2014年高考天津文科数学试题及答案

第1页共7页2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2本卷共8小题，每小题5分，共40分。参考公式：•如果事件A，B互斥，那么•圆锥的体积公式13VSh.()()()PABPAPB其中S表示圆锥的底面面积，•圆柱的体积公式VSh.h表示圆锥的高.其中S表示棱柱的底面面积，h表示棱柱的高.一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.i是虚数单位，复数ii437（）A.i1B.i1C.i25312517D.i7257172.设变量yx,满足约束条件.1,02,02yyxyx则目标函数yxz2的最小值为（）A.2B.3C.4D.53.已知命题为则总有pexxpx,1)1(,0:（）A.00x，使得1)1(00xexB.00x，使得1)1(00xexC.0x，总有1)1(xexD.0x，总有1)1(xex4.设,,log,log2212cba则（）A.cbaB.cabC.bcaD.abc5.设na是首项为1a，公差为1的等差数列，nS为其前n项和，若，，，421SSS成等比数列，则1a=（）A.2B.－2C.21D.216.已知双曲线)0,0(12222babyax的一条渐近线平行于直线,102:xyl双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A.120522yxB.152022yxC.1100325322yxD.1253100322yx7.如图，ABC是圆的内接三角行，BAC的平分线交圆于点D，交BC于E，过点B的圆的切线与AD第2页共7页否是输出Sn≤1？n=n1S=S+(2)n结束开始S=0,n=3的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分CBF；②FAFDFB2；③DEBECEAE；④BFABBDAF.则所有正确结论的序号是（）A.①②B.③④C.①②③D.①②④8.已知函数()3sincos(0),.fxxxxR在曲线()yfx与直线1y的交点中，若相邻交点距离的最小值为3，则()fx的最小正周期为（）A.2B.23C.D.2二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6，则应从一年级本科生中抽取_________名学生.10.一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为3m.11.阅读右边的框图，运行相应的程序，输出S的值为________.12.函数3lgfxx的单调递减区间是________.13.已知菱形ABCD的边长为2，120BAD，点E，F分别在边BC、DC上，3BCBE，DCDF.若1AFAE，则的值为________.14.已知函数0,220,452xxxxxxf若函数xaxfy)(恰有4个零点，则实数a的取值范围为_______三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15.（本小题满分13分）某校夏令营有3名男同学CBA,,和3名女同学ZYX,,，其年级情况如下表：一年级二年级三年级男同学ABC女同学XYZ现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）(1)用表中字母列举出所有可能的结果(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率.16.（本小题满分13分）244242俯视图侧视图正视图第3页共7页PFEDCBA在ABC中，内角CBA,,所对的边分别为cba,,，已知bca66，CBsin6sin(1)求Acos的值；(2)求)62cos(A的值.17.（本小题满分13分）如图，四棱锥ABCDP的底面ABCD是平行四边形，2BDBA，AD=2，5PDPA,E，F分别是棱AD，PC的中点.(1)证明://EF平面PAB；(2)若二面角P-AD-B为60，①证明：平面PBC⊥平面ABCD②求直线EF与平面PBC所成角的正弦值.18.（本小题满分13分）设椭圆22221xyab（0ab）的左、右焦点为12,FF，右顶点为A，上顶点为B.已知1232ABFF=.（1）求椭圆的离心率；（2）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点1F，经过点2F的直线l与该圆相切于点M，222MF=，求椭圆的方程.19.（本小题满分14分）已知函数232()(0),3fxxaxaxR(1)求()fx的单调区间和极值；(2)若对于任意的1(2,)x，都存在2(1,)x，使得12()()1fxfx，求a的取值范围20（本小题满分14分）已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合12,1,0qM，集合niMxqxqxxxxAinn,2,1,,121，第4页共7页xy2O-221(1)当3,2nq时，用列举法表示集合A；(2)设,,,,121121nnnnqbqbbtqaqaasAts其中,,2,1,,niMbaii证明：若,nnba则ts.2014年天津高考数学（文科）试卷参考答案一、选择题ABBCDADC1.