2019年上半年中小学教师资格考试——数学学科知识与教学能力(初级中学)——密训卷1(一)

2019年上半年中小学教师资格考试——数学学科知识与教学能力（初级中学）——密训卷（一）1/92019年上半年中小学教师资格考试数学学科知识与教学能力（初级中学）密训卷（一）注意事项：1．考试时间为120分钟，满分为150分。2．请按规定在答题卡上填涂、作答。在试卷上作答无效，不予评分。2019年上半年中小学教师资格考试——数学学科知识与教学能力（初级中学）——密训卷（一）2/9一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案字母按要求涂黑。错选、多选或未选均无分。1．极限0tansineelimtansinxxxxx＝（）。A．0B．12C．1D．322．级数21sinnnxn的敛散性是（）。A．条件收敛B．绝对收敛C．发散D．无法判别3．方程y2＝2－x，表示空间的曲面为（）。A．球面B．旋转双曲面C．圆锥面D．抛物柱面4．若线性方程组12312312321(1)31(1)2xxxxxxxxx,,有唯一解，则（）。A．λ＝1B．λ≠1C．λ＝2D．λ≠25．设区域22(,)4Dxyxy≤，则Dddxy＝（）。A．8πB．2πC．16πD．4π6．对某目标进行100次独立射击，假设每次射击击中目标的概率是0.2，记X为100次独立射击中击中目标的总次数，则2()EX＝（）。2019年上半年中小学教师资格考试——数学学科知识与教学能力（初级中学）——密训卷（一）3/9A．20B．200C．400D．4167．发现著名公式iecosisin的数学家是（）。A．莱布尼茨B．约翰·伯努利C．雅各布·伯努利D．欧拉8．教学方法中的发现式教学法又称为（）教学法。A．习惯B．态度C．学习D．问题二、简答题（本大题共5小题，每小题7分，共35分）9．求通过直线2210220,xyzxyz且与平面10xyz垂直的平面方程。10．设()fx是,ab上的连续函数，且对于满足()d0bagxx的任意连续函数()gx，都有()()d0bafxgxx。证明：存在,ab使得()()fxf恒成立。11．已知二次型222123123121323(,,)55266fxxxxxcxxxxxxx的秩为2，求参数c及此二次型对应矩阵的特征值。2019年上半年中小学教师资格考试——数学学科知识与教学能力（初级中学）——密训卷（一）4/912．《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括，如抽象、分类、归纳、演绎、模型等。”请简述，怎样让学生在学习过程中感悟数学思想。13．书面测验是考查学生课堂目标达成状况的重要方式，以“二元一次方程组”一章为例，说明设计数学测验试卷应关注的主要问题。三、解答题（本大题共1小题，10分）14．设V是n维欧式空间，α≠0是V中的一个固定向量，证明：（1）1(,),VVxxαx是V的子空间；（2）V1的维数等于n－1。四、论述题（本大题共1小题，15分）15．举例说明在教学中如何处理“预设”与“形成”的关系。五、案例分析题（本大题共1小题，20分）16．阅读下列对于二次函数2yax的性质进行探究的两个教学活动设计，然后回答问题。在学习“二次函数的图象与性质”，探究二次函数2yax有哪些性质时，两位教师进行了如下设计：设计1：活动①请画出二次函数2yx，22yx，23yx的图象和二次函数2yx，22yx，23yx的图象。活动②从图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、增减性五个方面来研究它们的性质2019年上半年中小学教师资格考试——数学学科知识与教学能力（初级中学）——密训卷（一）5/9有什么共同特点。学生分组交流、展示。设计2：教师运用课件投影展示二次函数2yx，22yx，23yx和2yx，22yx，23yx的图象，给学生讲解图象的开口方向、对称轴、顶点、最值、增减性的特征。问题：（1）分析设计1的教学设计意图；（2）结合本案例分析自主探究与合作交流的意义，简述教学过程中如何引导学生进行自主探究和合作交流；（3）对比分析这两个教学设计的理念。六、教学设计题（本大题共1小题，30分）17．在学习了三个“三角形相似的判定定理”后，某教师设计了一节习题课的教学目标：①进一步巩固“三角形相似的判定定理”，并学会灵活应用；②在解决问题的过程中，学生能感受到图形运动变化的思想，能用运动变化的观点看问题，感受数形结合思想、分类讨论思想等数学思想；③学会从題设或结论出发寻求论证思路的分析方法，提高分析问题、解决问题的能力。他的教学设计中包含了这样的一个例题：如图，AB⊥BC，DC⊥SC，垂足分别为B和C，且AB＝8，DC＝6，BC＝14。问题一：SC上是否存在一点P使△ABP与△DCP相似。问题二：若有这样的点P存在，点P的位置有几个，并求出此时BP的长。针对上述材料，完成下列任务：（1）结合该教师的教学目标，分析该例题的设计意图；（2）设计例题的简要教学流程，并给出解题后的小结提纲；（3）类比题干例题中的问题二，设计一个例题，使之符合教学目标②的要求。2019年上半年中小学教师资格考试——数学学科知识与教学能力（初级中学）——密训卷（一）6/9密训卷（一）答案及解析一、单项选择题1．【答案】C【解析】利用等价无穷小量，当x→0时，x~ex－1。本题中0lim(tansin)xxx＝0，所以tansin0e1lim1tansinxxxxx。所以极限tansinsintansinsin000eee(e1)limlimlime1tansintansinxxxxxxxxxxxxx。