《步步高-学案导学设计》2013-2014学年-高中数学人教B版选修2-3精要课件-离散型随机变量的

本课时栏目开关填一填研一研练一练2.3.1（一）2.3.1离散型随机变量的数学期望(一)【学习要求】1．通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值．2．理解离散型随机变量均值的性质．3．掌握二点分布、二项分布及超几何分布的均值．4．会利用离散型随机变量的均值，反映离散型随机变量取值水平，解决一些相关的实际问题．【学法指导】离散型随机变量的均值是离散型随机变量取值的平均水平，可以利用离散型随机变量的分布列求得均值．利用随机变量的均值可以帮助我们对实际问题做出决策.本课时栏目开关填一填研一研练一练2.3.1（一）填一填·知识要点、记下疑难点1．离散型随机变量的均值或数学期望若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则称E(X)＝为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的．x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn平均水平本课时栏目开关填一填研一研练一练2.3.1（一）填一填·知识要点、记下疑难点2．三种常见的分布的数学期望(1)如果随机变量X服从二点分布，那么E(X)＝(p为成功概率)．(2)如果随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝.(3)若离散型随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X)＝.pnpnMN本课时栏目开关填一填研一研练一练2.3.1（一）研一研·问题探究、课堂更高效探究点一离散型随机变量的均值公式及性质问题1某商场要将单价分别为18元/kg、24元/kg、36元/kg的3种糖果按3∶2∶1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？答由于平均在每1kg的混合糖果中，3种糖果的质量分别是12kg、13kg和16kg，所以混合糖果的合理价格应该是18×12＋24×13＋36×16＝23(元/kg)．这里的23元/kg就是混合糖果价格的均值．本课时栏目开关填一填研一研练一练2.3.1（一）研一研·问题探究、课堂更高效问题2离散型随机变量的均值有什么作用？答若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量X取值的平均水平．本课时栏目开关填一填研一研练一练2.3.1（一）研一研·问题探究、课堂更高效问题3若一组数据xi(i＝1,2，…，n)的平均数为x，那么另一组数据axi＋b(a、b是常数且i＝1,2，…，n)的平均数为ax＋b.那么离散型随机变量Y＝aX＋b是否也具有类似性质？如何证明？答若Y＝aX＋b，则E(Y)＝aE(X)＋b.证明如下：X、Y的分布列为Xx1x2…xi…xnYax1＋bax2＋b…axi＋b…axn＋bPp1p2…pi…pn于是E(Y)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＋(axn＋b)pn＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn)＝aE(X)＋b.本课时栏目开关填一填研一研练一练2.3.1（一）研一研·问题探究、课堂更高效例1已知随机变量X的分布列如下：X－2－1012P141315m120(1)求m的值；(2)求E(X)；(3)若Y＝2X－3，求E(Y)．解(1)由随机变量分布列的性质，得14＋13＋15＋m＋120＝1，解得m＝16.(2)E(X)＝(－2)×14＋(－1)×13＋0×15＋1×16＋2×120＝－1730.本课时栏目开关填一填研一研练一练2.3.1（一）研一研·问题探究、课堂更高效(3)方法一由公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b，得E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3＝2×－1730－3＝－6215.方法二由于Y＝2X－3，所以Y的分布列如下：Y－7－5－3－11P14131516120所以E(Y)＝(－7)×14＋(－5)×13＋(－3)×15＋(－1)×16＋1×120＝－6215.小结对于aX＋b型的随机变量，可利用均值的性质求解，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b；也可以先列出aX＋b的分布列，再用均值公式求解，比较两种方式显然前者较方便．本课时栏目开关填一填研一研练一练2.3.1（一）研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练1已知随机变量X的分布列为X123P121316且Y＝aX＋3，若E(Y)＝－2，求a的值．解E(X)＝1×12＋2×13＋3×16＝53，∴E(Y)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝53a＋3＝－2，∴a＝－3.本课时栏目开关填一填研一研练一练2.3.1（一）研一研·问题探究、课堂更高效探究点二超几何分布的均值例2在10件产品中，有3件一等品、4件二等品、3件三等品．从这10件产品中任取3件，求取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望．解方法一从10件产品中任取3件共有C310种结果，其中恰有k件一等品的结果数为Ck3C3－k7，其中k＝0,1,2,3.∴P(X＝k)＝Ck3C3－k7C310，k＝0,1,2,3.