分段函数的几种常见题型及解法

函数的概念和性质考点分段函数分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内,有不同的对应法则的函数,它是一个函数,却又常常被学生误认为是几个函数;它的定义域是各段函数定义域的并集,其值域也是各段函数值域的并集.由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用,时常在高考试题中“闪亮”登场,本文就几种具体的题型做了一些思考,解析如下：1．求分段函数的定义域和值域例1．求函数1222[1,0];()(0,2);3[2,);xxfxxxx的定义域、值域.2．求分段函数的函数值例2．已知函数2|1|2,(||1)()1,(||1)1xxfxxx求12[()]ff.3．求分段函数的最值例3．求函数43(0)()3(01)5(1)xxfxxxxx的最大值.4．求分段函数的解析式例4．在同一平面直角坐标系中,函数()yfx和()ygx的图象关于直线yx对称,现将()ygx的图象沿x轴向左平移2个单位,再沿y轴向上平移1个单位,所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）,则函数()fx的表达式为（）222(10).()2(02)xxxAfxx222(10).()2(02)xxxBfxx222(12).()1(24)xxxCfxx226(12).()3(24)xxxDfxx-12131o-2yx5．作分段函数的图像例5．函数|ln||1|xyex的图像大致是（）A11oyxByx11OCyxO11DyxO116．求分段函数得反函数例6已知()yfx是定义在R上的奇函数,且当0x时,()31xfx,设()fx的反函数为()ygx,求()gx的表达式.7．判断分段函数的奇偶性例7．判断函数22(1)(0)()(1)(0)xxxfxxxx的奇偶性.8．判断分段函数的单调性例8．判断函数32(0)()(0)xxxfxxx的单调性.例9．写出函数()|12||2|fxxx的单调减区间.9．解分段函数的方程例10．设函数812(,1]()log(1,)xxfxxx,则满足方程1()4fx的x的值为10．解分段函数的不等式例11．设函数1221(0)()(0)xxfxxx,若0()1fx,则0x得取值范围是（）.(1,1)A.(1,)B.(,2)(0,)C.(,1)(1,)D例12．设函数2(1)(1)()41(1)xxfxxx,则使得()1fx的自变量x的取值范围为（）A．(,2][0,10]B.(,2][0,1]C.(,2][1,10]D.[2,0][1,10]反馈练习1．（2013新课标全国Ⅰ，5分）已知函数f(x)＝－x2＋2x，x≤0，lnx＋1，x＞0.若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是()A．(－∞，0]B.(－∞，1]C．[－2,1]D．[－2,0]2．（2013福建，4分）已知函数f(x)＝2x3，x0，－tanx，0≤xπ2，则ffπ4＝________.3．（2013北京，5分）函数f(x)＝log12x，x≥1，2x，x1的值域为________．4．（2012江西，5分）若函数f(x)＝x2＋1，x≤1，lgx，x1，则f(f(10))＝()A．lg101B．2C．1D．05．（2011北京，5分）根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝cx，xA，cA，x≥A(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是()A．75,25B．75,16C．60,25D．60,166．（2012江苏，5分）设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝ax＋1，－1≤x＜0，bx＋2x＋1，0≤x≤1，其中a，b∈R.若f(12)＝f(32)，则a＋3b的值为________．7．（2011江苏，5分）已知实数a≠0，函数f(x)＝2x＋a，x＜1，－x－2a，x≥1.若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．函数的概念和性质考点一分段函数分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内,有不同的对应法则的函数,它是一个函数,却又常常被学生误认为是几个函数;它的定义域是各段函数定义域的并集,其值域也是各段函数值域的并集.由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用,时常在高考试题中“闪亮”登场,本文就几种具体的题型做了一些思考,解析如下：1．求分段函数的定义域和值域例1．求函数1222[1,0];()(0,2);3[2,);xxfxxxx的定义域、值域.【解析】作图,利用“数形结合”易知()fx的定义域为[1,),值域为(1,3].2．求分段函数的函数值例2．已知函数2|1|2,(||1)()1,(||1)1xxfxxx求12[()]ff.【解析】因为311222()|1|2f,所以312223214[()]()1()13fff.11o322-1yx-13．求分段函数的最值例3．求函数43(0)()3(01)5(1)xxfxxxxx的最大值.