高中数学-第二章-概率-2.3.1-离散型随机变量的数学期望学案-新人教B版选修2-3

2.3.1离散型随机变量的数学期望1.理解离散型随机变量的数学期望的意义和性质，会根据离散型随机变量的分布列求出数学期望.(重点)2.掌握二点分布、二项分布的数学期望.(重点)3.会利用离散型随机变量的数学期望解决一些相关问题.(难点)[基础·初探]教材整理1离散型随机变量的数学期望阅读教材P59～P60，完成下列问题.1.定义一般地，设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1，x2，…，xn，这些值对应的概率是p1，p2，…，pn，则E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn叫做这个离散型随机变量X的均值或数学期望(简称期望).2.意义刻画了离散型随机变量的平均取值水平.1.下列说法正确的有________(填序号).①随机变量X的数学期望E(X)是个变量，其随X的变化而变化；②随机变量的均值反映样本的平均水平；③若随机变量X的数学期望E(X)＝2，则E(2X)＝4；④随机变量X的均值E(X)＝x1＋x2＋…＋xnn.【解析】①错误，随机变量的数学期望E(X)是个常量，是随机变量X本身固有的一个数字特征.②错误，随机变量的均值反映随机变量取值的平均水平.③正确，由均值的性质可知.④错误，因为E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.【答案】③2.已知离散型随机变量X的分布列为：X123P35310110则X的数学期望E(X)＝________.【解析】E(X)＝1×35＋2×310＋3×110＝32.【答案】323.设E(X)＝10，则E(3X＋5)＝________.【导学号：62980052】【解析】E(3X＋5)＝3E(X)＋5＝3×10＋5＝35.【答案】35教材整理2常见几种分布的数学期望阅读教材P60例1以上部分，完成下列问题.名称二点分布二项分布超几何分布公式E(X)＝pE(X)＝npE(X)＝nMN1.若随机变量X服从二项分布B4，13，则E(X)的值为________.【解析】E(X)＝np＝4×13＝43.【答案】432.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不命中得0分.已知他命中的概率为0.8，则罚球一次得分X的期望是________.【解析】因为P(X＝1)＝0.8，P(X＝0)＝0.2，所以E(X)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8.【答案】0.8[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]二点分布与二项分布的数学期望某运动员投篮命中率为p＝0.6.(1)求投篮1次时命中次数X的数学期望；(2)求重复5次投篮时，命中次数Y的数学期望.【精彩点拨】(1)利用二点分布求解.(2)利用二项分布的数学期望公式求解.【自主解答】(1)投篮1次，命中次数X的分布列如下表：X01P0.40.6则E(X)＝0.6.(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y服从二项分布，即Y～B(5,0.6)，则E(Y)＝np＝5×0.6＝3.1.常见的两种分布的均值设p为一次试验中成功的概率，则(1)二点分布E(X)＝p；(2)二项分布E(X)＝np.熟练应用上述公式可大大减少运算量，提高解题速度.2.二点分布与二项分布辨析(1)相同点：一次试验中要么发生要么不发生.(2)不同点：①随机变量的取值不同，二点分布随机变量的取值为0,1，二项分布中随机变量的取值x＝0,1,2，…，n.②试验次数不同，二点分布一般只有一次试验；二项分布则进行n次试验.[再练一题]1.(1)某种种子每粒发芽的概率为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，每个坑至多补种一次，补种的种子数记为X，则X的数学期望为()A.100B.200C.300D.400(2)已知某离散型随机变量X服从的分布列如下，则随机变量X的数学期望E(X)等于()X01Pm2mA.19B.29C.13D.23【解析】(1)由题意可知，补种的种子数记为X，X服从二项分布，即X～B(1000,0.1)，所以不发芽种子的数学期望为1000×0.1＝100.所以补种的种子数的数学期望为2×100＝200.(2)由题意可知m＋2m＝1，所以m＝13，所以E(X)＝0×13＋1×23＝23.【答案】(1)B(2)D求离散型随机变量的数学期望在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2，…，6)，求：(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；(2)甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与均值.【精彩点拨】(1)可先求“甲乙两单位的演出序号至少有一个为奇数”的对立事件的概率；(2)先求出ξ的取值及每个取值的概率，然后求其分布列和均值.【自主解答】只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件数.(1)设A表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则A表示“甲、乙的演出序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得P(A)＝1－P(A)＝1－C23C26＝1－15＝45.(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4，且P(ξ＝0)＝5C26＝13，P(ξ＝1)＝4C26＝415，P(ξ＝2)＝3C26＝15，P(ξ＝3)＝2C26＝215，P(ξ＝4)＝1C26＝115.从而知ξ的分布列为ξ01234P1341515215115所以E(ξ)＝0×13＋1×415＋2×15＋3×215＋4×115＝43.求离散型随机变量ξ的数学期望的步骤1.根据ξ的实际意义，写出ξ的全部取值.2.求出ξ的每个值的概率.3.写出ξ的分布列.4.利用定义求出数学期望.其中第(1)、(2)两条是解答此类题目的关键，在求解过程中应注重分析概率的相关知识.[再练一题]2.盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池.