通信原理公式总结

考研●通信原理公式手册Date:2007-05-02复习通信原理之前应该知道的通信与信息系统这一学科的研究生入学考试专业课包括通信原理和信号与系统两门。两者风格不同，所以复习时的策略和方法也应适当调整。通信原理课程主要考察基本原理，因此数学计算量不大，题型相对信号与系统来说也比较固定。教材中虽有相当数量的公式需要记忆，但都比较简单，解题时只需确定好题型，带入相应公式计算，基本上没有过于繁杂的步骤的特殊的技巧。复习好通信原理课程，在于充分理解各种基本原理。原理是基础，解题是目的。应当在牢牢把握基础知识的情况下，有方法的、有策略的巩固、记忆学过的知识点和解题思路。切不可刚刚开始复习，就打算用背题型的办法来对待，因为越到复习的最后阶段，越要求对基本原理有个清晰的认识，越要求对全书的各章节有一个总体的关联和综合。如果基本的知识点都不清晰，后期复习的效果将大打折扣，那样的话，摆在我们面前的就是各个章节独立的“块”，而没有形成紧密相连的“体”，综合就更无从谈起。复习专业课，同复习数学相似，复习一两遍是不够的，建议复习三遍以上。当然每一轮复习的侧重是不同的。下面简要说一下各轮的安排。第一轮，主要目的在于回顾知识点。由于考研时，通信原理课已经结课至少半年时间，有的人已经忘记了很多内容。另外也与每个人当时学习掌握情况有关，如果当时掌握得不是很牢固，到现在可能也忘记得差不多了。所以有必要在深入复习之前，大略地翻看以前的教材和笔记，看看过去学过些什么。这一阶段不必背记公式和知识点，只要从前往后翻看知识点即可，不必做题。这样的目的就是找到当时学它的感觉。当教材看完后，可翻开教材目录，对照标题看看自己能不能大概想出该章节有那些主要内容。如果有能力，在翻看教材的过程中，可以记忆一些简单的公式和知识点，太过复杂的公式（比如功率谱密度公式）可以在第二、三轮复习时重点背记。第二轮，主要目的在于熟记知识点和公式、总结题型和解法，做一定量的练习题。经过第一轮回顾后，应该对教材内容有些印象了。现在需要的是熟记公式、知识点、解题思路，并做一定量的习题巩固。这一阶段，背记公式可能效果不是很明显，但一定要结合习题巩固，习题可以不亲自动手做，可以看一些辅导书的题解过程，熟悉一下解题思路，姑且也可以称为“套路”，因为这些题都有基本固定的模式。这一轮下来以后，可能一些公式还是印象不深，不过问题也不大，可待第三轮时重点强化记忆，但不能完全依赖第三轮。这一阶段，最主要的目的不是背记公式，而是总结各章节的题型，并掌握相应的解题思路和方法。会解题是这一轮的重点，记不住的公式可以在第三轮强化。第三轮，主要目的是强化记忆公式、知识点和解题思路。