曲线积分

第六章积分学定积分二重积分三重积分积分域区间域平面域空间域曲线积分曲线域曲面域曲线积分曲面积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分曲面积分曲线积分与曲面积分第一节一、对弧长的曲线积分的概念与性质二、对弧长的曲线积分的计算法机动目录上页下页返回结束对弧长的曲线积分第六章AB一、对弧长的曲线积分的概念与性质假设曲线形细长构件L在xoy平面所占弧段为AB,其线密度为(1)分小:在A,B之间依次插入n-1个分点nk1m,计算此构件的质量m。ks1kAkA(,)kk1.引例:曲线形构件的质量(2)取近似(3求和(4)取极限A=A0,A1,,Ak-1,Ak,,An=B把L分成n小段12max{,,,}nsss12,,,nsss,其弧长仍用此符号表示。设是平面中一条有限长的光滑曲线,义在上的一个有界函数,(,)kkkfs存在,上对弧长的曲线积分,(,)dfxys在上任意插入n-1个分点在sk上任取一点(k,k),k=1,2,…,n2.定义做和式则称此极限为函数在曲线或第一类曲线积分.记作称为被积函数，称为积分弧段.曲线形构件的质量(,)dmxysnk10limks1kAkA(,)kk若极限是定A=A0,A1,,Ak-1,Ak,,An=B把L分成n小段12,,,nsss1(,)nkkkkfs12max{,,,}nsss即(,)dfxys(,)kkkfsnk10lim分小、取点、作和、取极限如果L是空间中的曲线弧,01lim(,,)nkkkkkfs(,,)dLfxyzs如果L是闭曲线,则记为.d),(Lsyxf则定义对弧长的曲线积分为例求0dLsks1kAkA(,,)kkk(,,)d.LfxyzsdLs解：010dlim00nkLkss001dlimlimnkLLLkssss3.性质(,)(,)dfxygxys（k为常数)(,)dfxys(l为曲线弧的长度)(,)dfxys(,)dgxys12(,)d(,)dfxysfxys(5)对称性若关于y轴对称，1为y轴右边的部分，则12(,)d(,)(,)(,)d0(,)(,)fxysfxyfxyfxysfxyfxy若关于x轴对称，1为x轴上方的部分，则12(,)d(,)(,)(,)d0(,)(,)fxysfxyfxyfxysfxyfxy(1)线性(2)线性(3)可加性tttttfsdyxfLd)()()](,)([),(22二、对弧长的曲线积分的计算法定理:且上的连续函数,是定义在光滑曲线弧则曲线积分xxdxdxdysds22()()dsdxdy(,)dfxys(,)kkkfsnk10lim2201lim[(),()]()()nkkkkkkfttxtytt22[(),()]()()dfttttt注：0,0,kkst因此积分限必须满足!如果曲线L的方程为则有如果方程为极坐标形式:),()(:rrL则)sin)(,cos)((rrf推广:设空间曲线弧的参数方程为)()(,)(),(:ttztytx则szyxfd),,(ttttd)()()(222xxd)(12d)()(22rrbaxxf))(,())(),(,)((tttf计算方法:把曲线的方程和弧长元素ds代入被积表达式，从小参数值到大参数值积分例1.计算其中L是抛物线与点B(1,1)之间的一段弧.解:)10(:2xxyL10xxxxd4110210232)41(121x)155(121上点O(0,0)1Lxy2xyo)1,1(B1122201(14)d(14)8xx1.曲线形构件的质量三、对弧长的曲线积分的应用(,)dmxys(,,)dmxyzs2.曲线形构件的重心(,)d(,)dxxysxxys(,)d(,)dyxysyxys(,,)d(,,)dxxyzsxxyzs(,,)d(,,)dyxyzsyxyzs(,,)d(,,)dzxyzszxyzsABds(,)xy(,)xy形心ddxsxsddysysddzszs3.曲线形构件的转动惯量2(,)dxIyxys2(,)dyIxxys22()(,)doIxyxysABds(,)xy22()(,,)dxIyzxyzs22()(,,)dyIxzxyzs22()(,,)dzIxyxyzs222()(,,)doIxyzxyzsABds(,,)xyz例2.计算半径为R,中心角为的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量I(设线密度=1).解:建立坐标系如图,RxyoLsyILd2d)cos()sin(sin2222RRRdsin23R)cossin(3R则)(sincos:RyRxL30sin22R3202sindR301cos22d2R例3.计算其中L为双纽线)0()()(222222ayxayx解:在极坐标系下它在第一象限部分为)40(2cos:1arL利用对称性,得4022d)()(cos4rrr402dcos4ayox222222sin2sin2cos2cos2cos2cos2aaarrra404cos2cosdcos2aa例4.