最新人教版27.2.2相似三角形的性质

一、温故知新1.相似三角形的判定方法：通过定义（三边对应成比例，三角相等）相似三角形判定的预备定理三边成比例的两个三角形相似两边成比例且夹角相等的两个三角形相似两角分别相等的两个三角形相似斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似对应角相等，对应边成比例相似三角形还有哪些性质？2.相似三角形的性质：3.如图,P是AB上一点,补充下列条件:(1)∠ACP=∠B;(2)∠APC=∠ACB;其中一定能使△ACP∽△ABC的是()(A)(1)(2)(3)(4)(B)(1)(2)(3)(C)(3)(D)(1)(2)(4);3BCPCACAP.4ABACACAPABCPD二、学习新知三角形中，除了角度和边长外，还有哪些几何量？高、角平分线、中线的长度，周长、面积等高角平分线中线思考？ABCA'B'C'D'D探究1如图，△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？如图，分别作△ABC和△A'B'C'的对应高AD和A'D'．∴∠B＝∠B'kBAABDAAD''''则∠ADB=∠A'D'B'.∵△ABC∽△A'B'C'∴△ABD∽△A'B'D'相似三角形对应高的比等于相似比.如图，△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？探究1A'B'C'E'ABCE如图，分别作△ABC和△A'B'C'的对应中线AE和A'E'，kEAAE''猜想你能类比前面的方法证明吗？相似三角形对应中线的比等于相似比.如图，△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？探究1A'B'C'F'ABCF如图，分别作△ABC和△A'B'C'的对应角平分线AF和A'F'．kFAAF''猜想你能类比前面的方法证明吗？相似三角形对应角平分线的比等于相似比.A'B'C'ABC相似三角形的周长有什么关系？相似三角形对应线段的比等于相似比.相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比.知识要点kCCCBAABC'''△△猜想△△探究21、如图，△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，求它们周长的比.∵△ABC∽△A'B'C'相似三角形周长的比等于相似比.kACCACBBCBAAB'''''''','',''ACkCACBkBCBAkABkACCBBAAkCCkBBkAACCBBACABAABllCBAABC'''''''''''''''''''''A'B'C'ABC2、如图，△ABC∽△A1B1C1，相似比为k，它们面积的比与相似比有什么关系？思考？1111BCADkBCADA1B1C1ABC∵∴相似三角形面积的比等于相似比的平方.DD1S△ABCS△A1B1C1=12BCAD111112BCAD=k·k=k21111DAADCBBC如图，分别作△ABC和△A1B1C1的对应高AD和A1D1．通过前面的思考、探索、推理，我们得到相似三角形有如下性质；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、周长的比等于相似比。相似三角形面积的比等于相似比的平方。1.判断（1）一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个三角形的周长也扩大为原来的5倍；（）（2）一个四边形的各边长扩大为原来的9倍，这个四边形的面积也扩大为原来的9倍．（）练习（1）一个三角形各边扩大为原来5倍，相似比为1：5155原周长＝扩大倍周长扩大5倍周长＝5原周长三、应用新知解：一个三角形各边扩大为原来9倍，相似比为1：92199SS原四边形＝扩大倍四边形边长扩大9倍四边形＝81倍原四边形的的面积（2）一个四边形的各边长扩大为原来的9倍，这个四边形的面积也扩大为原来的9倍．例1.如图，在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，若△ABC的边BC上的高为6，面积为，求△DEF的边EF上的高和面积．解：在△ABC和△DEF中，∵AB＝2DE，AC＝2DF∴21ACDFABDE又∠D＝∠A∴△DEF∽△ABC，相似比为21ABCDEF512∵△ABC的边BC上的高为6，面积为512∴△DEF的边EF上的高为，面积为53512212）（3621例2：如图，△ABC~△A'B'C'，它们的周长分别是60厘米和72厘米，且AB=15厘米，B'C'=24厘米。求：BC、AC、A'B'、A'C'。C'B'A'CBA解：因为△ABC~△A'B'C‘所以ABBCA'B'B'C'6072又AB=15厘米B'C'=24厘米所以A'B'=18厘米BC=20厘米故AC=60–15–20=25（厘米）A'C'=72–18–24=30（厘米）1.已知ΔABC与ΔA’B’C’的相似比为2：3，则周长比为，对应边上中线之比，面积之比为。2.如果两个相似三角形的面积之比为1:9，则它们对应边的比为______，对应角平分线的比为______，周长的比为______。3.如果两个相似三角形的面积之比为2:7，较大三角形一边上的高为7，则较小三角形对应边上的高为______。1:31:31:3142:32:34:9随堂练习4、已知△ABC∽△A´B´C´，AD、A´D´分别是对应边BC、B´C´上的高，若BC＝8cm,B´C´＝6cm,AD＝4cm,则A´D´等于（）A16cmB12cmC3cmD6cm5、两个相似三角形对应高的比为3∶7，它们的对应角平分线的比为（）A7∶3B49∶9C9∶49D3∶7CD6.把一个三角形变成和它相似的三角形，（1）如果边长扩大为原来的5倍，那么面积扩大为原来的___倍。（2）如果面积扩大为原来的100倍，那么边长扩大为原来的________倍。7.两个相似三角形的一对对应边分别是35厘米和14厘米，（1）它们的周长差60厘米，这两个三角形的周长分别是——————。（2）它们的面积之和是58平方厘米，这两个三角形的面积分别是_____________。8.如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？NMQPEDCBA解：设正方形PQMN是符合要求的△ABC的高AD与PN相交于点E。设正方形PQMN的边长为x毫米。因为PN∥BC，所以△APN∽△ABC所以AEAD=PNBC因此，得x=48（毫米）。答：-------。80–x80=x1209.已知梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，若△AOD的面积为4cm2,△BOC的面积为9cm2,则梯形ABCD的面积为_________cm2ABCDO解:∴△AOD∽△COBS△AOD:S△COB=4:9∴OD:OB=2:3∴S△AOD:S△AOB=2:3∴S△AOB=6cm2∴梯形ＡＢＣＤ的面积为25cm2∵AD∥BC2510.如图，ABCD中，E为AD的中点，若SABCD=1，则图中阴影部分的面积为（）A、B、C、D、31516181BAEDCFB一、相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等,对应边成比例.②相似三角形对应中线的比,对应角平分线的比，对应高的比,对应周长的比都等于相似比.③相似三角形面积的比等于相似比的平方.二.相似三角形的判定方法定理1两角对应相等的两个三角形相似.推论1平行于三角形一边直线截其它两边(或其延长线),所截得的三角形与原三角形相似;定理2三边对应成比例的两个三角形相似.定理3两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似;定理4斜边直角边对应成比例的两个直角三角形相似.