曲线的渐近线与函数的作图

定义1一、曲线的渐近线§4.5曲线的渐近线与函数作图当曲线上一点沿着该曲线离坐标原点无限远移时，如果该点与某一直线的距离趋于零，则该直线为曲线的渐近线1yx22221xyab渐近线的种类：yb水平渐近线：xa垂直渐近线：0yaxba斜渐近线：　　()yfx问题：怎样求曲线的渐近线呢？定义21、水平渐近线)x(f对于函数，若b)x(flimxb)x(flimxb)x(flimx或或)x(fy则称直线为曲线的一条水平渐近线。by22lim1,1xxx解122xx)x(f例1.求曲线的水平渐近线。122xx)x(f例1求故1y是水平渐近线。arctan2yx求曲线的水例平渐近线.limarctan2limarctan2xxxx解arctan22yyyx，都是曲线的水平渐近线.11yx求曲线＋的水平渐近线.定义32、垂直渐近线)x(f对于函数，若)x(flimax)x(flimax)x(flimax或或)x(fy则称直线为曲线的一条垂直渐近线。ax1221xxlimx解所以1x是垂直渐近线。1221xxlimx所以1x是垂直渐近线。122xx)x(f例3求曲线的垂直渐近线。122xx)x(f例3ln(3)eyx求曲线垂直渐近线和水例2平渐近线.03limln(3),limln(3)exxeexx解0ln(3)3eexxyx，都是曲线的垂直渐近线.ln(3)(,0)(,)3eeyx函数的定义域为limln(3)ln3xexln3ln(3)eyyx是曲线的水平渐近线.15lnxeyx例：求曲线的垂直渐近线10limlnxxex解”“1201lim1xxexx11limlnxxex又01xx和为该曲线的垂直渐近线(),lim[()()]0lim[()()]0lim[()()]0,0()xxxfxfxaxbfxaxbfxaxbyaxbayfx对于函数若或或，则称直线为曲线的一条斜定义4渐近线,()lim,lim[()].xxfxabfxaxxxxx且可改为，3、斜渐近线为什么呢？lim[()()]0()lim[]0xxfxaxbfxbxaxx由()lim[]0xfxbaxx()limxfxaxlim[()()]0lim[()]xxfxaxbbfxax再由21xyx求曲线的例7斜渐近线.2()limlim1(1)xxfxxaxxx解1yx所以是曲线的斜渐近线.,(0),yaxba设斜渐近线为则22lim[()]lim[]1lim[]lim111xxxxxbfxaxaxxxxxxx2221xyx例8求曲线的渐近线222lim1xxx解22y为水平渐近线2212lim1xxx又2212lim1xxx1x为垂直渐近线无斜渐近线2211xxeye求曲线例9的渐近线.解221lim1,11xxxeye为水平渐近线.22001lim,01xxxxexe是函数的间断点且为垂直渐近线22()1limlim0(1)xxxxfxeaxxe曲线无斜渐近线.二、函数的作图用描点法作函数图形需要计算许多点,才能画出较精确的函数图形.当我们对函数曲线的性态有了全面了解之后,只需少数几个点就能画出较精确的函数图形.下页(1)确定函数的定义域(2)求函数的一阶和二阶导数,求出一阶、二阶导数为零的点,求出一阶、二阶导数不存在的点(3)列表分析,确定曲线的单调性和凹凸性(4)确定曲线的渐近性(5)确定并描出曲线上极值对应的点、拐点、与坐标轴的交点、其它点(6)联结这些点画出函数的图形.描绘函数图形的一般步骤上页铃结束返回首页下页例10画出函数yx3x2x1的图形.解(1)函数的定义域为(,).(2)f(x)3x22x1(3x1)(x1),f(x)6x22(3x1).令f(x)0得x1/3,1令f(x)0得x1/3.(3)曲线性态分析表f(x)f(x)f(x)＋＋－－－00－－－0＋＋＋32/27极大0极小16/27拐点↗∪↘∪↗∩↘∩(4)特殊点的函数值f(0)1,f(1)0,f(3/2)5/8.(,1/3)1/3(1/3,1/3)1/3(1/3,1)(1,)1x下页描点联线画出图形.特殊点的函数值f(0)1,f(1)0,f(3/2)5/8.)2732,31()2716,31()85,23(yx3x2x1f(x)(,1/3)1/3(1/3,1/3)1/3(1/3,1)(1,)132/27极大0极小16/27拐点↗∪↘∪↗∩↘∩x下页例10画出函数yx3x2x1的图形.解曲线性态分析表解(1)函数f(x)的定义域为(,),f(x)是偶函数,图形关于y轴对称.例2.