人教版高一数学必修5第二章数列总结

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教B版·必修5成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修5第二章数列第二章数列成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修5第二章数列章末归纳总结第二章第二章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修5知识结构学后反思专题研究第二章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修5知识结构第二章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修5第二章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修5知识要点第二章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修51．数列的基本概念(1)定义：按照一定的次序排列的一列数叫做数列．(2)通项公式：如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个公式表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式．(3)递推公式：如果已知数列{an}的第一项(或前几项)，且任何一项an与它前一项an－1(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．通项公式与递推公式，是给出一个数列的两种主要方法．第二章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修52．主要公式(1)通项公式an与前n项和公式Sn间的关系：an＝S1n＝1Sn－Sn－1n≥2.(2)等差数列an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d.Sn＝12n(a1＋an)，Sn＝na1＋12n(n－1)d.A＝a＋b2(等差中项)．第二章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修5(3)等比数列an＝a1qn－1，an＝am·qn－m.Sn＝na1q＝1a1－anq1－q＝a11－qn1－qq≠1.G＝±ab(等比中项)．第二章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修53．主要性质(1)若m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)，在等差数列{an}中有：am＋an＝ap＋aq；在等比数列{an}中有：am·an＝ap·aq.(2)等差(比)数列依次k项之和仍然成等差(比)．第二章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修5学后反思第二章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修51．学习要求(1)理解数列的概念，能用函数的观点认识数列，了解数列的通项公式和递推公式的意义，会根据数列的通项公式写出数列的任意一项，会根据数列的递推公式写出数列的前几项．(2)理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式和前n项和的公式，并能运用公式解决一些简单的问题．(3)理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式和前n项和的公式，并能运用公式解决一些简单问题．第二章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修52．需要注意的问题(1)注意数列与函数的联系，通过相应的函数及其图象的特征直观地去认识数列的性质．(2)等差数列与等比数列在内容上是完全平行的，应将它们对比起来学习，以进一步认识它们之间的区别与联系．第二章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修5专题研究第二章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修5专题一数列的通项公式的求法数列的通项公式是给出数列的主要方式，其本质就是函数的解析式．根据数列的通项公式，不仅可以判断数列的类型，研究数列的项的变化趋势与规律，而且有利于求数列的前n项和．求数列的通项公式是数列的核心问题之一．现根据数列的结构特征把常见求通项公式的方法总结如下：第二章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修51．观察法根据下面数列的前几项，写出数列的一个通项公式．(1)1,1，57，715，931，…；(2)3,0，－3,0,3，….第二章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修5[解析](1)数列1,1，57，715，931，…；即11，33，57，715，931，…，由于分子是等差数列{2n－1}的各项，分母是数列{2n－1}的各项，∴an＝2n－12n－1(n∈N*)．第二章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修5(2)所求数列的通项可转化为数列1,0，－1,0,1，…的通项，这恰好是“五点法”作三角函数的图象的值，从而an＝3sinnπ2(n∈N*)．第二章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修52．定义法等差数列{an}是递增数列，前n项和为Sn，且a1，a3，a9成等比数列，S5＝a25.求数列{an}的通项公式．第二章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修5[解析]设数列{an}公差为d(d0)，∵a1，a3，a9成等比数列，∴a23＝a1a9，即(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，∴d2＝a1d.∵d≠0，∴a1＝d.①∵S5＝a25，∴5a1＋5×42d＝(a1＋4d)2.②由①②得a1＝35，d＝35.∴an＝35＋(n－1)35＝35n.第二章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修53．前n项和法(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋3n＋1，求通项an；(2)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n＋2，求通项an.第二章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修5[解析](1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋3n＋1－(n－1)2－3(n－1)－1＝2n＋2，又n＝1时，a1＝S1＝5不满足上式．∴an＝5n＝12n＋1n≥2.(2)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋2－2n－1－2＝2n－1，又n＝1时，a1＝S1＝4不满足上式，∴an＝4n＝12n－1n≥2.