经过前两轮的复习，有人可能觉得已经复习得差不多了。但这还不能说明你在考场上也能轻松准确地写出每个公式的每个符号。考研数学复习的最后阶段不是讲究背公式吗？专业课也一样需要。背公式不是让人单纯地背一大堆数学符号，而是让人在理解的基础上，会用、并且熟用公式，要达到像不用思考就说出1加1等于2那样写出每一个公式的程度。背公式看似投机取巧，但这能让你在很短的时间内掌握大量复杂的公式，其效果只有上了考场才能充分体现出来。因为在考场上，轻松准确地写出公式能节省相当的时间，且能给自己信心，稳定情绪。对基本公式都咬不准，接下来的解题过程，你又能有多大把握保证做完了都正确且能得分呢？没把握就直接导致信心不足，畏首畏尾，间接地影响了后面各题的解答。这是我们不希望看到的。背记公式也有技巧。背记公式不能采取像背诵英语课文那样的方法。我在背任何公式的时候都把公式视为图像，而不仅仅是文字。这样是为了在大脑中浮现出公式的轮廓，多次记忆后就可清晰地显现出公式的细节。背公式最后是为了考场上能写出来，不需要用口读出来，那种出声的背法，我并不推荐。（每个人都有自己的背法，我的背法不一定适合所有人，这里只是提供一种经过实践检验的可行的方法。它的效果并不是很快地就显现出来，也就是说，一开始不见得就能像口头拼写单词beauty=b-e-a-u-t-y一样，快速说出公式。但当你需要在纸上写出公式时，这种方法的效果就很明显了。）背课文、背政治需要顺理成章、有逻辑地说出内容，这需要大量运用左脑。背公式只需背一句，不需要有多强的逻辑性，所以用图像法背，利用一下你的右脑，也许有更大的收获。另外在背公式的周期安排上，小公式、容易记的公式，最好每天回顾一遍，要在大脑中用“想”的方法背，把公式的每个符号从大脑中抽出来。小公式回顾的次数多了，就能记住很久，以后就可以多隔几天再背一次。大公式、难记忆的公式，像功率谱密度公式、PCM的信号量化误差平均功率比推导公式、各种常见方波（包括单极性NRZ、双极性NRZ、单极性RZ、双极性RZ）的功率谱公式等等，最好每天特别安排一段时间背，要细背，反复地“看—背—写”。此后每天背之前，先检查前一天背完的效果。这里要说明一下，最初刚开始背的时候，前一天背好的个别公式，可能第二天还记得很清晰，可若觉得问题不大就把精力从它移到别处，放松了警惕，第三天就可能什么也写不出来。所以背公式是个长期坚持的工作，短期效果可能很好，但这不是我们的最终目的，我们要的是长效。通信原理不是孤独的学科，它与信号与系统有着很大的联系。通信原理将用到很多信号与系统的公式，比如傅立叶变换等等，同样信号与系统也需要通信原理的基本原理知识，比如调制与解调。因此前面说的背公式，应该与信号与系统的背公式同步进行。