[数学]广义逆矩阵

第七章广义逆矩阵广义逆矩阵是逆矩阵的推广，与线性方程组的求解有密切联系。给定一个线性方程组Ax=b，当矩阵A可逆时，线性方程组的解可表示为x=A-1b当矩阵A是奇异矩阵或不是方阵时，线性方程组的解应如何表示呢？当线性方程组是矛盾方程，或者说是不相容方程时，线性方程组能否有其它意义下的解，这种解又应当如何表示呢？把逆矩阵推广到不可逆方阵或长方矩阵上，这就是所谓的广义逆矩阵。广义逆矩阵具有通常逆矩阵的部分性质，并且在方阵可逆时，它与通常的逆矩阵一致，而且广义逆矩阵可以给出线性方程组（包括相容的和矛盾方程组）各种解的统一形式。主要内容：1·广义逆矩阵及其分类2·A+的计算3·几类弱逆4·广义逆矩阵与线性方程组的解广义逆矩阵方程设A是n阶非奇异矩阵，则存在唯一的逆矩阵A-1，它具有如下性质：AAAA1111AAAAIAA1IAA1)()()()(4321PXAXAPAXAXPXXAXPAAXAHH或者说，A-1是下述矩阵方程组的解---广义逆矩阵方程)()()()(4321PXAXAPAXAXPXXAXPAAXAHH设,nmCA若矩阵满足如下四个（Penrose)mnCX方程则称X为A的Moor–Penrose逆，记为A+例：容易由定义直接验算：若,0011A则021021A存在性证明BCACCCBrnrrrmr使得在由满秩分解定理知，存设,,,0HHHHBBBCCCX11)()(令可以验证X满足广义逆矩阵方程mnCX设，A+存在且唯一，即广义矩阵方程组nmCA定理有唯一解设,rrankA若,0r则A是阶零矩阵，可以nm验证阶零矩阵满足四个方程。mn对于矩阵方程)()()()(4321PXAXAPAXAXPXXAXPAAXAHH如果矩阵G仅满足其中的一个或几个时，可以定义不同的广义逆矩阵。因此，共可定义1544342414CCCC类不同的广义逆。由A+的存在性可知，15类广义逆都存在，除A+是唯一确定的外，其余各类广义逆矩阵都不唯一确定。几类弱逆A{i}={|G满足第i个Penrose方程}mnCG对于矩阵，记nmCAA{i,j}={|G满足第i,j个Penrose方程}mnCGA{i,j,k}={|G满足第i,j,k个Penrose方程}mnCG广义逆集合各类广义逆的关系几种常用的广义逆矩阵}{},{},,{}4,3,2,1{}{ijikjiAAAAAA{1},它的形式记为A{1,2},它的形式记为A{1,3},它的形式记为A{1,4},它的形式记为rAAlAmA--最小二乘广义逆--自反广义逆最小范数广义逆A{1}是指仅满足第一个Penrose方程的广义逆，即若AA-1A=A,则记广义逆A-}1{AA说明：1)利用初等行变换，可以求得A-2）A的减号逆A-不唯一。例：设,010101A容易验证100001,010001CB均满足,,AACAAABA故B，C都是A的减号逆.3)矩阵A有唯一的A-充分必要条件是A为非奇异矩阵，此时A-=A-1定理A{1}的表示通式AYAAAYAGACYAACAmnnmr的通式为则是任意矩阵是一个给定的广义逆，，设}1{,}1{此定理表明：只要求出中的一个元素，就可得到中所有的元素。1A1A广义逆矩阵A+的计算：方法一利用满秩分解如果矩阵A有满秩分解A=BC，则有A+的表达式，即HHHHBBBCCCA11)()(1AA因此广义逆A+是通常逆矩阵概念的一种推广。广义逆矩阵A+与通常逆矩阵有许多类似的性质，但也有一些不同。如果A是非奇异矩阵，则并且由上面的公式计算出，从而111BCA11BCA如果矩阵A是行满秩的，A有满秩分解A=ImA，则A+的表达式为1)(HHAAAA如果矩阵A是列满秩的，A有满秩分解A=AIn，则A+的表达式为HHAAAA1)(特别地，设为n维列向量，且则,0HH1)(1)(HH设为n维行向量，且则,0例１：求广义逆011001A1)(HHAAAAA是行满秩的，故由于解1]101011011001[00101100110121110010111例２：设求,321AA由A为列向量，即为列满秩，则HHAAAA1)(从而321141A若A既不是行满秩也不是列满秩，则需首先对A进行满秩分解，再求A例３：已知,122121211142A求A矩阵A中分别有两行、两列对应成比例，因此A既不是行满秩也不是列满秩首先利用初等行变换求出A的Hermite标准型H为：,000011001021H设A的满秩分解为，则BCA,211112B11001021C于是HHHHBBBCCCA11)()(111112633621161110020111561651224112331广义逆矩阵A+的计算：方法二－－奇异值法设矩阵的奇异值分解为A=UDVH其中U,V分别是m阶、n阶酉矩阵，nmrCA),,,(,00021rdiagD则容易验证：.HUVDA其中),,,(,0001121111rdiagD利用此方法，需首先对A进行奇异值分解。