原子物理学第3章-量子力学初步

第三章量子力学初步内容：1、玻尔理论的困难2、波粒二象性3、不确定关系4、波函数及其物理意义5、薛定谔波动方程6、量子力学问题的几个简例7、量子力学对氢原子的描述重点：不确定关系、波函数的统计解释及薛定谔方程一、玻尔理论的主要成功之处在第二章中，我们已充分说明玻尔在1913年提出的氢原子理论获得了很大的成功：（1）它较成功地给出了氢原子半径的数据；（2）它定量地给出了氢原子的电离能；（3）它从理论上满意地解释了氢光谱的经验规律——里德伯公式；（4）它用已知的物理量计算出了里德伯常数，而且和实验值符合得较好。解释并预告了氦离子光谱。从后面的章节中还将看到，利用玻尔模型能很好地说明特征X光谱，并第一次用物理的观念阐明了元素的周期性。§3.1玻尔理论的困难二、玻尔理论的困难虽然玻尔理论在一些方面取得了成功，但仍在一系列实际问题上处处碰壁，例如：1、只能计算氢原子和类氢离子的光谱频率，对于稍复杂一些的原子，如氦原子，理论无法算出能级和光谱的规律。2、即使对于氢原子，玻尔理论也无法解释光谱的强度及精细结构；3、还无法说明原子是如何组成分子及构成液体和固体的。在1922年领诺贝尔奖时说：“这一理论还是十分初步的，许多基本问题还有待解决”。玻尔理论的问题在于理论结构本身，把微观粒子看作经典力学中的质点，把经典力学的规律用于微观粒子，就不可避免地使这一理论中存在难以解决的内在矛盾；另外在经典理论的基础上，引进量子条件，缺乏逻辑的统一性，陷入了逻辑上的恶性循环。面对这些困难，有人主张彻底放弃量子论，完全回到经典学说。但是，大量的实验越来越显示出量子假说的生命力，我们需要的是新思想。§3.2波粒二象性一、光的波粒二象性1、光的波动性1678年，惠更斯，提出光的波动说。光在干涉、衍射、偏振等现象中都显示出它的波动性。2、光的微粒性1672年，牛顿，光的微粒说，如光的反射。在黑体辐射、光电效应等问题中，光又显示出微粒性。hE一个光子的能量为：由相对论原理，能量和质量相联系：2mcE由于光子具有能量，它具有质量：22chcEm则光子的动量为：hkhchmcp由公式知：光的能量和动量与光的频率和波数相联系，光是波动性和微粒性的统一。二、微观粒子的波动性1、德布罗意(L.deBroglie)假说光在某些情况下具有波动性，在另一些情况下又具有微粒性。德布罗意根据此推想，微观粒子和光子一样，在一定的条件下显示出波动性。具有一定能量E和一定动量p的自由粒子，相当于具有一定频率和一定波长的平面波，二者之间的关系为：hEhp----德布罗意关系式。对于实物粒子：mvp则实物粒子的波长为：mvhph(1)当时，220/1cvmmcv~m1(2)当时，ommcv关于实物粒子的波动性在德布罗意提出假说之前C.D.Davisson,Kunsman在1921-1923年间就观测到了电子被多晶体的金属表面散射时，在某几个角度上散射较强，显示了电子的波动性。1927年，戴维逊和革末（C.J.Davisson,L.S.Germer）进行电子在晶体上的衍射实验，测量了电子波的波长，证实了德布罗意假设。nk2sJh3410054588.12波矢量；2、实物粒子波动性的验证Eknhp与实物粒子相应的波称为德布罗意波或物质波，称为德布罗意波长。德布罗意关系式还可以写成式中，角频率；传播方向上的单位矢量2n(1)实验装置(2)实验原理电子经加速后，其动能为:eUmvEk221电子在晶体中衍射实验示意图nmeVEnmVUemUhmeUmhk)(226.1)(225.12/2则电子的速度为：mEmeUvk22电子的波长为：适用条件：(1)电子，(2)非相对论(U不能太大)。电子如果确有波动性，那么电子束射在晶体上就象光一样会有衍射发生。晶体中原子的排列原子在晶体中是作有规则排列的，形成各种方向的平行面。现考虑电子波射在原子构成的一组平行面上，入射波束和平面之间的夹角是。如果要求在方向上有强的出射波束，则由两临近平面衍射的波应该有相同的位相。即1和2两道路径的波程差应该等于波长的整数倍。假设两临近平面的距离是d,则1和2两道路径的波程差为：sin2d所以在方向上有强波束射出的条件是:sin2dn说明：1）对于晶体的某一组平面，d是一定的；2）和至少有一个必须逐渐变化，才能得到射出的强波束；3）在实验中，d和是固定的，使逐渐改变，观测强出射波束的出现则有sin225.12dUn所以sin225.1221dnU在实验中，d、是不变的。kd常数sin225.12knU21所以（3）实验结果(1)、当U不变时，I与的关系如图所示：不同的，I不同；在有的上将出现极值。(2)、当不变时，I与U的关系如图（,d=2.03Å）当U改变时，I亦变；而且随了U周期性的变化080由图可以看出：（1）当n值较小时，实验峰值同理论值有明显的差别；（2）当n值较大时，实验峰值同理论值很好地符合。产生偏差的原因：（1）是在晶体内部射线同晶面所成的夹角，而实际观测的是在晶体外边测量的。（2）射线进出晶体时在晶体表面上有折射，测得的值不等于晶体内部的值。（3）折射率是随波长而变化的，所以也随加速电压而变化。所以实验峰值与理论预言稍有出入，且当n小时差别较大。考虑以上效应，就可以做到实验和理论一致的结果。结论：电子在晶体上确实存在衍射现象，电子具有波动性。由公式知，峰值应该是等距离的，相隔3.06。