线性系统理论精简版-——5.系统的稳定性

第5章系统的稳定性5.1引言一个自动控制系统要能正常工作，必须首先是一个稳定的系统。稳定性是控制系统的首要问题。稳定性的一般意义：当系统受到外界干扰后,它的平衡被破坏，但在外扰去掉以后，它仍有能力自动地在平衡态下继续工作。控制系统的稳定性，通常有两种定义方式：外部稳定性：是指系统在零初始条件下通过其外部状态，即由系统的输入和输出关系所定义的外部稳定性。具体说，零状态下，有界的输入作用下，若系统所产生的输出也是有界的，就称该动态系统是外部稳定的，或有界输入有界输出（BIBO）稳定。外部稳定性只适用于线性系统。提示：非线性系统稳定性与输入大小相关的。提示：在经典控制理论中定义的传递函数正是表征了系统在零初始条件下，输出量与输入量两者间的关系。利用传递函数极点判定稳定性，是典型的外部稳定性。内部稳定性：系统在零输入条件下通过其内部状态变化所定义的内部稳定性。即状态稳定。内部稳定性不但适用于线性系统，而且也适用于非线性系统。现代控制理论讨论的稳定性主要为内部稳定性。内部稳定性和外部稳定性在满足一定条件下是等价的（后面讨论）。经典理论判稳方法及局限性间接判定：方程求解－(对非线性和时变通常很难)直接判定：单入单出中，基于特征方程的根是否都分布在复平面虚轴的左半部分；以及采用劳斯判据、奈魁斯特频率判据等。局限性是仅适用于线性定常，不适用于非线性和时变系统。现代控制理论判稳方法：李雅普诺夫稳定性理论是稳定性判定的通用方法，适用于各种系统。李亚普诺夫第一法：先求解系统微分方程，根据解的性质判定稳定性－－间接法。李亚普诺夫第二法：直接判定稳定性。思路：构造一个李亚普诺夫函数V(x)，根据V(x)的性质判稳。－－对任何复杂系统都适用。5.2李雅普诺夫稳定性相关概念平衡态李雅普诺夫意义下的稳定性渐近稳定性大范围渐近稳定性不稳定性平衡态稳定性与输入输出稳定性的关系5.2.1平衡态设系统的状态方程为式中，维状态向量；维向量函数，它可以是线性、非线性、定常或时变的。若系统存在状态，对所有的t0都满足称为系统的平衡状态。),(txfxntxxxtn的和,,),(,21—xf0exexexnx—提示：自治系统。从定义可知，平衡态即指状态空间中状态变量的导数向量为零向量的点(状态)。由于导数表示的状态的运动变化方向，因此平衡态即指能够保持平衡、维持现状不运动的状态，如右图所示。平衡态平衡态平衡态李雅普诺夫稳定性研究的平衡态附近(邻域)的运动变化问题。若平衡态附近某充分小邻域内所有状态的运动最后都趋于该平衡态，则称该平衡态是渐近稳定的;若发散掉则称为不稳定的；若能维持在平衡态附近某个邻域内运动变化则称为稳定的。xexexe稳定平衡态不稳定平衡态渐近稳定平衡态x2x1对于线性定常系统，状态方程为平衡方程为当系统矩阵A为非奇异矩阵时，系统存在唯一一个平衡状态，即坐标原点。当系统矩阵A为奇异矩阵时，系统存在无穷多个平衡状态，必定是其中一个。Axx0eAx0ex0ex是否稳定与输入没有关系Axxee例如，对于非线性系统3221211xxxxxx其平衡态为下列代数方程组0032211xxxx的解，即下述状态空间中的三个状态为其孤立平衡态。1010003,2,1,eeexxx5.2.2李雅普诺夫稳定定义：若状态方程所描述的系统，对于任意的0和任意初始时刻t0，都对应存在一个实数(,t0)0，使得对于任意位于平衡态xe的球域S(xe,)的初始状态x0，当从此初始状态x0出发的状态方程的解x都位于球域S(xe,)内，则称系统的平衡态xe是李雅普诺夫意义下稳定的。),(txfxx2x1x(0)x(0)在上述稳定的定义中，实数δ通常与ε和初始时刻t0都有关，如果δ只依赖于ε，而和t0的选取无关，则称平衡状态是一致稳定的。