例４：设010001000000A求A先求A的奇异值分解。因为,000010001AAH为.0,1,1321对应的特征向量为：.1,0,0,0,1,0,0,0,1321TTTxxx令,,,,21321VVxxxV其中,,,32211xVxxV设111AVU100100100101000100000010010000则的特征值AAH把TTyy1,0,0,0,0,1,0,021扩充为的一组标准正交基得：4RTTyy0,0,1,0,0,0,0,143再令,,,,4321yyyyU则,000000010001HVUA从而HUVA00010010000110000100000000100001100010001000010000100广义逆A+的性质设nmCAAA.1HHAA.3TTAA.2HHAAAA4,.5AA其中,C且0,00,1AAAAHH5)()(7HHHHAAAAAAAAAA)()(8AAAAAAAAAAHHHH)()(.6HHHHAAAAAAAnnmmCVCU,11、设9、若有满秩分解式A=BC，则HHUAVUAV)()()()(10AArankAArankArankArankBCA都是酉矩阵，则12、当A是Hermite矩阵时，AAAAAAAAAAAA222222)()()()(举例说明广义逆不具有通常意义下逆矩阵的下列性质：（4）A与A+的非零特征值并不互为倒数。ABAB（1）kkAA（2）AAAA（3）例证10001A1011BAA10111BB0001AB0101210011ABABAB由0101A可得又B为满秩矩阵，则例证20101A001121AkkAAAAAA可验证由0111A可得考虑非齐次线性方程组,bAx其中给定，而mnmCbCA,nCx为待定向量。若,rankAbArank方程组是相容方程组；否则，称为矛盾方程组或不相容方程组。则线性方程组有解，则称该bAx关于线性方程组的求解问题，常见的有以下几种情形：bAx1）在相容时，若系数矩阵，且非奇异，即nnCA0detA则有唯一解;1bAx但当A是奇异方阵或长方矩阵时，它的解不唯一，我们可以利用减号逆给出方程组的通解。线性方程组求解bAx2）如果方程组相容，且其解有无穷多个，可求出具有极小范数的解，即,minxbAx其中为欧氏范数，可以证明满足此条件的解是唯一的，称为极小范数解。3）若方程组不相容，则不存在通常意义下的解，但在许多实际问题中，需要求出这样的解：bAxxnCxmin其中为欧氏范数，称这个问题为求矛盾方程组的最小二乘问题，相应的x为矛盾方程组的最小二乘解。4）一般说来，矛盾方程组的最小二乘解是不唯一的，但在最小二乘解的集合中，具有最小范数的解xbAxminmin是唯一的，称之为极小范数最小二乘解，或最佳逼近解.（一）相容方程组的通解为线性方程组的解的充分必要条件是bAXmnnmCbCXCA,,bAX)()()(ARbArankbArank)(ARbmnCGGbX我们已知相容bAX}1{AG，其中定理对于任意，都存在，使定理说明，对于任意的bAXAA},1{是线性方程组的一个特解。bAX给定一个线性方程组广义逆矩阵与线性方程组的求解有着密切关系。利用减号逆、最小范数广义逆、最小二乘广义逆以及加号逆可以给出上述诸问题的解。定理齐次线性方程组的通解是0AXYAAIX)(证明:对于任意向量，成立nCY其中是任意向量。nCY0)()(YAAAAYAAIAAX即是齐次线性方程组的解。0AXYAAIX)(设X0是齐次线性方程组的任一解，则0AX0000)()(XAAIXAAIAXAX因此，是齐次线性方程组的通解。YAAIX)(0AX推论相容线性方程组的通解为bAXYAAIbAX)(其中是任意向量。nCY例1、求解221232321xxxxx将方程组改写为矩阵形式,bAx其中210121A21b由于,2bArankrankA所以该方程组是相容的。首先求得A的一个减号逆。由A是行满秩矩阵，则1HHAAAA832645141从而原方程组的通解为YAAIbAX)(32132132123192461036913141yyyyyyyyy其中为任意向量。Tyyyy321,,定义相容线性方程组的所有解中2范数最小的解称为方程组的最小范数解，记为bAX（二）相容方程组的最小范数解bAXm~X~定理相容线性方程组的最小范数解是唯一的，并且可表示为bAX其中是A的最小范数广义逆。mA例2、求方程组221232321xxxxx的最小范数解由于A为行满秩矩阵，因此为满秩方阵，则有TA