所以随机变量X的分布列是X0123P72421407401120∴E(X)＝0×724＋1×2140＋2×740＋3×1120＝910.本课时栏目开关填一填研一研练一练2.3.1（一）研一研·问题探究、课堂更高效方法二取出的一等品件数X服从参数N＝10，M＝3，n＝3的超几何分布，则E(X)＝nMN＝3×310＝910.小结随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，只要找清随机变量及相应的概率即可计算．本课时栏目开关填一填研一研练一练2.3.1（一）研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练2在本例中，求取出的3件产品中二等品件数ξ的均值．解方法一P(ξ＝0)＝C36C310＝16，P(ξ＝1)＝C14C26C310＝12，P(ξ＝2)＝C24C16C310＝310，P(ξ＝3)＝C34C310＝130，∴E(ξ)＝1×12＋2×310＋3×130＝65.方法二ξ服从参数N＝10，M＝4，n＝3的超几何分布，则E(ξ)＝nMN＝3×410＝65.本课时栏目开关填一填研一研练一练2.3.1（一）研一研·问题探究、课堂更高效探究点三二项分布的均值问题1若随机变量X～B(n，p)，怎样证明E(X)＝np?答∵E(X)＝∑nk＝0kCknpk(1－p)n－k，kCkn＝nCk－1n－1，∴E(X)＝∑nk＝1npCk－1n－1pk－1(1－p)n－1－(k－1)＝∑n－1k＝0npCkn－1pk(1－p)n－1－k＝np.问题2若随机变量X服从二点分布，怎样计算E(X)?答二点分布是二项分布中n＝1的情况，E(X)＝p.本课时栏目开关填一填研一研练一练2.3.1（一）研一研·问题探究、课堂更高效例3某运动员投篮命中率为p＝0.6.(1)求投篮1次时命中次数ξ的期望；(2)求重复5次投篮时，命中次数η的期望．解(1)投篮1次，命中次数ξ的分布列如下表：ξ01P0.40.6则E(ξ)＝p＝0.6.(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数η服从二项分布，即η～B(5,0.6)．则E(η)＝np＝5×0.6＝3.本课时栏目开关填一填研一研练一练2.3.1（一）研一研·问题探究、课堂更高效小结(1)如果随机变量X服从二点分布，则其期望值E(X)＝p(p为成功概率)．(2)如果随机变量X服从二项分布即X～B(n，p)，则E(X)＝np.以上两特例可以作为常用结论，直接代入求解，从而避免了繁杂的计算过程．本课时栏目开关填一填研一研练一练2.3.1（一）研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练3甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23.记甲击中目标的次数为ξ，乙击中目标的次数为η.(1)求ξ的分布列；(2)求ξ和η的数学期望．解(1)P(ξ＝0)＝C03123＝18，P(ξ＝1)＝C13123＝38，P(ξ＝2)＝C23123＝38，P(ξ＝3)＝C33123＝18.本课时栏目开关填一填研一研练一练2.3.1（一）研一研·问题探究、课堂更高效ξ的分布列为ξ0123P18383818(2)由题意可得ξ～B3，12，η～B3，23.∴E(ξ)＝3×12＝32＝1.5，E(η)＝3×23＝2.本课时栏目开关填一填研一研练一练2.3.1（一）练一练·当堂检测、目标达成落实处1．随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数ξ的期望为()A．0.6B．1C．3.5D．2解析抛掷骰子所得点数ξ的分布列为ξ123456P161616161616所以，E(ξ)＝1×16＋2×16＋3×16＋4×16＋5×16＋6×16＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×16＝3.5.C本课时栏目开关填一填研一研练一练2.3.1（一）练一练·当堂检测、目标达成落实处2．若随机变量ξ～B(n,0.6)，且E(ξ)＝3，则P(ξ＝1)的值是()A．2×0.44B．2×0.45C．3×0.44D．3×0.64解析∵ξ～B(n,0.6)，E(ξ)＝3，∴0.6n＝3，即n＝5.故P(ξ＝1)＝C15×0.6×(1－0.6)4＝3×0.44.C本课时栏目开关填一填研一研练一练2.3.1（一）练一练·当堂检测、目标达成落实处3．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝Ck300·13k·23300－k(k＝0,1,2，…，300)，则E(X)＝________.解析由P(X＝k)＝Ck300·13k·23300－k，可知X～B300，13，∴E(X)＝300×13＝100.100本课时栏目开关填一填研一研练一练2.3.1（一）练一练·当堂检测、目标达成落实处4．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球．ξ表示所取球的标号．(1)求ξ的分布列，均值；(2)若η＝aξ＋4，E(η)＝1，求a的值．解(1)ξ的分布列为ξ01234P1212011032015ξ的均值：E(ξ)＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝32.(2)E(η)＝aE(ξ)＋4＝1，又E(ξ)＝32，则a×32＋4＝1，∴a＝－2.本课时栏目开关填一填研一研练一练2.3.1（一）练一练·当堂检测、目标达成落实处1．求离散型随机变量均值的步骤：(1)确定离散型随机变量X的取值；(2)写出分布列，并检查分布列的正确与否；(3)根据公式写出均值．2．若X、Y是两个随机变量，且Y＝aX＋b，则E(Y)＝aE(X)＋b；如果一个随机变量服从二点分布或二项分布，可直接利用公式计算均值.本课时栏目开关填一填研一研练一练