第七章-非线性动力学及混沌-讲义

第七章非线性动力学与混沌Chapter7NonlinearDynamicsandChaos宋若龙[e-mail]吉林大学物理学院参考书刘秉正，《非线性动力学与混沌基础》，东北师范大学出版社，1994林振山，《非线性力学与大气科学》，南京大学出版社，1993刘式达，刘式适，《非线性动力学和复杂现象》，气象出版社，1989§7.1引言一.“非线性动力学”的表观含义cbxaxxfbaxxf2)()(数学上：线性非线性定义：力或微分方程含有坐标或速度的非线性项的系统，称为非线性动力学系统，反之称为线性动力学系统。例：222xkxmxkxxm二.决定性系统与不可预测性000,),,(tttmxxxxxxFx)(),(ttxx存在且唯一，可预测性1.力学决定论及其伟大成就1757年，哈雷慧星（Hallycomet）按预测回归。1846年，海王星在预言的位置被发现。今天，日月蚀的准确预测，宇宙探测器的成功发射与回收。设想一位智者在某一瞬间得知激励大自然所有力及组成它的物体的相互位置，如果这位智者又能对众多的数据进行分析，把宇宙间最庞大的物体和最轻微的原子的运动凝聚在一个公式中，没有什么事物是不确定的，将来就像过去一样清晰地展现在眼前。——拉普拉斯（Laplace，法国数学家，1749-1827）2.力学决定论不断受到挑战1883年，英国流体力学家雷诺(Reynolds)的湍流实验。（香烟）1903年，法国数学家昂利•庞伽莱（HenriPoincare）从动力系统和拓扑学的全局思想出发，指出动力学系统可能存在混沌特征。1963，美国气象学家洛仑兹（Lorenz）在研究天气预报中大气流动问题时发现了天气“对初始条件的极端敏感性”，将使长时间的预测无法进行。后被形象地称为“蝴蝶效应”：一只蝴蝶在巴西扇一下翅膀，就可能在美国得克萨斯州引起龙卷风。初值敏感性不可预测性，混沌洛仑兹方程3/8281010zxyzxzyxyyxx初值敏感演示杜芬（Duffing）方程：（带阻尼弹性系统的强迫振动）tFxkxxxmcos30,000001.10,120201010xxxx三.常微分方程的一般形式1.自治方程与非自治方程),,(),(tmmxxFxxxFx不显含时间，自治的显含时间，非自治的2.常微分方程一般形式（1）自治的),(xxfx121xxxxx),(21221xxfxxx2阶，1维1阶，2维（2）非自治的n维非自治n+1维自治1,iixtxDuffing方程tFxkxxxmcos3xxxx21,343,cosxxtx3244332311221xxxxxmFxmxmxmkxxxnixxxfxnii,,2,1),,,(21一阶常微分方程组数值计算系统的状态相空间优点：四.相空间（相图）的概念相空间，也就是状态空间，是由广义坐标和广义动量（速度）张成的空间，也称相宇。相空间中运动状态的变化轨迹称为相图。弹簧振子020xx通解10)cos(xtAx200)sin(xtAx1)(2022221AxAx1x2x相图120221xxxxxt时空轨迹阻尼弹簧振子0220xxx通解tAex21202212xxxxx02202代入方程202当阻尼为正阻尼且很小时00220,i)sin()]sin()cos([)cos(02221tAettAexxtAexxtttxt时空轨迹1x2x相图非线性动力学系统决定性系统与不可预测性（初值敏感性）一阶自治常微分方程组相空间小结§7.2运动稳定性分析一.非线性方程解的各种形式nixxxfxnii,,2,1),,,(211.定态解nixi,,2,101x2x平衡点，奇点2.发散解之一或几个随时间无限地偏离初值ix1x2x爆炸，散射3.振荡解既不趋于无穷大，也不终止于某一点，而是在一定区域内不断变化。周期振荡混沌1x2x1x2x相轨迹没有确定的形状周期、貌似随机的运动。闭合曲线非闭合曲线准周期振荡二.解的稳定性Lyapunov稳定性定义：)(xfx),,,(21nxxxx),,,(21nffff(1)设t=t0时方程的解为，t时为，另一受扰动而偏离它的解t0时为，t时为。如果对于任意小的数，总有一小数存在，使得当时，必有则称解是Lyapunov意义下稳定的，简称Lyapunov稳定的或稳定的。)(00tx)(0tx)(0tx)(tx00)()(000ttxxtttt00,)()(xx)(0tx212222211)()()(nnyxyxyxyx两矢量间的距离(2)如果解是稳定的，且则称此解是渐进稳定的。(3)不满足上述条件的解是不稳定的。)