5.2.3渐进稳定与大范围渐进稳定定义若状态方程所描述的系统在初始时刻t0的平衡态xe是李雅普诺夫意义下稳定的，且系统状态最终趋近于系统的平衡态xe，即Limtx(t)=xe),(txfx则称平衡态xe是李雅普诺夫意义下渐近稳定的。x2x1x(0)x2x1x(0)x(0)渐进稳定李雅普诺夫稳定大范围渐近稳定性对于n维状态空间中的所有状态，如果由这些状态出发的状态轨线都具有渐近稳定性，那么平衡态xe称为李雅普诺夫意义下大范围渐近稳定的。换句话说，若状态方程在任意初始状态下的解，当t无限增长时都趋于平衡态，则该平衡态为大范围渐近稳定的。对于线性定常系统，如果其平衡态是渐近稳定的，则一定是大范围渐近稳定的。但对于非线性系统，渐近稳定性是一个局部性的概念，而非全局性的概念。5.2.4不稳定x2x1x(0)在初始时刻t0，对于某个给定实数0和任意一个实数0，总存在一个位于平衡态xe的邻域S(xe,)的初始状态x0，使得从x0出发的状态方程的解x(t)将脱离球域S(xe,)，则称系统的平衡态xe是李雅普诺夫意义下不稳定的。5.2.5线性定常系统状态稳定性与外部稳定性的关系若线性定常系统能控能观，则其内部稳定和外部稳定等价。若该系统不具有能控性和能观性，该系统的传递函数极点只是系统特征值的一部分。在这种情况下，系统内部（状态）稳定，则外部稳定；若外部稳定，则不一定内部稳定。5.3李雅普诺夫判稳第一法第一类方法是间接方法，首先解出线性方程组的特征值，然后根据全部特征值在复平面上的分布情况来判定系统在零输入情况下的稳定性。如果是非线性系统，在平衡态附近线性化，即在平衡态求其一次Taylor展开式，然后利用一次展开式表示的线性化方程去分析系统稳定性。即解出线性化状态方程组特征值，然后类似线性系统进行判断。第一类方法，对象可以是线性与非线性系统，得到的是平衡态的状态稳定性结论。该方法与经典控制理论中间接判别稳定性方法的思路是一致的。这里不做详细讨论。5.4李雅普诺夫判稳第二法李亚普诺夫第二方法又称直接法。它的基本思想不是通过求解系统的运动方程，而是借助了一个李亚普诺夫函数来直接对系统平衡状态的稳定性做出判断。它是从能量观点进行稳定性分析的：如果一个系统被激励后，其储存的能量随着时间的推移逐渐衰减，到达平衡状态时，能量将达最小值，那么，这个平衡状态是渐近稳定的。反之，如果系统不断地从外界吸收能量，储能越来越大，那么这个平衡状态就是不稳定的。如果系统的储能既不增加，也不消耗，那么这个平衡状态仅仅是一般的李亚普诺夫意义下的稳定。它是一种通用方法，适用于各类系统，特别适用于非线性系统和时变系统，是现代控制理论中稳定性分析的重要内容。5.4.1李雅普诺夫函数（能量函数）设为任一标量函数，其中X为系统的状态变量，如果具有以下性质：(1)是连续的；(2)是正定的；(3)当时，。那么函数称为李亚普诺夫函数。dtXdVXV)()()(XVX)(XV)(XV)(XV)(XV李亚普诺夫函数的选取不唯一，多数情况下可取为二次型，因此二次型及其定号性是该理论的数学基础。5.4.2二次型及其定号性n个变量的二次多项式为称为二次型函数，即二次型。式中为二次型系数。),(),,(1,222112222221221112112211121jiaaxxaxaxxaxxaxxaxaxxaxxaxxaxaxxxVjiijnjijiijnnnnnnnnnnnnnxxx,,21ija1.