高等数学第一章综合测试卷含答案

1第一章函数与极限综合测试题A卷一、填空题（每小题4分,共20分）1、21lim(1)xxx=.2、当0x时,无穷小ln(1)Ax与无穷小sin3x等价,则常数A=.3、已知函数()fx在点0x处连续,且当0x时,函数21()2xfx,则函数值(0)f=.4、111lim[]1223(1)nnn=.5、若lim()xfx存在,且sin()2lim()xxfxfxx,则lim()xfx=.二、选择题（每小题4分,共20分）1、当0x时,无穷小量是[].（A）1sinxx（B）1xe（C）lnx(D)1sinxx2、点1x是函数311()1131xxfxxxx的[].（A）连续点（B）第一类非可去间断点（C）可去间断点(D)第二类间断点3、函数()fx在点0x处有定义是其在0x处极限存在的[].（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件(D)无关条件4、已知极限22lim()0xxaxx,则常数a等于[].（A）1（B）0（C）1(D)25、极限201limcos1xxex等于[].（A）（B）2（C）0(D)2三、解答题（共60分）21、（7分）计算极限222111lim(1)(1)(1)23nn.2、（7分）求极限30tansinlimxxxx.3、（7分）求极限123lim()21xxxx.4、（7分）求极限201sin1lim1xxxxe.5、（7分）设3214lim1xxaxxx具有极限l,求,al的值.6、（8分）设3()32,()(1)nxxxxcx,试确定常数,cn,使得()()xx.7、（7分）试确定常数a,使得函数21sin0()0xxfxxaxx在(,)内连续.8、（10分）设函数()fx在开区间(,)ab内连续,12axxb,试证:在开区间(,)ab内至少存在一点c,使得11221212()()()()(0,0)tfxtfxttfctt.3综合测试题A卷答案一、填空题1、2e2、33、04、15、1二、选择题1、（A）2、（C）3、（D）4、（A）5、（D）三、解答题1、原式=132411111lim()()()lim223322nnnnnnnn.2、原式=2322000sin1sin1cos1cos2limlimlimcoscos2xxxxxxxxxxxxx.3、原式=232lim(1)(1)lim(1)2121xxxxxxxeee.4、原式=201sin12lim2xxxx.5、因为1lim(1)0xx,所以321lim(4)0xxaxx,因此4a,代入原式得321144(1)(1)(4)limlim1011xxxxxxxxlxx.6、此时,()()xx7、当0x时,()fx连续,当0x时,()fx连续.200001lim()limsin0,lim()lim()xxxxfxxfxaxax所以,当0a时,()fx在0x连续,因此,当0a时,()fx在(,)内连续.8、因为()fx在(,)ab内连续,12axxb,所以()fx在12[,]xx上连续,由连续函数的最大值、最小值定理知,()fx在12[,]xx上存在最大值M和最小值m,即在12[,]xx上,()mfxM,所以12112212()()()()ttmtfxtfxttM,又因为120tt,所以32221()32(1)(2)(1)(2)3lim,3,2(1)xxxxxxxxcncxc4112212()()tfxtfxmMtt,由连续函数的介值定理知:存在12(,)(,)cxxab,使得112212()()()tfxtfxfctt.5第一章函数与极限综合测试题B卷一、填空题（每小题5分,共30分）1、若2110xxfxxx,则fx2、0ln12sinlim11xxxx3、102limarccosxxx4、842lim2222nn5、121limnnnnnn6、lim1txtxtxefxe,fx的间断点是二、选择题（每小题5分,共30分）1、,012,12,12xxfxxxx的连续区间为[].（A）0,2；（B）0,2；（C）0,11,2；（D）0,11,2.2、01sinlimsinxxxx的值为[].（A）1（B）（C）不存在（D）0.3、若222lim22xxaxbxx,则必有[].（A）2,8ab（B）2,5ab（C）0,8ab（D）2,8ab.4、若0x时,fx为无穷小,且fx是2x的高阶无穷小,则20limsinxfxx[].6（A）0（B）1（C）（D）12.5、11121arccot1xxefxxe,则0x是fx的[].（A）可去间断点（B）跳跃间断点（C）无穷间断点（D）振荡间断点.6、,0,0xexfxaxx,要使fx在0x处连续,则a[].（A）2（B）1（C）0（D）1.三、计算题（每小题6分,共30分）1、求13521lim2482nnn.2、讨论函数221lim1nnnxfxxx的连续性,若有间断点,判别其类型.3、设4,1,2122,1xaxbxxxxfxx在1x处连续,求,ab的值.4、求22212lim12nnnnnnnnn.5、求2220lnsinlimln2xxxxexexx.四、证明题（共10分）1、若fx在,ab上连续,12naxxxb,证明:在1,nxx上必有,使121nffxfxfxn.7综合测试B卷答案一、填空题1、20xxx;2、2;3、2e;4、2;5、2;6、0x二、选择题1、(D)2、(C)3、(D)4、(A)5、(B)6、(B)三、计算题1、12121231,2,222nnnnnnn,13521lim3.2482nnn2、22,11lim0,11,1nnnxxxfxxxxxx,1x也是第一类（跳跃）间断点.3、,2,3ab.4、221111221nnnnnxnnnnn,由夹逼准则1lim2nnx.5、原式222222002sinln1lnsinlnlimlimlnlnln1xxxxxxxxxxeeexexee2222222000sinsinlimlimlim1xxxxxxxxexxeexexx.四、证明题因为fx在,ab上连续,1,,nxxab,故fx在1,nxx上连续,因而在1,nxx上fx必有最大值M和最小值m.于是,1,2,imfxMin,作和,有1niinmfxnM,于是11niimfxMn.由介值定理的推论,1,nxx上连续的函数fx必取得介于最大值M与最小值m之8间的任何值,即存在1,nxx,使11niiffxn.