控制系统的性能指标

1第四章控制系统的性能指标24.1引言4.2控制系统的稳态响应及稳态误差4.3控制系统的瞬态响应及时域性能指标4.4控制系统的频域性能指标34.1.1典型输入信号1.阶跃函数当R=1时，为单位阶跃函数拉氏变换：2.斜坡函数(等速度信号)当R=1时，为单位斜坡函数拉氏变换：43.抛物线函数(等加速度信号)当R=1时，为单位抛物线函数4.脉冲函数当R=1时为单位脉冲函数,而ε→0为理想脉冲函数拉氏变换：拉氏变换：55.正弦函数拉氏变换：w—角频率，w=2pf=2p/T；f—振荡频率；其中：A—幅值或振幅；T—振荡周期64.1.2控制系统的输出响应线性定常系统运动微分方程：利用线性解析法得到的微分方程的通解：7利用拉氏变换法得到的微分方程的通解：利用传递函数求得的系统的输出响应，是由输入量决定的零状态响应。8系统输出响应的常用表达形式：在典型输入信号作用下，任何一个控制系统的零状态响应，均由动态响应分量和稳态响应分量两部分构成。9系统输出响应的拉氏变换表达形式：()()()YsGsRs在零状态输出响应中：104.2控制系统的稳态响应及稳态误差4.2.1典型输入信号的稳态响应稳态响应：当t→∞时，系统输出响应输出响应通过反拉氏变换得到：控制系统输出量的稳态响应与传递函数和输入信号的形式有关111.单位阶跃函数输入的稳态响应稳态响应：122.单位斜坡函数输入的稳态响应稳态响应：133.单位抛物线函数输入的稳态响应稳态响应：14154.2.2误差与稳态误差1.误差的定义从输入端定义：系统输入信号与主反馈信号之差)()()(tbtrte16从输出端定义：系统输出量的实际值与希望值之差在性能指标提法中经常使用，在实际系统中有时无法测量。一般只具有数学意义17两者之间的关系：单位反馈时：)s(E)(E,1)(Hss利用从输入端定义的误差进行计算和分析。通过拉氏变换法可得到：182.稳态误差的定义19影响控制系统稳态误差的因素输入信号的形式；系统的结构；根据拉氏变换终值定理，稳定的控制系统的稳态误差为：当输入信号形式确定后，取决于以开环传递函数描述的系统结构。20单位反馈系统误差传递函数：H(s)=121误差信号对参考输入信号的误差传函利用线性系统的叠加性求误差①令N(s)=022②令R(s)=0误差信号对干扰输入信号的误差传函23误差的拉氏变换式244.2.3参考输入信号作用下稳态误差的计算根据拉氏变换终值定理，稳定的控制系统的稳态误差为：(应用终值定理的条件sE(s)全部极点位于s左半平面或原点）2526例4.1：设单位反馈系统如图：试求稳态误差。解：误差传函27（1）)(limteesrtsr28当sE(s)满足求极值条件，可用公式：稳态误差：29（2）30当sE(s)不满足只在s左半平面或原点上有极点，不能利用终值定理来求稳态误差311.系统类型设系统的开环传函为：r是纯积分环节的次数——系统的型次。32K为开环增益33稳态误差与下列因数有关：1）输入信号中（1／s）的阶次；2）系统的型次与K；系统的型次影响是决定系统的稳态误差是0（或者）。K在某些情况下有作用。342.稳态误差系数:反映不同型次的系统跟踪不同典型输入信号的能力（稳态跟踪精度）,与系统的型次、输入信号形式有关（1）单位阶跃函数输入作用下的稳态误差与稳态位置误差系数Kp：35定义:3637（2）单位斜坡函数输入作用下的稳态误差与稳态速度误差系数Kv：定义:3839定义:Ka：稳态加速度误差系数（3）单位抛物线函数输入作用下的稳态误差与稳态加速度系数Ka4041输入信号作用下的稳态误差421）稳态误差与输入、系统结构有关.2）减小或消除稳态误差的方法：①增加开环放大系数K；②提高系统的型次数;3）利用稳态误差系数求稳态误差时，输入信号应为阶跃函数、斜坡函数、抛物线函数以及这三种典型函数的线性组合。3.