二次型由二次型函数的定义可写成如下矩阵形式PXXxxxaaaaaaaaaxxxxaxaxaxaxaxaxaxaxaxxxxaxaxaxxaxaxaxxaxaxaxxxxVTnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn2121222211121121221122221211212111212211222212121212111121)()()(),,(其中，P称为二次型的矩阵。即P为对称矩阵。显然二次型完全由矩阵P确定且P的秩称为二次型的秩。nnnnnnaaaaaaaaaP212222111211TjiijPPaa),,,(21nxxxV21211221222121222121411104102410),(xxxxxxxxxxxxxxxxV例5-1如果对任意非零向量，恒有，且仅当时，则称为正定的。即0)(XV)0(XX0)(XV0X)(XV00)(00)(XXVXXV(1)正定性当时，；当时，。所以，V(X)是正定的。0)(XV0,021xx0)(XV0,021xx2.定号性22212)(xxXV例5-2如果对任意非零向量，恒有≥0，且当时，则称为正半定的。即≥00)(XV)0(XX)(XV0X)(XV00)(0)(XXVXXV(2)正半定性(准正定)例5-3221)()(xxXV当时，；当但时，。所以，V(X)是正半定的。0)(XV0,021xxaxax21,0,021xx0)(XV(3)负定性例5-4)()(2221xxXV当时，；当时，＜0。所以，V(X)是负定的。0)(XV0,021xx0,021xx)(XV如果对任意非零向量，恒有＜0，且仅当时，则称为正定的。即＜00)(XV)0(XX)(XV0X)(XV00)(0)(XXVXXV如果对任意非零向量，恒有≤0，且仅当时，则称为负半定的。即≤00)(XV)0(XX)(XV0X)(XV00)(0)(XXVXXV(4)负半定性(准负定)例5-5221)()(xxXV当时，；当但时，。所以，V(X)是负半定的。0)(XV0,021xxaxax21,0,021xx0)(XV如果在某个邻域内，即可为正值也可为负值，则称为不定的。)(XV)(XV(5)不定性例5-62221)(xxxXV3.二次型标量函数定号性判别准则（塞尔维斯特准则）设为二次型函数,即,P为实对称矩阵，与P的定号性相同（1）P正定的充要条件是，P的各阶主子行列式（2）P负定的充要条件是，（3）P半正定的充要条件是，（4）P半负定的充要条件是，01,2,,10kknkn),,2,1(0nkk),,2,1(00nkkkk为奇数为偶数0(1,2,,1)00kkknkkn为偶数为奇数PxxxTv)()(xv)(xv000212222111211222112112111nnnnnnnaaaaaaaaaPaaaaa说明：各阶主子式大于零指的是5.4.3李氏稳定性基本定理设系统的状态方程为平衡状态为。下面是李氏第二法判定系统平衡状态稳定性的几个基本定理。1.渐近稳定判定定理一2.渐近稳定判定定理二3.稳定判定定理4.不稳定判定定理()xfxe0x1.渐近稳定判定定理一如果存在标量函数v(x)，满足则原点处的平衡状态是渐近稳定的。当时，有，则原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。负定；（3）正定；(2)；都具有一阶连续偏导数对所有（1）)()()(xxxxvvvx)(xv提示：范数或者模。例5-7已知非线性系统的状态方程为试分析其平衡状态的稳定性。解：（1）由平衡方程得解出唯一平衡状态为原点，即。)()(22212122221121xxxxxxxxxx0)(0)(222121222112xxxxxxxx0ex（2）选取李氏函数为对时间的导数为根据李氏渐近稳定定理一，系统在原点处是渐近稳定的。又由于当时，有，所以系统在原点