【解析】当0x时,max()(0)3fxf,当01x时,max()(1)4fxf,当1x时,5154x,综上有max()4fx.4．求分段函数的解析式例4．在同一平面直角坐标系中,函数()yfx和()ygx的图象关于直线yx对称,现将()ygx的图象沿x轴向左平移2个单位,再沿y轴向上平移1个单位,所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）,则函数()fx的表达式为（）222(10).()2(02)xxxAfxx222(10).()2(02)xxxBfxx222(12).()1(24)xxxCfxx226(12).()3(24)xxxDfxx【解析】当[2,0]x时,121yx,将其图象沿x轴向右平移2个单位,再沿y轴向下平移1个单位,得解析式为1122(2)111yxx,所以()22([1,0])fxxx,当[0,1]x时,21yx,将其图象沿x轴向右平移2个单位,再沿y轴向下平移1个单位,得解析式2(2)1124yxx,所以12()2([0,2])fxxx,综上可得222(10)()2(02)xxxfxx,故选A.-12131o-2yx5．作分段函数的图像例5．函数|ln||1|xyex的图像大致是（）A11oyxByx11OCyxO11DyxO11解析：在定义范围讨论，当0x1时，11yxx；当x1时1y，故选D6．求分段函数得反函数例6已知()yfx是定义在R上的奇函数,且当0x时,()31xfx,设()fx的反函数为()ygx,求()gx的表达式.【解析】设0x,则0x,所以()31xfx,又因为()fx是定义在R上的奇函数,所以()()fxfx,且(0)0f,所以()13xfx,因此31(0)()0(0)13(0)xxxfxxx,从而可得33log(1)(0)()0(0)log(1)(0)xxgxxxx.7．判断分段函数的奇偶性例7．判断函数22(1)(0)()(1)(0)xxxfxxxx的奇偶性.【解析】当0x时,0x,22()()(1)(1)()fxxxxxfx,当0x时,(0)(0)0ff,当0x,0x,22()()(1)(1)()fxxxxxfx因此,对于任意xR都有()()fxfx,所以()fx为偶函数.8．判断分段函数的单调性例8．判断函数32(0)()(0)xxxfxxx的单调性.【解析】显然()fx连续.当0x时,'2()311fxx恒成立,所以()fx是单调递增函数,当0x时,'()20fxx恒成立,()fx也是单调递增函数,所以()fx在R上是单调递增函数;或画图易知()fx在R上是单调递增函数.例9．写出函数()|12||2|fxxx的单调减区间.【解析】121231()()3(2)31(2)xxfxxxxx,画图易知单调减区间为12(,].9．解分段函数的方程例10．（01年上海）设函数812(,1]()log(1,)xxfxxx,则满足方程1()4fx的x的值为【解析】若142x,则222x,得2(,1]x,所以2x（舍去）,若1814logx,则1481x,解得3(1,)x,所以3x即为所求.yx52o-125210．解分段函数的不等式例11．设函数1221(0)()(0)xxfxxx,若0()1fx,则0x得取值范围是（）.(1,1)A.(1,)B.(,2)(0,)C.(,1)(1,)D【解析1】首先画出()yfx和1y的大致图像,易知0()1fx时,所对应的0x的取值范围是(,1)(1,).【解析2】因为0()1fx,当00x时,0211x,解得01x,当00x时,1201x,解得01x,综上0x的取值范围是(,1)(1,).故选D.例12．设函数2(1)(1)()41(1)xxfxxx,则使得()1fx的自变量x的取值范围为（）A．(,2][0,10]B.(,2][0,1]C.(,2][1,10]D.[2,0][1,10]【解析】当1x时,2()1(1)120fxxxx或,所以21xx或0,当1x时,()14111310fxxxx,所以110x,综上所述,2x或010x,故选A项.【点评：】以上分段函数性质的考查中,不难得到一种解题的重要途径,若能画出其大致图像,xy1-11定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解,方程、不等式等可用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解,使问题得到大大简化,效果明显.反馈练习1．（2013新课标全国Ⅰ，5分）已知函数f(x)＝－x2＋2x，x≤0，lnx＋1，x＞0.若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是()A．(－∞，0]B.(－∞，1]C．[－2,1]D．[－2,0]解析：本题考查一次函数、二次函数、对数函数、分段函数及由不等式恒成立求参数的取值范围问题，意在考查考生的转化能力和利用数形结合思想解答问题的能力．当x≤0时，f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤0，所以|f(x)|≥ax化简为x2－2x≥ax，即x2≥(a＋2)x，因为x≤0，所以a＋2≥x恒成立，所以a≥－2；当x＞0时，f(x)＝ln(x＋1)＞0，所以|f(x)|≥ax化简为ln(x＋1)＞ax恒成立，由函数图象可知a≤0，综上，当－2≤a≤0时，不等式|f(x)|≥ax恒成立，选择D.答案：D2．（2013福建，4分）已知函数f(x)＝2x3，x0，－tanx，0≤xπ2，则ffπ4＝________.解析