稳态误差的物理解释434.动态误差系数稳态误差系数Kp，Kv，Ka反映了t时系统稳态误差的品质，它们只取三种值：0，常数，；对应的稳态误差也只有三种值：0，常数，。不能反映非典型输入信号下的稳态误差，及当t随时间的变化的情况。44单位反馈控制系统在参考输入信号作用下，系统误差传递函数为：45式中：46为区别于Kp，Kv，Ka称ci为动态误差系数。动态误差系数：ci反映了当t时稳态误差随时间变化的情况。求取ci的方法长除法。47例4.2:单位反馈系统开环传函（2）当输入为：其稳态误差又将如何？48（1）用静态误差系数分析：解：49（2）用动态误差系数分析系统误差。解：用长除法可求得：所以：50当t时随时间线性增长当t时随时间抛物线增长。5152)11.0(100)(0sssGttr5sin)(例4.3:单位反馈系统开环传递函数为：若输入,试求稳态误差。解：（1）动态误差系数：5354（2）根据频率特性的定义求：系统的稳态误差为：554.2.4扰动输入信号作用下稳态误差的计算单位反馈系统：令R(s)=056当sE(s)在s右半平面及虚轴上解析时，可以用终值定理来计算稳态误差：（1）用终值定理计算稳态误差：扰动输入信号作用下稳态误差控制系统在扰动输入信号作用下稳态误差的终值同样与控制系统的结构、参数、和扰动输入信号的形式有关。57同理也可用动态误差系数法，将误差的拉氏变换为Taylor级数来分析。（2）用动态误差系数计算稳态误差：58扰动作用动态误差系数594.2.5减少或消除稳态误差的措施3.采用复合控制。2.在系统的前向通道或主反馈通道设置串联积分环节；1.增大系统开环增益或扰动作用点之前的前向通道增益；60例：设单位反馈系统如图，求稳态误差解：误差传函1)(,1)(222111sTKsGsTKsGsKKsTsTsTKsKKsTsTsTsTsGsNsGsGsRsE1)1)(1()1(1)1)(1()1)(1()(1)()()(1)()(212112212121020212210111)(limKKKKKssEesss稳态误差61瞬态响应，是指系统的输出从输入信号r(t)作用时刻起，到稳定状态为止，随时间变化的过程。分析系统的瞬态响应，可以考查系统的稳定性和过渡过程的性能。1.直接求解法2.间接评价法3.计算机仿真法分析系统的瞬态响应方法：4.3控制系统的瞬态响应及时域性能指标624.3.1控制系统的时域性能指标控制系统的动态性能指标通常是根据在零初始条件下，系统的单位阶跃响应曲线的特征来定义的。在刻画控制系统的动态性能指标时，为什么选择单位阶跃作为系统的输入？63系统的输出响应与输入信号有关，比较各种输入下的系统的响应是不可能的，也是不必要的。数学表达式简单，便于数学分析与理论计算。信号简单，在实验中容易产生，便于实验分析与检验。阶跃信号比其他瞬变信号要严峻，能够反映出系统在实际工作条件下的性能。利用单位阶跃响应曲线，来定义的动态性能指标直观，含义清楚。6465①振荡的过渡过程曲线：第一次达到系统稳态值所需的时间②非振荡的过渡过程曲线：从稳态值的10％上升到90％所需的时间主要时域性能指标的定义（1）上升时间tr66tp愈小，表明控制系统反应愈灵敏。响应曲线到达稳态值50%所需的时间（3）延迟时间td（2）峰值时间tp67ts的大小一般与控制系统中的最大时间常数有关，ts越短，系统响应越快。（4）调节时间ts：响应到达稳态的时间68（5）超调量σ%：阶跃响应曲线的最大值和稳态值的偏差（响应曲线偏离稳态值的最大值）与稳态值之比的百分数超调量69总结：70对于恒值控制系统的主要任务是维持恒值输出，这时参考输入不变、输出的希望值不变，而扰动输入为主要输入，所以常以系统对单位扰动输入信号时的响应特性来衡量瞬态性能。响应曲线围绕原来工作状态上下波动71现实中大量的系统属于典型的一阶或二阶系统。