不等式在数学中应用的现状和历史42．分析结合法：分析与重要不等式相关的文献，综合重要不等式在数学中的应用方法，在综合地基础上提出新的视角和方法.1.3研究目的和意义1．以四个典型的重要不等式为示例，给出它们的概念、意义以及应用，为了解中学中的一些重要不等式打下基础.2.培养学生如何看问题、想问题和解决问题的数学发现方法，进而使数学学习活动成为再创造、再发现的过程，并体悟如何发现数学结论的过程.3.借重要不等式的应用探究，强化学生数学应用意识和掌握如何应用结论的基本方法．如均值不等式的应用,关键在于如何转化成“均值不等式常用形式”，并且注意该形式所应具有的条件,也就是说,应用均值不等式应抓住问题解决的本质———构造应用结论的形式或转化变形形式．第二章重要不等式的证明及应用2.1均值不等式均值不等式在不等式理论中处于核心地位，是现代分析数学中应用最广泛的不等式之一.巧妙地应用此不等式在求最值、比较大小、证明不等式等方面都可得到较为理想的解法.下面就从均值不等式的概念、证明方法以及在代数、几何方面的应用来论述.1概念[1]设naaa,,,21为n个正数，则nnnnQAGH，称为均值不等式，其中naaanH/1.../1/121n，nnaaa121n)...(G，naaan...A21n，naaan22221n...Q，分别称为naaa,,,21的调和平均数、几何平均数、算数平均数、均方根平均数.这四种平均数仅当n21...aaa时取到等号.均值不等式的一般形式（幂平均不等式）：)0()...()(M121rrnaaaarrnrr，记nnaaaa1210)...()(D,它是关于a单调递增,证明方法可以参考学夫子数学博客.显然nnnnQAGH是上述不等式的特殊情形，即210)1(MMMM.5ECBAD加权GMAM不等式[3]：设naaa,,,21是正实数，如果n个非负实数nxxx,,,21的和为1，则nxnxxnnaaaxaxaxa21212211，当且仅当naaa21时取到等号.均值不等式的推广形式可见文[2].2几何意义当2n时，0,,2babaab，《普通高中课程标准实验教科书·数学(人教A版)》必修5的3.4在代数推导的基础上，给出了它的几何意义.AB是圆的直径，点C是AB上一点，bBCaAC,，过点C作垂直于AB的弦DE，连接BDAD、.易证ACD～DCB，所以abCD.由于CD小于等于圆的半径，用不等式表示为2baab.当且仅当点C与圆心重合，即ba时，等号成立.3证明3.1[3][4]用排序不等式证明GMAM不等式不失一般性，假定)(121规范化naaa，设nnxxxxaxxa132211,,2，，0,,21nxxx，则1xxann.不等式变为nxxxxxxn13221.注意到如果序列),,,(21nxxx是增加的，则序列)1,,1,1(21nxxx是减少的.由排序不等式，我们得到nxxxxxxxxiin)1(13221，当且仅当nxxx21时，等号成立.因此n2121...nnaaanaaa，当且仅当nxxx21时成立.3.2[3]用反向归纳法证明GMAM不等式6当2n时，不等式显然成立.如果不等式对n个正实数成立，那么它对n2个正实数也成立.这时由于nnnnnnniiaaanaaana2212121nnaaan22212，因此不等式对)(2Nmnm时成立.假设不等式对1n成立，则112121)(11nnnnnnnnAaaanAaaanAnAA，即nnnnAaaaA211，从而nnGA.由柯西归纳法可知，不等式对每一个自然数n都是成立的，当且仅当nxxx21时成立.3.3[5]概率证明GMAM不等式引理设是一个随机变量，并且数学期望E存在，则)(ln)(lnEE.(利用随机变量的数学期望性质证明)设随机变量的概率分布为naPi1)(，其中niai,,2,1,0由)(ln)(lnEE得niiniianan111lnln1，即naaaaaann...21n21.3.4用切比雪夫不等式证明QMAM不等式不妨设12naaa，2221212nnaaaaaann222121212nnnaaaaaaaaannn由切比雪夫