一阶线性非齐次微分方程求解方法归类

一阶线性非齐次微分方程一、线性方程方程dydxPxyQx()()1叫做一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的)。如果Qx()0，则方程称为齐次的；如果Qx()不恒等于零，则方程称为非齐次的。a)首先，我们讨论1式所对应的齐次方程dydxPxy()02的通解问题。分离变量得dyyPxdx()两边积分得ln()lnyPxdxc或ycePxdx()其次，我们使用所谓的常数变易法来求非齐次线性方程1的通解。将1的通解中的常数c换成的未知函数ux()，即作变换yuePxdx()两边乘以得PxyuPxePxdx()()()两边求导得dydxueuPxePxdxPxdx()()()代入方程1得ueQxPxdx()()，uQxePxdx()()ucQxedxPxdx()()于是得到非齐次线性方程1的通解yecQxedxPxdxPxdx()()()将它写成两项之和yceeQxedxPxdxPxdxPxdx()()()()非齐次通解=齐次通解+非齐次特解【例1】求方程dydxyxx21132()的通解。解：]23)1([1212dxexceydxxdxx]23)1([22)1(ln)1(lndxexcexx()[()]xcxdx11212()[()]xcx121212由此例的求解可知，若能确定一个方程为一阶线性非齐次方程，求解它只需套用公式。以下几类为一阶微分方程的简捷求法1预备知识形如()()dyPxyQxdx(1)的方程称为一阶线性方程.这里()Px、()Qx在所考虑的区间上是连续的.当()0Qx时,方程(1)变为()0dyPxydx(2)方程(1)(()0Qx)称为一阶非齐次线性方程,而方程(2)称为与(1)相对应的一阶齐次线性方程.方程(1)可用常数变易法求解,方程(2)可用分离变量法求解.形如()()ndyPxyQxydx(0,1)n(3)的方程称为伯努利方程.它可通过变量代换、常数变易、变量回代等求解过程转化为一阶线性微分方程来求解.现提出几类一阶微分方程,并用简洁方法进行求解.2主要结果定理1若一阶非齐次线性微分方程具有如下形式'()()()nndyFxFxyQxdx(4)则它的通解为1()()nyQxdxCFx(5)证明将方程(4)化为()()()nndFxdyFxyQxdxdx()()()nnFxdydFxyQxdx()()ndFxyQxdx两边积分得()()nFxyQxdxC1()()nyQxdxCFx证毕.推论1若一阶非齐次线性微分方程具有如下形式'()()()dyFxFxyQxdx(6)则它的通解为1()()yQxdxCFx(7)定理2若一阶齐次线性微分方程具有如下形式'()()0nndyFxFxydx(8)则它的通解为()nCyFx(9)证明在定理1的结果1()()nyQxdxCFx中,取()0Qx便可得证.推论2若一阶齐次线性微分方程具有如下形式'()()0dyFxFxydx(10)则它的通解为()CyFx(11)定理3若一阶微分方程具有如下形式()ln()()ln()ndyPxyFyQxyFydx(12)当1n时,其通解为ln()()ln()dyQxPxdxCFy(13)当1n时,其通解为其中ln()Fy在所考虑区间上是连续的.证明若1n,方程(12)变为()ln()()ln()dyPxyFyQxyFydx(15)此方程为可分离变量的微分方程.分离变量得()()ln()dyQxPxdxyFyln()()ln()dyQxPxdxFy两边积分得ln()()ln()dyQxPxdxCFy此即为方程(15)的通解表达式.若1n,方程(12)两端同除以ln()nyFy得11()()ln()ln()nndyPxQxyFydxFy令1ln()nzFy,则定理3若一阶微分方程具有如下形式'()()()ndyFxFxyQxydx(0,1)n(12)则它的通解为1()()nyQxdxCFx(5)证明将方程(12)化为()()()ndydFxFxyQxydxdx()()ndFxyyQxdx方程两端除以ny,得到1()()()nndydFxyFxyQxdxdx11()()()1nnnndFxFxdyyQxndxdx令1nzy,则(1)ndydznydxdx,代入上式,得到关于变量z的一阶线性方程()()()1nndFxFxdzzQxndxdx()(1)()(1)()nnFxdzndFxznQxdx()()ndFxyQxdx两边积分得()()nFxyQxdxC1()()nyQxdxCFx证毕.定理3若一阶线性微分方程具有如下形式'()()()nnndyFxFxyQxydx(0,1)n(12)则它的通解为1()()nyQxdxCFx(5)证明将方程(12)化为()()()nnndFxdyFxyQxydxdx方程两端除以ny,得到1()()()nnnndFxdyyFxyQxdxdx11()()()1nnnndFxFxdyyQxndxdx令1nzy,则(1)ndydznydxdx,代入上式,得到关于变量z的一阶线性方程()()()1nndFxFxdzzQxndxdx()(1)()(1)()nnFxdzndFxznQxdx()()ndFxyQxdx两边积分得()()nFxyQxdxC1()()nyQxdxCFx证毕.