计算曲线积分其中为螺旋的一段弧.解:szyxd)(222ttkakad][2022222)43(3222222kaka线zyxoM例5.计算其中为球面被平面所截的圆周.解:222()dxyzs2das22aa3a注：由于被积函数定义在曲线上，化简，然后再计算所以可先用的方程把被积函数xyzO内容小结1.定义szyxfd),,(2.性质Lsyxfd),(szyxgzyxfd),,(),,()1(21d),,(d),,(d),,()2(szyxfszyxfszyxf),(21组成由lsd)3((l曲线弧的长度)),(为常数szyxgLd),,(3.计算•对光滑曲线弧Lsyxfd),(•对光滑曲线弧Lsyxfd),(baxxf))(,(Lsyxfd),()sin)(,cos)((rrf•对光滑曲线弧tttd)()(22xxd)(12d)()(22rr)](),([ttf作业：作业册P52－54第二节一、对坐标的曲线积分的概念与性质二、对坐标的曲线积分的计算法三、两类曲线积分之间的联系机动目录上页下页返回结束对坐标的曲线积分第六章一、对坐标的曲线积分的概念与性质1.引例:变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用在xoy平面内从点A沿光滑曲线弧L移动到点B,ABLxy求移cosABFW“分小”“取近似”“求和”“取极限”恒力沿直线所作的功解决办法:动过程中变力所作的功W.ABFABF)),(,),((),(yxQyxPyxF1kMkMABxy1)“分小”.2)“取近似”L把L分成n个有向小弧段,有向小弧段近似代替,则有kkkkyQxP),(),(kk所做的功为F沿kkkkMMFW1),(k),(kkFnkkWW1则用有向线段上任取一点在kykx3)“求和”4)“取极限”11(,)(,)nnkkkkkkkkWPxQy0011lim(,lim(,nnkkkkkkkkWPξη)ΔxQξη)Δy令为n个小弧段的最大长度2.定义.设L为xoy平面内从A到B的有向曲线弧,在L上沿从A到B的方向任意插入n-1存在,在有向曲线弧L上对坐标x的曲线积分,(,)dLPxyx01lim(,)nkkkiPx则称此极限为函数或第二类曲线积分.在L上有界把L分成n小段有向曲线1kAkAABxyL(,)kkkykx个分点，在上任上任取一点(,)kk令作和式1(,)nkkkiPx12max{,,,}nsss若极限记为即(,)dLPxyx01lim(,)nkkkiPxLyyxQd),(,),(lim10nkkkkyQ对坐标y的曲线积分.若记则对坐标的曲线积分可写作)d,(ddyxsd(,)d(,)dLLAsPxyxQxyy其中,L称为积分弧段或积分称为被积函数,积分曲线.同样可定义所求量往往为对坐标x,y的曲线积分的和.简记为(,)((,),(,))AxyPxyQxyabxy若L为x坐标轴上从A到B的线段，则(,)dLPxyx01lim(,0)nkkiPx()(,0)01lim()()nfxPxbkkaifxfxdxAB1kAkAABxyL(,)kkkykx1kxkx(,0)k(,,)dLQxyzy01lim(,,),nkkkkkQy若记(,,)((,,),(,,),(,,))AxyzPxyzQxyzRxyz)d,d,(ddzyxs所求量往往为对坐标x,y,z的曲线积分的和.简记为类似定义三元函数在空间有向曲线上对坐标的曲线积分(,,)dLPxyzx01lim(,,)nkkkkiPx则可表示为(,,)dLRxyzy01lim(,,),nkkkkkQzks1kAkA(,,)kkk(,,)kkkkAxyz1111(,,)kkkkAxyz3.性质(1)可加性12(,)d(,)dLLPxyxQxyy12(,)d(,)d(,)d(,)dLLPxyxQxyyPxyxQxyy(2)方向性LyyxQxyxPd),(d),(•定积分是第二类曲线积分的特例.注:•对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!1L2LLL用L－表示L的反向弧,则二、对坐标的曲线积分的计算法定理:在有向光滑弧L上有定义且L的参数方程为)()(tytx,:t则曲线积分)](),([ttP)(t)(ttd)](),([ttQ连续,存在,且有特别是,如果L的方程为,:),(baxxy则xxxQxxPbad)](,[)](,[)(xL((),())xy((),())xy对空间光滑曲线弧:类似有)(t)(t)(t)](,)(),([tttP,:)()()(ttztytx计算方法:把曲线的方程和弧长元素dx,dy或dz代入被积表达式，从起点参数值到终点参数值积分例1.计算,dLxyx其中L为沿抛物线xy2解法1取x为参数,则OBAOL:01:,:xxyAO10:,:xxyOBOBAOLxyxxyxxyxddd54d21023xxyyyyxyxLd)(d2112xyxy解法2取y为参数,则从点的一段.)1,1()1,1(BA到)1,1(B)1,1(Aoyx