knU21同年汤姆逊给出电子穿过多晶薄膜的衍射图(a)实验简图(b)衍射图样汤姆孙电子衍射实验1961年约恩还给出了电子的单缝和多缝衍射图随后人们从实验还发现质子、中子、原子、分子都具有波动性。德布罗意假设被大量事实证实，为此获1929年诺贝尔物理奖。(a)双缝(b)四缝约恩孙电子衍射图样3、德布罗意波和量子态(P79:自学)•例题:设光子和电子的波长均为0.4nm。（1）两者的动量之比？（2）动能之比？•解：不论对电子（electron）还是光子(photon)，都有:=h/p313225222221003.310819.051110988.122221:1epheeeephphpheeeeeeepheephEEJkeVcmmJhccmhcEEhchEmhmPvmEPP代入得其中组合常数所以光子动能电子动能所以•例题:若一个电子的动能等于它的静止能量。（1）求•该电子速度；（2）求德布罗意波长。•解：(1)相对论情况下总能其中为动能，为静止能量。由题意：•解得•(2)电子动量其德布罗意波长22202201cvcmmccmEEk20cmkE)1)(11(2202020cvcmcmEEcmkccv866.02/3cmcvvmmvp0203)(1AJmJcmchph0162520014.010602.1511732.110988.13/§3.3不确定关系一、微观粒子的位置和动量的不确定关系1、位置和动量的不确定关系海森伯推得，测量一个微粒的位置时，如果不确定范围是Δq，那么同时测得其动量也有一个不确定范围Δp，二者之间满足：公式表示同时测定一个微粒的位置和动量的精确度的极限。2qpSJhh3410626.622、不确定关系的推导不确定关系直接来源于物质具有微粒和波动的二象性。以电子的单缝衍射为例：曲线表明大部分粒子落入中央极大内。设缝宽为，由于电子的粒子性,电子通过缝的哪一点是不确定的，不确定范围是。qq由于电子具有的波动性，每个电子的行进方向都可能发生偏离，在的方向上产生一个动量。qsinp中央极度大内,电子在该方向上的动量的最大不确定范围为：1sinpp1sinq而则hpqp考虑到其他情况hqp2、公式的推导微观粒子的能量为：420222cmcpmcE对上式取微分vdpmpdpEpdpcpdpccmcpdE22420222121同乘有t2qptvptE二、微粒的能量与时间的不确定关系1、能量与时间的不确定关系一个体系处于某一个状态，如果时间有一段不确定性，那么它的能量也有一个范围不确定性，二者的乘积有如下关系tE2tE不确定关系的另外一种导出方法我们在振动合成中知道：观察一个拍所需的时间是，则“至少要看到一个拍”所需的时间是为：设波速为v，则在时间内波所走过的路程为，代入上式则有111t，t或（1）1vxttvx代入上式得则因,2v，v式（1）表示：要无限精确地测准频率，就需花费无限长时间；式（2）表示：要无限精确地测准波长，就必须在无限扩展的空间中进行观察。2x（2）同样从（1）式出发利用可得到22xxphpxx:22便有式代入得到的把从，pphphxxhhppxxx22:或改写为hpxx:即得hEhtE1927年，海森堡首先推导出不确定关系：2/xpx2/ypy2/zpz2/p2/tE三、不确定关系说明：（1）测不准原理来源于物质的二象性，是微观物体表现出来的性质；（2）测不准原理是物质的客观规律，不是测量技术和主观能力的问题；（3）对微粒不可能用经典力学的要求，既可以知道它的精确位置，又同时知道它的动量的确定值。因此对微观客体位置的恰当描述是说它处于某一位置的几率；（4），就存在于原子的能级情况中。2/tE原子的实际能级不是单一值,有一定宽度。也即是说,电子处于某能级时,实际能量有一不确定范围在同类大量原子中,不同电子停留在同一能级上的时间有长短,可用一个平均寿命表示。小E大t能级宽度小平均寿命长能级稳定EEt例题:估算宏观物体的不确定性解：以高尔夫球为例，一个质量45g的高尔夫球，以40m/s的速度飞行，如果动量的不确定度是1%，位置的不确定度可估算为m104~%1m/s40kg1045sJ10632334x数值是极其微小的，因此，球类运动员大可不必为球的波动性而担忧。四、不确定关系的应用smx/500smsmx/105/10500242/xpxxxmpx//电子：子弹：mmx3.2mx31101.2例题:设电子与质量m=0.01kg的子弹均沿x方向运动，速率，精确度为0.01%，求测定x坐标所能达到的最大准确度。解：rxpx220][2xxxxpppp平均平均)()(22xxpp例题:求束缚粒子的最小平均动能rx解：假如粒子被束缚在线度为r的范围内，即假定，那么，粒子的动量必定有一个不确定度，它至少为对于三维空间：平均平均)(31)(22ppx222832mrmpEk平均由以上关系式可得粒子的最小平均动能：例题：在衰变中，若电子是从原子核中逃逸出来的，试估计它在核中的动能。按照不确定关系，动量不确定度为mx1410psmmp~kg10~10~2014动能约为Mev20~24222cmcmpcEook通常衰变的动能远小于该值。所以简单的估算排除了电子在核内的可能性，在原子核内只能存放质子和中子。电子可以被束缚在线度为0.05nm的原子内是可能的。m1410解：对于数量级为大小的核，位置的不确定度为m1410eV103.3)eV(103102101019722888615tcctE谱线的自然宽度为MHz0.8seV151014.4/eV103.3/8h