通信原理课程各章复习顺序：我们可以发现，这样的复习顺序，从绪论到信道，都是基础知识。此后的各章，正好符合了一个数字通信系统大致上的级联顺序。这样的复习顺序，有助于把握各章节的内在联系。下面就进入正题，总结一下各章节的内容。绪论随机过程信道模拟信号的数字传输数字基带传输系统正弦载波数字调制系统差错控制编码同步原理第一章绪论1、信息量𝐼=𝑙𝑜𝑔𝑎1𝑝𝑥=−𝑙𝑜𝑔𝑎𝑝(𝑥)其单位与对数底𝑎有关。𝑎=2时，𝑙𝑜𝑔2𝑋=𝑙𝑏𝑋，单位是比特𝑏𝑖𝑡；𝑎=𝑒时，𝑙𝑜𝑔𝑒𝑋=𝑙𝑛𝑋，单位是奈特𝑛𝑖𝑡；𝑎=10时，𝑙𝑜𝑔10𝑋=𝑙𝑔𝑋，单位是哈特莱（𝑕𝑎𝑟𝑡𝑙𝑦）1𝑛𝑖𝑡=1.443𝑏𝑖𝑡，用于不能计算以2为底的对数的计算器，先算𝑙𝑛𝑋，再乘1.443。2、熵（平均信息量）𝐻𝑥=𝑝𝑥𝑀𝑖=1∙𝑙𝑏1𝑝𝑥=−𝑝𝑥𝑀𝑖=1∙𝑙𝑏𝑝𝑥(𝑏𝑖𝑡符号)当信源中每个符号等概率独立出现时，熵有最大值。设此时信源有M个符号，则信源的最大熵：𝐻𝑚𝑎𝑥=−1𝑀𝑀𝑖=1∙𝑙𝑏1𝑀=𝑙𝑏𝑀(𝑏𝑖𝑡符号)一条由𝑚个符号构成的消息，其总信息量𝐼=𝑚∙𝐻𝑥(𝑏𝑖𝑡)3、码元传输速率𝑹𝑩码元速率与进制数无关，仅与传输的码元长度𝑇𝑠有关。𝑅𝐵=1𝑇𝑆𝐵𝑎𝑢𝑑或𝐵在信息速率不变的情况下，𝑀进制的码元速率𝑅𝐵𝑀与二进制的信息速率𝑅𝑏之间有以下转换关系：𝑅𝐵2=𝑅𝐵𝑀∙𝑙𝑏𝑀4、信息传输速率𝐑𝐛单位：𝑏𝑖𝑡秒或𝑏𝑖𝑡𝑠或𝑏𝑠或𝑏𝑝𝑠𝑅𝑏=𝑅𝐵∙𝐻(𝑏𝑠)当等概传输时，熵有最大值𝑙𝑏𝑀,则𝑅𝑏也达到最大。𝑅𝑏=𝑅𝐵∙𝑙𝑏𝑀(𝑏𝑠)(𝑀为进制数)𝑀=2时，𝑅𝑏=𝑅𝐵5、频带利用率（1）用码元传输速率表示的频带利用率𝜂𝐵=𝑅𝐵𝐵(𝐵𝑎𝑢𝑑𝐻𝑧)，即单位频带内的码元传输速率。（2）用信息传输速率表示的频带利用率𝜂𝑏=𝑅𝑏𝐵(𝑏𝑖𝑡𝑠∙𝐻𝑧)，即单位频带内的信息传输速率。6、误码率（码元差错率）𝑷𝒆𝑃𝑒=错误接收码元数传送总码元数=𝑃𝑒𝑁7、误信率（信息差错率）𝑷𝒃二进制时有𝑷𝒃=𝑷𝒆𝑃𝑏=错误接收比特数传送总比特数第二章随机过程1、随机过程的数字特征（1）均值（数学期望）𝐸𝜉𝑡=𝑥𝑓1𝑥,𝑡∞−∞𝑑𝑥=𝑎𝑡（2）方差𝐷𝜉𝑡=𝐸𝜉𝑡−𝑎𝑡2=𝐸𝜉2𝑡−𝑎𝑡2=𝜎2𝑡当𝑎𝑡=0时，方差𝜎2𝑡=𝐸𝜉2𝑡（3）相关函数𝑅𝑡1,𝑡2=𝐸𝜉𝑡1𝜉𝑡2=𝑥1𝑥2𝑓2𝑥1,𝑥2;𝑡1,𝑡2𝑑𝑥1𝑑𝑥2∞−∞∞−∞（4）协方差函数𝐵𝑡1,𝑡2=𝑅𝑡1,𝑡2−𝑎𝑡1𝑎𝑡2当𝑎𝑡1=0或𝑎𝑡2=0时，𝐵𝑡1,𝑡2=𝑅𝑡1,𝑡2令𝑡2=𝑡1+𝜏，则𝑅𝑡1,𝑡2可表示为𝑅𝑡1,𝑡1+𝜏。说明，相关函数是起始时刻𝑡1和时间间隔𝜏的函数。