作函数22121)(xexf的图形.例11令f(x)0,得x0令f(x)0,得x1和x1.(3)曲线性态分析表极大21e21拐点(1,)1(0,1)0xf(x)f(x)yf(x)的图形0－－－－0＋－↘∩↘∪(4)曲线有水平渐近线y0.(2)2212)(xexxf,2212)1)(1()(xexxxf.(2)2212)(xexxf,2212)1)(1()(xexxxf.下页0.51y0是曲线的水平渐近线.极大21e21拐点(1,)1(0,1)0xyf(x)的图形↘∩↘∪先作出区间(0,)内的图形,然后利用对称性作出区间(,0)内的图形.下页解函数性态分析表例2.作函数22121)(xexf的图形.例11例3.作函数2)3(361xxy的图形.例12解(1)函数的定义域为(,3)(3,).令f(x)0得x3,令f(x)0得x6.(3)曲线性态分析表(,3)(3,3)3(3,6)6(6,)xf(x)f(x)yf(x)的图形－－－－－－－－＋＋00)))11/3拐点4极大(4)曲线有铅直渐近线x3与水平渐近线y1.(5)特殊点的函数值f(0)1,f(1)8,f(9)8,f(15)11/4.(2)3)3()3(36)(xxxf,4)3()6(72)(xxxf.下页63912-3-6-9-12-153-3(,3)(3,3)3(3,6)6(6,)xyf(x)的图形)))11/3拐点4极大铅直渐近线为x3,水平渐近线为y1.f(0)1,f(1)8,f(9)8,f(15)11/4.y1x3(3,4))311,6((1,8)(9,8))411,15(结束例3.作函数2)3(361xxy的图形.例12解函数性态分析表三、利用函数的性态讨论方程f(x)=0的根由于函数的性态（如连续性、单调性、极值等）反映了函数及其图形的基本特征，而从函数图形的特征可以确定函数f(x)的零点（即f(x)=0的根）分布状况，因此，函数的性态对于方程根的讨论具有很重要的作用讨论方程f(x)=0的根的一般步骤：（1）确定f(x)的定义域及其连续性（2）求f(x)的驻点和f'(x)不存在点，并划发f(x)的单调区间（3）求f(x)的极值（或最值）（4）分析极值（或最值）与x轴的相对位置，确定f(x)的零点的大概位置及个数例13：试讨论方程xe-x=a（a0）的实根解：令F(x)=xe-x-aF(x)的定义域为了(-∞,+∞)，且在定义域内连续F'(x)=(1-x)e-x=0得x=1列表-0+F(x)F'(x)(1,+∞)0(-∞,1)x极大值（e-1-a）由x=1是F(x)的唯一极值点，因而也是F(x)的最大值点，也好f(1)=e-1-a为最大值，以下就F(1)=e-1-a与x轴的相对位置讨论F(x)的零点。因为F(x)在(-∞,1)内单调增加，且又F(x)在(1,+∞)内单减减少，且所以（1）若F(1)=e-1-a0即(1,e-1-a)位于x轴下方，由表所示，F(x)与x轴不会有交点，因此F(x)没有零点。（2）若F(1)=e-1-a=0即(1,e-1-a)位于x轴上方，由表所示，F(x)与x轴只有一个交点，因此，F(x)只有唯一的零点。lim()lim()xxxFxxealim()lim()0xxxFxxeaa（2）若F(1)=e-1-a0即(1,e-1-a)位于x轴上方，由表所示，F(x)在(-∞,1)与x轴仅有一个交点，即，F(x)在(-∞,1)内仅有一个零点，另外，F(x)在(1,+∞)内与x轴仅有一个交点，即F(x)在(1,+∞)内仅有一个零点。综上所述，当e-1-a0时，即ae-1时，方程没有实根；当e-1-a=0时，即a=e-1时，方程有唯一实根x=1；当e-1-a0时，即ae-1时，方程有两个实根，且分别在区间(-∞,1)和(1,+∞)内。例14：在区间[0，π]上讨论方程sin3xcosx=a（a0）的实根的个数解：令F(x)=a=sin3xcosxF'(x)=-3sin2xcos2x+sin4x=-3sin2x(1-sin2x)+sin4x=-3sin2x+3sin4x+sin4x=-sin2x(3-4sin2x)令F'(x)=0得两个驻点x1=60º，x2=120ºF(x)=-sin2x[3-8sin2x]F(60º)0，F(x)有极小值F(120º)0，F(x)有极大值两个端点F(0)=F(π)=a0当极小值小于零时，方程有两个解，当极小值等于零时，方程有唯一解。当极小值大于零时，方程无解。如图：33(60)16Fa极小值○·0yx33(120)16Fa极大值