解：()()()()73472525134343425iiiiiiii+-+-===-++-，选A.2.解：作出可行域，如图，结合图象可知，当目标函数通过点()1,1时，z取得最小值3，选B.3.解：依题意知p为：00x，使得1)1(00xex，选B.4.解：因为1a，0b，01c，所以acb，选C.5.解：依题意得2214SSS=，所以()()21112146aaa-=-，解得112a=-，选D.6.解：依题意得22252baccab，所以25a=，220b=，选A.第5页共7页7.解：由弦切角定理得EACBAEFBD，又AFBBFD，所以BFD∽AFB，所以BFBDAFAB=，即BFABBDAF，故④正确，排除A、C.又DBCEACFBD，故①正确，排除B，选D.8.解：因为)6sin(2)(xxf，所以()1fx=得21)6sin(x，所以626kx或6526kx，Zk.因为相邻交点距离的最小值为3，所以332，2w=，T，选C.二、填空题9.6010.32011.－412.)0,(13.214.)2,1(9.解:应从一年级抽取6065544300名.10.解:该几何体的体积为32041223122V3m.11.解：3n=时，8S=-；2n=时，4S=-，所以输出的S的值为-4.12.解：由复合函数的单调性知，)(xf的单调递减区间是)0,(.13.解：因为120BAD，菱形的边长为2，所以2ADAB.因为1)1()31(ABADADABAFAE，所以1323442，解得2.[解2]建立如图所示的坐标系，则A(－1，0)，B(0，－3)，C(1，0)，D(0，3)．设E(x1，y1)，F(x2，y2)，由BC→＝3BE→，得(1，3)＝3(x1，y1＋3)，可得E13，－233；由DC→＝λDF→，得(1，－3)＝λ(x2，y2－3)，可得F1λ，3－3λ.∵AE·AF＝43，－233·1λ＋1，3－3λ＝103λ－23＝1，∴λ＝2.14.解:在同一坐标系内分别作出y＝f(x)与y＝a|x|的图像，如图所示，当y＝a|x|与y＝f(x)的图像相切时，联立－ax＝－x2－5x－4，a0，整理得x2＋(5－a)x＋4＝0，则Δ＝(5－a)2－414＝0，解得a＝1或a＝9(舍去)，∴当y＝a|x|与y＝f(x)的图像有四个交点时，有1a2.三、解答题15．解：(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，第6页共7页Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15种．(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共6种．因此，事件M发生的概率P(M)＝615＝25.16．解：(1)在△ABC中，由bsinB＝csinC，及sinB＝6sinC，可得b＝6c.又由a－c＝66b，有a＝2c.所以cosA＝b2＋c2－a22bc＝6c2＋c2－4c226c2＝64.(2)在△ABC中，由cosA＝64，可得sinA＝104.于是cos2A＝2cos2A－1＝－14，sin2A＝2sinA·cosA＝154.所以cos2A－π6＝cos2A·cosπ6＋sin2A·sinπ6＝15－38.17．解：(1)证明：如图所示，取PB中点M，连接MF，AM.因为F为PC中点，所以MF∥BC，且MF＝12BC.由已知有BC∥AD，BC＝AD，又由于E为AD中点，因而MF∥AE且MF＝AE，故四边形AMFE为平行四边形，所以EF∥AM.又AM⊂平面PAB，而EF⊄平面PAB，所以EF∥平面PAB.(2)(i)证明：连接PE，BE.因为PA＝PD，BA＝BD，而E为AD中点，所以PE⊥AD，BE⊥AD，所以∠PEB为二面角P­AD­B的平面角．在△PAD中，由PA＝PD＝5，AD＝2，可解得PE＝2.在△ABD中，由BA＝BD＝2，AD＝2，可解得BE＝1.在△PEB中，PE＝2，BE＝1，∠PEB＝60˚，由余弦定理，可解得PB＝3，从而∠PBE＝90˚，即BE⊥PB.又BC∥AD，BE⊥AD，从而BE⊥BC，因此BE⊥平面PBC.又BE⊂平面ABCD，所以平面PBC⊥平面ABCD.(ii)连接BF，由(i)知，BE⊥平面PBC，所以∠EFB为直线EF与平面PBC所成的角．由PB＝3及已知，得∠ABP为直角，而MB＝12PB＝32，可得AM＝112，故EF＝112.又BE＝1，故在直角三角形EBF中，sin∠EFB＝BEEF＝21111.所以直线EF与平面PBC所成角的正弦值为21111.18．解：(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c，0)．由|AB|＝32|F1F2|，可得a2＋b2＝3c2.又b2＝a2－c2，则c2a2＝12，所以椭圆的离心率e＝22.(2)由(1)知a2＝2c2，b2＝c2，故椭圆方程为x22c2＋y2c2＝1.设P(x0，y0)．由F1(－c，0)，B(0，c)，有F1P→＝(x0＋c，y0)，F1B→＝(c，c)．由已知，有F1P→·F1B→＝0，即(x0＋c)c＋y0c＝0.又c≠0，故有x0＋y0＋c＝0.①因为点P在椭圆上，所以x202c2＋y20c2＝1.②由①和②可得3x20＋4cx0＝0.而点P不是椭圆的顶点，故