第二章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修54．累加法已知{an}中，a1＝1，且an＋1－an＝3n(n∈N*)，求通项an.[解析]∵an＋1－an＝3n(n∈N*)，∴a2－a1＝3，a3－a2＝32，a4－a3＝33，……an－an－1＝3n－1(n≥2)，第二章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修5以上各式相加得an－a1＝3＋32＋33＋…＋3n－1＝31－3n－11－3＝3n2－32，∴an＝a1＋3n2－32＝3n2－12(n≥2)．又a1＝1满足上式，∴an＝3n2－12(n∈N*)．第二章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修55．累乘法已知数列{an}，a1＝13，前n项和Sn与an的关系是Sn＝n(2n－1)an，求通项an.[解析]∵Sn＝n(2n－1)an，∴Sn－1＝(n－1)(2n－3)an－1(n≥2)，两式相减，得an＝n(2n－1)an－(n－1)(2n－3)an－1(n≥2)，即(2n＋1)an＝(2n－3)an－1，∴anan－1＝2n－32n＋1.第二章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修5∴a2a1＝15，a3a2＝37，a4a3＝59，……anan－1＝2n－32n＋1(n≥2)，以上各式相乘，得ana1＝32n＋12n－1，第二章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修5又∵a1＝13，∴an＝12n＋12n－1(n≥2)．a1＝13满足上式，∴an＝12n＋12n－1(n∈N*)．第二章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修56．辅助数列法已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈N*)．求数列{an}的通项公式．第二章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修5[解析]∵an＋1＝3an＋2(n∈N*)，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，∴an＋1＋1an＋1＝3(n∈N*)．∴数列{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，3为公比的等比数列．∴an＋1＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1－1(n∈N*)．第二章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修57．倒数法已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝anan＋1(n∈N*)．求通项an.第二章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修5[解析]∵an＋1＝anan＋1，∴1an＋1＝an＋1an＝1＋1an，∴1an＋1－1an＝1(n∈N*)，∴数列{1an}是以1a1＝1为首项，1为公差的等差数列，∴1an＝1＋(n－1)＝n.∴an＝1n.第二章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修5专题二数列的前n项和的求法1．分组转化求和法如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合而成，并且各独立项也可组成等差或等比数列，则该数列的前n项和可考虑拆项后利用公式求解．第二章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修5求和：Sn＝112＋214＋318＋…＋(n＋12n)．[解析]Sn＝112＋214＋318＋…(n＋12n)＝(1＋2＋3＋…＋n)＋(12＋14＋18＋…＋12n)＝nn＋12＋121－12n1－12＝nn＋12＋1－12n.第二章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修52．裂项求和法对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列，在求和时常用“裂项法”，分式的求和多利用此法．可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项，常见的拆项公式有：第二章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修5(1)1nn＋k＝1k·(1n－1n＋k)；(2)若{an}为等差数列，公差为d，则1an·an＋1＝1d(1an－1an＋1)；(3)1n＋1＋n＝n＋1－n等．第二章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修5已知数列{an}中，an＝1n＋1＋n，前n项和Sn＝9，求项数n的值．[解析]∵an＝1n＋1＋n＝n＋1－n，∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝2－1＋3－2＋…＋n＋1－n＝n＋1－1＝9，∴n＋1＝100，∴n＝99.第二章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修53．错位相减法若数列{an}为等差数列，数列{bn}是等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{anbn}，当求该数列的前n项的和时，常常采用将{anbn}的各项乘以等比数列{bn}的公比q，然后错位一项与{anbn}的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，所以这种数列求和的方法称为错位相减法．第二章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修5已知数列{an}中，a1＝3，点(an，an＋1)在直线y＝x＋2上．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝an·3n，求数列{bn}的前n项和Tn.第二章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修5[解析](1)∵点(an，an＋1)在直线y＝x＋2上，∴an＋1＝an＋2，即an＋1－an＝2.∴数列{an}是以3为首项，2为公差的等差数列，∴an＝3＋2(n－1)＝2n＋1.第二章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修5(2)∵bn＝an·3n，∴bn＝(2n＋1)·3n.∴Tn＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n－1)·3n－1＋(2n＋1)·3n，①∴3Tn＝3×32＋5×33＋…＋(2n－1)·3n＋(2n＋1)·3n＋1.②①－②得－2Tn＝3×3＋2(32＋33＋…＋3n)－(2n＋1)·3n＋1＝9＋2×91－3n－11－3－(2n＋1)·3n＋1＝－2n·3n＋1