（温度计系统，单自由度机械振动系统等等）大量的高阶、复杂系统可在一定范围内简化为典型的系统，便于系统分析与设计。在校正系统时，往往把系统设计成一个典型的系统。分析和理解高阶系统动态响应的基础为什么要研究典型系统的性能分析？721.一阶系统的数学模型T—时间常数，表示系统的惯性。闭环传递函数sTssRsYsG11)()()(λ—系统闭环极点值。一阶系统常称为惯性系统。4.3.1一阶系统的动态响应732.一阶系统的单位阶跃响应11111)()()(TsssTssRsGsY74单位阶跃响应曲线：75761)可用唯一的参数时间常数T来度量输出：响应的特点：772)单调上升。t＝0时，响应曲线的切线斜率为1/T,切线与稳态值的交点处的t=T初始斜率最大78②上升时间3)性能指标①过渡过程时间79③延迟时间80可以用上升时间和调节时间来作为动态性能指标。4）特征根s=－1/TT越小，动、稳态特性越好，即为了提高一阶系统的快速响应和跟踪能力，应该减少系统的时间常数T5）一阶系统的单位阶跃响应是单调上升的不存在超调量812.一阶系统的单位脉冲响应11)()()(TssRsGsY82②曲线斜率响应的特点：初始斜率①过渡过程时间833.一阶系统的单位斜坡响应11111)()()(22TsssTssRsGsY84响应曲线由两部分组成：①稳态分量：（t-T）以1/T的系数衰减到零。T越小，稳态误差越小。也是单位斜坡函数；有时间T的延迟，即稳态误差。也是单位斜坡函数；854.一阶系统的单位抛物线响应跟踪误差：不能跟踪加速度输入)(limtet11111)()()(33TsssTssRsGsY86一阶系统对典型输入信号的输出响应87线性定常系统的重要特性:初始条件为零的线性定常系统，在r(t)的作用下，y(t)的拉氏变换为)()()(sRsGsY若系统的输入为1()()/rtdrtdt则系统的输出为)()()()()()(11ssYssRsGsRsGsY1()()/ytdytdt当系统输入信号为原来输入信号的导数时，系统的输出为原来输出的导数。88同理，若系统的输入为2()()drtrtt系统的输出为即：在零初始条件下，当系统输入信号为原来输入信号对时间的积分时，系统的输出则为原来输出对时间的积分。其拉氏变换为89②由于单位斜坡信号和单位抛物线信号是单位阶跃信号对时间的一重和二重积分，所以单位斜坡响应和单位抛物线响应就为单位阶跃响应对时间的一重和二重积分。由上可以推知：①由于单位脉冲信号是单位阶跃信号对时间的一阶导数，所以单位脉冲响应是单位阶跃响应对时间的一阶导数.901212)()()(22222TssTsssRsYsGnnnwww1.二阶系统的数学模型4.3.3二阶系统的动态响应其中：—阻尼系数（阻尼比）—自然（无阻尼）频率—时间常数特征方程：特征根：91特征根在s平面上的分布92：一对共轭虚根，无阻尼：具有正实部的共轭复根01022,11wwnnjsnjsw2,193：相等的负实根，临界阻尼：具有负实部的共轭复根，欠阻尼10122,11wwnnjsnsw2,1：两个不相等的负实根，过阻尼1122,1wwnns94(1)欠阻尼状态)10(2.二阶系统的单位阶跃响应951）欠阻尼的单位阶跃响应：或：其中：阻尼角962）欠阻尼的单位阶跃响应曲线：单位阶跃响应为一条衰减振荡曲线。97ζ越小，系统振荡越厉害，一般取0.5~0.8之间。—振荡频率98—包络线的时间常数或称为衰减系数993）系统的误差当t→∞时，稳态误差:e(∞)＝０100单位阶跃响应为若=０，系统特征根为一对共轭虚根4）欠阻尼的特殊情况（无阻尼情况）=０等幅振荡过程，其振荡频率就是无阻尼自然振荡频率wn。当系统有一定阻尼时，wdwn。101（2）临界阻尼状态)1(1）单位阶跃响应1022）单位阶跃响应曲线y(t)是单调上升型，且稳态误