现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及数学期望.【解】X可取的值为1,2,3，则P(X＝1)＝35，P(X＝2)＝25×34＝310，P(X＝3)＝25×14×1＝110.抽取次数X的分布列为X123P35310110E(X)＝1×35＋2×310＋3×110＝32.[探究共研型]离散型随机变量的均值实际应用探究1某篮球明星罚球命中率为0.7，罚球命中得1分，不中得0分，则他罚球一次的得分X可以取哪些值？X取每个值时的概率是多少？【提示】随机变量X可能取值为0,1.X取每个值的概率分别为P(X＝0)＝0.3，P(X＝1)＝0.7.探究2在探究1中，若该球星在一场比赛中共罚球10次，命中8次，那么他平均每次罚球得分是多少？【提示】每次平均得分为810＝0.8.探究3在探究1中，你能求出在他参加的各场比赛中，罚球一次得分大约是多少吗？为什么？【提示】在球星的各场比赛中，罚球一次的得分大约为0×0.3＋1×0.7＝0.7(分).因为在该球星参加各场比赛中平均罚球一次的得分只能用随机变量X的数学期望来描述他总体得分的平均水平.具体到每一场比赛罚球一次的平均得分应该是非常接近X的均值的一个分数.随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：元)为X.(1)求X的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即X的数学期望)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%，如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？【精彩点拨】根据利润的意义写出ξ的取值→写出ξ的分布列→求出数学期望EX→利用期望回答问题【自主解答】(1)X的所有可能取值有6,2,1，－2.P(X＝6)＝126200＝0.63，P(X＝2)＝50200＝0.25，P(X＝1)＝20200＝0.1，P(X＝－2)＝4200＝0.02.故X的分布列为：X621－2P0.630.250.10.02(2)E(X)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34.(3)设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为E(X)＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x(0≤x≤0.29).依题意，E(X)≥4.73，即4.76－x≥4.73，解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%.1.实际问题中的期望问题均值在实际生活中有着广泛的应用，如对体育比赛的成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益的预测等方面，都可以通过随机变量的期望来进行估计.2.概率模型的三个解答步骤(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些.(2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的期望.(3)对照实际意义，回答概率，均值等所表示的结论.[再练一题]3.甲、乙两射击运动员进行射击比赛，射击相同的次数，已知两运动员击中的环数X稳定在7,8,9,10环.将它们的比赛成绩画成频率分布直方图如图2­3­1甲和图乙所示.图2­3­1(1)根据这次比赛的成绩频率分布直方图推断乙击中8环的概率P(X乙＝8)，以及甲击中9环以上(包括9环)的概率；(2)根据这次比赛的成绩估计甲、乙谁的水平更高(即平均每次射击的环数谁大).【解】(1)由图乙可知P(X乙＝7)＝0.2，P(X乙＝9)＝0.2，P(X乙＝10)＝0.35.所以P(X乙＝8)＝1－0.2－0.2－0.35＝0.25.同理P(X甲＝7)＝0.2，P(X甲＝8)＝0.15，P(X甲＝9)＝0.3，所以P(X甲＝10)＝1－0.2－0.15－0.3＝0.35.P(X甲≥9)＝0.3＋0.35＝0.65.(2)因为E(X甲)＝7×0.2＋8×0.15＋9×0.3＋10×0.35＝8.8，E(X乙)＝7×0.2＋8×0.25＋9×0.2＋10×0.35＝8.7，则有E(X甲)E(X乙)，所以估计甲的水平更高.[构建·体系]1.一名射手每次射击中靶的概率为0.8，则独立射击3次中靶的次数X的数学期望是()A.0.83B.0.8C.2.4D.3【解析】E(X)＝3×0.8＝2.4.【答案】C2.口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的均值为()A.13B.23C.2D.83【解析】X的取值为2,3.因为P(X＝2)＝1C23＝13，P＝(X＝3)＝C12C23＝23.所以E(X)＝2×13＋3×23＝83.【答案】D3.某射手射击所得环数ξ的分布列如下：ξ78910Px0.10.3y已知ξ的均值E(ξ)＝8.9，则y的值为________.【解析】依题意得{x＋0.1＋0.3＋y＝1，7x＋0.8＋2.7＋10y＝8.9，即{x＋y＝0.6，7x＋10y＝5.4，解得y＝0.4.【答案】0.44.设离散型随机变量X可能的取值为1,2,3，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3).又X的均值E(X)＝3，则a＋b＝________.【导学号：62980053】【解析】∵P(X＝1)＝a＋b，P(X＝2)＝2a＋b，P(X＝3)＝3a＋b，∴E(X)＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＝3，∴14a＋6b＝3.①又∵(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＝1，∴6a＋3b＝1.②∴由①②可知a＝12，b＝－23，∴a＋b＝－16.【答案】－165.袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取2个球，每取到1个黑球记0分，每取到1个白球记1分，每取到1个红球记2分，用X表示取得的分数.求：(1)X的分布列；(2)X的均值.【解】(1)由题意知，X可能取值为0,1,2,3,4.P(X＝0)＝C24C29＝16，P(X＝1)＝C13C14C29＝13，P(X＝2)＝C14C12＋C23C29＝1136，P(X＝3)＝C12C13C29＝16，P(X＝4)＝C22C29＝136.故X的分布列为X0