1.1集合与集合的表示方法

1.1集合与集合的表示方法新课讲解基础知识框图集合集合的概念集合的表示法集合与集合的关系包含关系集合的运算交集并集补集相等真子集子集列举法描述法一、集合的概念：提出问题：概念形成：第一组实例：①“小于10”的自然数0，1，2，3，…，9；②满足3x-2x+3的全体实数;③所有直角三角形;④到两定点距离的和等于两定点间的距离的点;⑤高一(3)班全体同学;⑥出席2016年第31届夏季奥运会的中国代表队的全体成员。1、集合：集合:一般地,把一些能够确定的不同的对象看成一个整体,就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集).集合的元素：构成集合的每一个对象叫做这个集合的元素。第二组实例：（1）第十一届全运会上山东代表队获得的金牌构成一个集合。（2）方程x2=1的解的全体构成的集合。（3）平行四边行的全体构成的集合。（4）平面上与一定点O的距离等于r的点的全体构成的集合。2．元素与集合的关系：a是集合A的元素，则记为；若a不是集合A的元素，则记为________．３．集合中元素的特性：①确定性②互异性③无序性a∈Aa∉A做一做：判断下列各组对象能否组成一个集合：(1)9以内的正偶数；(2)篮球打得好的人；(3)2012年伦敦奥运会的所有参赛运动员；(4)高一(1)班所有高个子同学．[答案](1)、(3)能构成集合;(2)、(4)不能构成集合。做一做：有下列4组对象：(1)某校2015级新生；(2)小于0的自然数；(3)所有数学难题；(4)接近1的数．其中能构成集合的是________．[答案](1)(2)做一做：４.集合的分类:(1).按集合中元素的个数多少可分为：①有限集②无限集(2).按集合中元素的种类可分为:①数集②点集③图象的集合④其它(3).空集:不含任何元素的集合,记作φ。规定它属于有限集5.特定集合的表示:①非负整数集(自然数集)N②整数集Z③有理数集Q④正整数集N*（N+）⑤实数集R用符号∈或∉填空：(1)－1________N；(2)－2________Q；(3)2________Z.[答案](1)∉(2)∈(3)∉[解析]－1不是自然数，故－1∉N；－2是有理数，故－2∈Q；2不是整数，故2∉Z.做一做：1.1.2集合的表示方法(1)定义：将集合中的元素一一_____出来，写在_______内表示集合的方法．(2)用列举法表示集合适用的范围仅为集合中元素较_____(填“多”或“少”)或_____(填“有”或“无”)明显规律．1.列举法列举花括号少有(1)定义：把集合中的元素__________描述出来，写在花括号内表示集合的方法叫做特征性质描述法，简称描述法．它的一般形式是____________，其中“x”是集合元素的代表形式，“I”是“x”的范围，“|p(x)”是集合中元素“x”的共同特征，竖线不可省略．2.描述法共同特征{x∈I|p(x)}3.维恩图法通常画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合.123例如:{1,2,3}用列举法表示集合用列举法表示下列集合：(1)方程x2＝x的所有实数解组成的集合；(2)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合．题型探究例1【解】(1)方程x2＝x的解是x＝0或x＝1，所以方程的解组成的集合为{0，1}．(2)将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0，1)，故直线与y轴的交点组成的集合是{(0，1)}．变式训练:1.用列举法表示下列集合：(1)A＝x∈N|66－x∈N；(2)已知M＝{0，2，3，7}，P＝{x|x＝ab，a，b∈M，a≠b}写出集合P；(3)A＝{x|x＝|a|a＋|b|b，a，b为非零实数}．解：(1)A＝{0，3，4，5}．(2)P＝{0，6，14，21}．(3)A＝{－2，0，2}．用描述法表示下列集合：(1){-1,1};(2)大于3的全体偶数构成的集合;(3)在平面α内,线段AB的垂直平分线.用描述法表示集合例2PBPAPNnnxxxxxkey平面点且)3(,2,3)2(1)1(:(4)坐标平面内,两坐标轴上点的集合;(5)三角形的全体构成的集合;(6){2,4,6,8}:(4),0,,(5)(6)2,14,keyxyxyxRyRxxxxnnnN是三角形或三角形变式训练:2.用描述法表示下列集合：(1)正偶数集；(2)被3除余2的正整数集合；(3)使式子1x（x－1）（x＋1）有意义的实数x的取值范围．解：(1){x|x＝2n，n∈N＋}．(2){x|x＝3n＋2，n∈N}．(3){x|x≠0，且x≠－1，且x≠1}．下面三个集合：A＝{x|y＝x2＋1}，B＝{y|y＝x2＋1}，C＝{(x，y)|y＝x2＋1}．问：(1)它们是不是相同的集合？(2)它们各自的含义是什么？集合的表示方法的综合应用例3【名师点评】判定几个集合是否为同一集合，不但要看特征性质是否相同，而且要看代表元素是否一样．变式训练:3.以下两个集合有什么区别：{(x，y)|y＝2x－1}和{y|y＝2x－1}．解：两个集合中的代表元素不同，前者是方程y＝2x－1的所有解构成的集合，元素为有序数对，后者表示函数y＝2x－1的函数值的集合，是数集．已知集合A由a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3三个元素构成，且1∈A，求实数a的值．[分析]由于1∈A，故应分a＋2＝1，(a＋1)2＝1，a2＋3a＋3＝1三种情况讨论，且在求得a的值之后，应验证是否满足集合中元素的互异性．补充一:元素与集合的关系:[解析]①若a＋2＝1，则a＝－1，此时A中有1,0,1，不符合要求；②若(a＋1)2＝1，则a＝0或－2.当a＝0时，A中有2,1,3，符合要求；当a＝－2时，A中有0,1,1，不符合要求；③若a2＋3a＋3＝1，则a＝－1或－2.当a＝－1时，A中有1,0,1，不符合要求；当a＝－2时，A中有0,1,1，不符合要求．综上所述，实数a的值为0.已知集合A是方程ax2＋2x＋1＝0的解集．(1)若A＝∅，求a的值；(2)若A中只有一个元素，求a的值．[分析]解本题的关键是由A＝∅，得方程ax2＋2x＋1＝0无实根；由A中只有一个元素，得方程ax2＋2x＋1＝0有且只有一个实根，或有两个相等实根．补充二:方程解集的问题[解析](1)∵A＝∅，∴方程ax2＋2x＋1＝0无实根，∴a≠0且Δ＝4－4a0，解得a1.(2)A中只有一个元素，有两种情况：当a≠0时，Δ＝4－4a＝0，解得a＝1；当a＝0时，x＝－12.故A中只有一个元素时，a＝0或a＝1.