(0tx0)()(lim0tttxx例1.tx21)0(0xctttx2212)(解：1)0(0cx1212)(20tttx1)0()0(0cxx1)()(0ctxtx)(0tx是Lyapunov稳定的例2.xtx1)0(0x解：tcettx1)(tettx21)(01)0(0x2c2211)0()0(0ccxxtttececettxtx2211)()(002lim)()(lim0tttectxtx渐进稳定的三.线性稳定性分析1.线性稳定性定理nixxxfxnii,,2,1),,,(21设为方程的一个解(参考解)，为研究该解的稳定性，令为此解附件另一解，称扰动解。)(0txi)()()(0ttxtxiii),()(0220110jjiixxxftx)()()(),,,(00102010ttxxfxxxfiijnjjininjjjiixf10)(0i)()(0txtxii——非线性方程组在参考态附近的线性化方程组)(0txi若线性化方程的原点是渐进稳定的，则原非线性方程的参考态是渐进稳定的；若线性化方程的原点是不稳定的，则原非线性方程的参考态是不稳定的。0i)(0txi0i)(0txi——Lyapunov间接法2.线性化方程组的解及其稳定性0)(jiijxf22212122121111ttBeAe21,试探解：022211211BA02221121102T2211T21122211系数矩阵的迹系数行列式的值2422,1TT2121BBAA特征矩阵特征根tttteBceBceAceAc21212211222111(1)两特征根实部都是负的参考态也是渐进稳定的。0limit原点是渐进稳定的0i0ix(2)两特征根中至少有一个实部为正itlim原点是不稳定的0i参考态也是不稳定的。0ix(3)两特征根中至少有一个实部为零，另一个实部为负原点是Lyapunov稳定的0i参考态处于临界情况。0ixT渐进稳定不稳定不稳定不稳定临界情况2422,1TT3.奇点的分类（取非线性方程的奇点为参考态）04T02(1)2422,1TT两根都是实的，且符号相同，此时奇点称为结点。不稳定的结点0T稳定的结点0T(2)0,04T,02T两根都是复的，此时奇点称为焦点。0T不稳定的焦点0T稳定的焦点(3)0,0T2422,1TT两根都是纯虚数，解是等幅振荡，此时奇点称为中心。中心(4)0两根都是实数，一正一负，此时奇点称为鞍点。鞍点T不稳焦点稳定焦点中心稳定结点不稳结点鞍点042T例：分析阻尼单摆定态的稳定性解：0sin22021,xx令21202122221112sin),(,xxxxfxxxxfx0021xx求定态解212022sin00xxx)0,()0,0(两奇点)0,2()0,2(kk1.在奇点(0,0)处线性化方程组为2202110111xfxf21202022101222-xfxf212021210)(44,,2202220TTT不稳焦点稳定焦点中心稳定结点不稳结点鞍点042T)(44,2,0202220TT①2022,10042T奇点(0,0)为结点②00042T奇点(0,0)为焦点③002T奇点(0,0)为中心（过阻尼）（欠阻尼）（无阻尼）2.在奇点处线性化方程组为)0,(220211111xfxf2120202211222-xfxf2102022211211aaaa0,220T奇点为鞍点)0,(线性稳定性定理只适用于分析非线性方程奇点及其附近的解的性质，离奇点越远，线性化误差越大。§7.3极限环——渐进稳定的周期振荡一.定义相空间里孤立的闭曲线，称为极限环1x2x1x2x守恒的（与初始条件有关的）周期振荡不是极限环极限环例：VanderPol方程（电子管振荡）xxxx22101x012x阻尼力与速度同向，负阻尼，对系统供能，振幅逐渐增大，振幅终将大于1。1x012x阻尼力与速度反向，正阻尼，消耗能量，振幅逐渐减小。与初始条件无关演示VanDerPol此轨道极小邻域内不出现其它闭轨道二.极限环存在的判据庞伽莱-班狄克生判据(Poincare-Bendixsontheorem):有一解的相轨迹总是局限于相平面中不包含任何奇点的有限区域D内，则此轨迹或者是一极限环，或者趋于一极限环。),(),(21222111xxfxxxfx如果方程（二维自治系统）DNR=D-N三.极限环的稳定性定义:稳定环不稳环半稳环如果从包含极限环L的环形域（L的内侧和外侧）出发的任何轨线在时都渐近地趋于该极限环，则称极限环L是稳定的，否则称为不稳定的。如果从包含L的环域内L的某一侧出发的轨线在时都渐近地逼近L，而从另一侧出发的轨线都远离L，则称L是半稳定的。半稳定的极限环是不稳定极限环的一种。tt例：求非线性系统222212222122122222112221121122xxxxxxcxxxxxxxxxxcxx的极限环性解及其稳定性，c为参数。解：令sincos21rxrxcossinsincos21rrxrrxsinsin2sincosco