故本题选C。2．【答案】B【解析】因为22sin1nxnn＜，而级数211nn为p－级数，p＝2＞1，级数收敛。所以级数21sinnnxn收敛，故级数21sinnnxn绝对收敛。故本题选B。3．【答案】D【解析】球面的标准方程为2222()()()xaybzcr。旋转双曲面的方程：单叶双曲面2222221xyzabc，双叶双曲面2222221xyzabc。圆锥面方程为22222xyzaa。直线沿定曲线C移动形成的轨迹叫做柱面，抛物柱面的方程为22ypx。22yx为母线平行于z轴，准线为xOy平面上的抛物线的抛物柱面。故本题选D。4．【答案】B【解析】线性方程组有唯一解的充要条件是其系数矩阵的行列式不等于0，即1211311＝λ－1≠0，即λ≠1。故本题选B。5．【答案】D【解析】根据二重积分的意义，被积函数为1时表示积分区域的面积，所以DddDxyS＝4π。故本题选D。6．【答案】D【解析】由题意知，X服从二项分布。X～B（100，0.2），所以()EX＝100×0.2＝20，D（X）＝100×0.2×（1－0.2）＝16。因为：D（X）＝E（X2）－E（X），所以：E（X2）＝D（X）＋[E（X）]2＝416。故本题选D。7．【答案】D【解析】欧拉公式iecosisin，e是自然对数底数，i是虚数单位。它将指数函数的定义域扩大到复数域，建立了三角函数和指数函数的关系，在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”。故本题选D。8．【答案】D【解析】发现式教学法又称为问题教学法，是美国著名心理学家布鲁纳于20世纪50年代首先倡导的、让学生自己发现问题、主动获取知识的一种教学方法。故本题选D。2019年上半年中小学教师资格考试——数学学科知识与教学能力（初级中学）——密训卷（一）7/9二、简答题9．【参考答案】设平面方程221(22)0xyzkxyz，整理得(2)(12)kxky(2)120kzk，则该平面的法向量为(2,12,2)kkkn。平面x＋y＋z－1＝0的法向量(1,1,1)m。因为两平面垂直，则有21220kkknm，k＝－12。所以，符合题意的平面方程为332022xz。10．【参考答案】根据积分中值定理知，()fx在闭区间,ab上连续，存在,ab使得()d()()()dbbaafxxbaffx，进而()()d0bafxfx。取0()()()gxfxf，则0()d0bagxx，0()()d0bafgxx①。由已知可得，0()()d0bafxgxx②。②－①得0()()()d0bafxfgxx，即20()d0bagxx，解得0()0gx，进一步得()()fxf，结论得证。11．【参考答案】此二次型的对应矩阵为51315333cA，因为r（A）＝2，故A＝51315333c＝－15351333c＝－153024120129c＝2412129c＝24c－72＝0，解得c＝3，验证符合题意。由EA＝513153=(4)(9)333，可得A的特征值为λ1＝0，λ2＝4，λ3＝9。12．【参考答案】数学思想的形成需要在过程中实现，只有经历问题解决的过程，才能体会到数学思想的作用，才能理解数学思想的精髓，才能进行知识的有效迁移。凸显知识的形成过程，让学生感悟数学思想和方法，关键是应让学生经历和体验一些数学知识的获取过程，让学生“读——理解”“疑——提问”“做——解决问题”“说——表达交流”，并在其中获得对数学思想方法的感悟。无论是数学概念的概括与形成，还是公式、法则、定理的发现与推导，教师都应通过创设情境，激发学生探索问题的需要，通过观察、实验、分析、综合、归纳、概括等过程，获得对问题的认识、理解和解决的同时，也获得对数学思想方法的认识与感悟，教学的设计要以学生数学思想的形成为目标。13．【参考答案】（1）对学生基础知识和基本技能达成情况的评价，必须准确把握课程内容中的要求。学生在学习“二元一次方程组”这一章的时候应该掌握二元一次方程组的概念，消元法解方程组、二元一次方程组与实际问题、多元一次方程组的概念。在设计题型的时候，考查的知识点应包括以上知识点，达到全面性，以便宏观了解学生对本章知识的掌握程度。2019年上半年中小学教师资格考试——数学学科知识与教学能力（初级中学）——密训卷（一）8/9（2）在设计试题时，应关注并体现学生对运算能力、方程思想的理解及应用意识的考查。练习题型多样化，可以设置选择、填空、判断、解答等多种形式；试题的难度要有梯度，照顾到不同学习层次的学生，以便了解全体学生对本章知识掌握的程度，指导今后的教学工作。（3）题目设置意在检测学生掌握本章知识情况的基础上，应有对重难点、易错点的考查。比如“代入消元法”“加减消元法”。三、解答题14．【参考答案】（1）任取1,Vxy，则(,)0xα，(,)0yα。因为(,)(,)(,)=0xyαxαyα，所以有1Vxy，即加法封闭；设kP，有(,)(,)0kkxαxα，所以1kVx，即数乘也封闭，所以V1是V的子空间。（2）设121(,,,)nxxxVx，12(,,,)nα≠0，2112(,)0nnxxxxα，因为α≠0，所以r()=1α，进而可知，齐次线性方程21120nnxxx含有n－1个线性无关的解向量。这n－1个线性无关解向量是V1的一组基，所以V1的维数等于n－1。四、论述题15．【参考答案】教学从本质上讲就是“预设”与“生成”的矛盾统一体。“预设”是预测与设计，是教师在课前对教学进行有目的、有计划的设想和安排。“生成”是产生和构想，是师生在与教学情境的交互作用以及师生对话互动中超出师生预