2、平稳随机过程（1）狭义平稳对任意的𝑛和𝑕，随机过程𝜉𝑡的𝑛维概率密度函数满足𝑓𝑛𝑥1,𝑥2,⋯,𝑥𝑛;𝑡1,𝑡2,⋯,𝑡𝑛=𝑓𝑛𝑥1,𝑥2,⋯,𝑥𝑛;𝑡1+𝑕,𝑡2+𝑕,⋯,𝑡𝑛+𝑕,则称𝜉𝑡是狭义平稳。含义：指随机过程𝜉𝑡的统计特性不随时间的推移而变化，即当取样点在时间轴上做任意平移时，随机过程的所有有限维分布函数不变，且有：①一维分布与时间𝑡无关：𝑓1𝑥1,𝑡1=𝑓1(𝑥1)；②二维分布只与𝜏有关：𝑓2𝑥1,𝑥2;𝑡1,𝑡2=𝑓2(𝑥1,𝑥2;𝜏)（2）广义平稳若随机过程𝜉𝑡的数学期望与时间无关，而其相关函数仅与时间间隔𝜏有关，即:𝑎𝑡=𝑎,𝑅𝑡1,𝑡1+𝜏=𝑅𝜏则称𝜉𝑡是广义平稳。[注]狭义平稳一定是广义平稳的，反之不一定成立。通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为平稳随机过程。以后讨论的随机过程除特殊说明外，均假定是平稳的，且均指广义平稳。3、各态历经性（遍历性）设𝑥𝑡是平稳随机过程𝜉𝑡的一个实现，它的时间均值和时间相关函数分别为：𝑎=𝑥𝑡=𝑙𝑖𝑚𝑇→∞1𝑇𝑥𝑡𝑑𝑡𝑇2−𝑇2𝑅𝜏=𝑥𝑡𝑥𝑡+𝜏=𝑙𝑖𝑚𝑇→∞1𝑇𝑥𝑡𝑥(𝑡+𝜏)𝑑𝑡𝑇2−𝑇2若依概率1使下式成立：𝑎=𝑎,𝑅𝜏=𝑅𝜏，则称平稳随机过程𝜉𝑡具有各态历经性。[注]具有各态历经性的随机过程必定是平稳随机过程，但平稳随机过程不一定是各态历经的。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经条件。4、相关函数的性质设𝜉𝑡为实平稳随机过程，则其自相关函数𝑅𝜏=𝐸𝜉𝑡𝜉𝑡+𝜏，它具有如下性质：（1）𝑅0=𝐸𝜉2𝑡=𝑆（平均功率）（2）𝑅∞=𝐸2𝜉𝑡（直流功率）（3）𝑅0−𝑅∞=𝜎2（交流功率、方差），当均值为0时，有𝑅0=𝜎2。（4）𝑅𝜏=𝑅−𝜏（𝜏的偶函数）（5）𝑅𝜏≤𝑅0（𝑅𝜏的上界）[注]其中（1）、（2）、（4）、（5）常用于判断给出的图形是否可能是某个平稳随机过程的自相关函数。5、频谱特性随机过程的频谱特性用它的功率谱密度来表示。𝑅𝜏⟺𝑃𝜉𝜔（维纳—辛钦关系）𝑃𝜉𝜔=𝑅𝜏∞−∞𝑒−𝑗𝜔𝜏𝑑𝜏𝑅𝜏=12𝜋𝑃𝜉𝜔∞−∞𝑒𝑗𝜔𝜏𝑑𝜔或𝑃𝜉𝑓=𝑅𝜏𝑒−𝑗2𝜋𝑓𝜏𝑑𝜏∞−∞𝑅𝜏=𝑃𝜉𝑓𝑒𝑗2𝜋𝑓𝜏𝑑𝑓∞−∞=2𝑎当𝜏=0时，有𝑅0=12𝜋𝑃𝜉𝜔𝑑𝜔∞−∞=𝑃𝜉𝑓𝑑𝑓∞−∞，为总平均功率。𝑃𝜉𝜔具有如下性质：（1）𝑃𝜉𝜔≥0，非负性；（2）𝑃𝜉−𝜔=𝑃𝜉𝜔，偶函数。单边功率谱密度𝑃𝜉1𝜔为：𝑃𝜉1𝜔=2𝑃𝜉,𝜔≥00,𝜔0这相当于把双边的功率谱折叠起来放在单边的正频率上。求功率𝑆有两种方法：（1）已知𝑅𝜏时，𝑆=𝑅0；（2）已知𝑃𝜉𝜔时，𝑆=12𝜋𝑃𝜉𝜔∞−∞𝑑𝜔=𝑃𝜉𝑓𝑑𝑓∞−∞。6、高斯随机过程（正态随机过