第三讲晶面和晶向

§1.3晶向、晶面和它们的标志1.3.1晶向及晶向指数1.晶向通过晶格中任意两个格点连一条直线称为晶列，晶列的取向称为晶向，描写晶向的一组数称为晶向指数(或晶列指数)。过一格点可以有无数晶列。(3)晶列族中的每一晶列上，格点分布都是相同的；(4)在同一平面内，相邻晶列间的距离相等。(1)平行晶列组成晶列族，晶列族包含所有的格点；(2)晶列上格点分布是周期性的；晶列的特点2.晶向指数如果从晶列上一个格点沿晶向到任一格点的位矢为332211alalalR(1)用固体物理学原胞基矢表示如[121]表示1,2,1321lll321aaa,,为固体物理学原胞基矢如遇到负数，将该数的上面加一横线。其中为整数，将化为互质的整数，记为[]，[]即为该晶列的晶列指数。321,,lll321,,lll321,,lll321lll321lll(2)以布拉维原胞基矢表示如果从晶列上一个格点沿晶向到任一格点的位矢为为布拉维原胞基矢cbacpbnamR,,其中为有理数,将化为互质的整数m,n,p,记为[mnp]，[mnp]即为该晶列的晶列指数.pnm,,pnm,,abcOABCDE例1：如图在立方体中，D是BC的中点，求BE,AD的晶列指数。kcjbia,,,iOB,kjiOEkjOBOEBE解：晶列BE的晶列指数为：[011],kOA,jiOD21kjiOAODAD21AD的晶列指数为:abcOABCDE]221[求AD的晶列指数。注意:(1)晶列指数一定是一组互质的整数；(2)晶列指数用方括号表示[]；(3)遇到负数在该数上方加一横线。晶列(11-1)晶列[11-1]晶列(111)晶列[111](4)等效晶向。在立方体中有，沿立方边的晶列一共有6个不同的晶向，由于晶格的对称性，这6个晶向并没有什么区别，晶体在这些方向上的性质是完全相同的，统称这些方向为等效晶向，写成100。[100][001][010][100][010][001]1.3.2晶面及密勒指数在晶格中，通过任意三个不在同一直线上的格点作一平面，称为晶面，描写晶面方位的一组数称为晶面指数。1.晶面(1)平行的晶面组成晶面族，晶面族包含所有格点；(3)同一晶面族中的每一晶面上，格点分布(情况)相同；(4)同一晶面族中相邻晶面间距相等。(2)晶面上格点分布具有周期性；同一个格子，两组不同的晶面族2.晶面指数晶面方位晶面的法线方向(法线方向与三个坐标轴夹角)晶面在三个坐标轴上的截距(1)以固体物理学原胞基矢表示如图取一格点为顶点，原胞的三个基矢为坐标系的三个轴，设某一晶面与三个坐标轴分别交于A1,A2,A3,设晶面的法线ON交晶面A1A2A3于N，ON长度为d，d为该晶面族相邻晶面间的距离，为整数，该晶面法线方向的单位矢量用表示，则晶面A1A2A3的方程为：n321,,aaadnXA2A3O2a3a1aA1Ndndn,aatdn,aasdn,aar332211coscoscos取为天然长度单位，则得：321a,a,a332211atOA,asOA,arOA设dnXdnatdnasdnar321tsrnanana1:1:1,cos:,cos:,cos321晶面的法线方向与三个坐标轴(基矢)的夹角的余弦之比，等于晶面在三个轴上的截距的倒数之比。A2A3O2a3a1aA1Ndn可以证明：r,s,t必是一组有理数---阿羽依的有理数定理。tsrnanana1:1:1,cos:,cos:,cos321设的末端上的格点分别在离原点距离h1d、h2d、h3d的晶面上，这里h1、h2、h3为整数。321,,aaa(2)同一晶面族中的晶面平行且相邻晶面间距相等,故在原点与基矢的末端间一定只有整数个晶面。(1)所有格点都包容在一族晶面上；因此给定晶面族中必有一个晶面通过坐标系的原点；在基矢末端上的格点也一定落在该晶面族的晶面上；321,,aaadhnadhnadhna332211取为天然长度单位得：321a,a,adhnaadhnaadhnaa333222111,cos,cos,cos321321::,cos:,cos:,coshhhnananatsrnanana1:1:1,cos:,cos:,cos321又晶面的法线与三个基矢的夹角余弦之比等于三个整数之比。dnXA2A3O2a3a1aA1Ndntsrhhh1:1:1::321tsrhhh1:1:1::321可以证明h1，h2，h3一定是互质的，称它们为该晶面族的面指数，记为(h1h2h3)。任一晶面在坐标轴上的截距r，s，t必是一组有理数。因为h1、h2、h3为整数，所以r、s、t必为有理数。综上所述，晶面指数(h1h2h3)表示的意义是；(3)晶面的法线与基矢夹角的方向余弦的比值。(2)以为各轴的长度单位所求得的晶面在坐标轴上的截距倒数的互质比；321a,a,a(1)基矢被平行的晶面等间距的分割成h1、h2、h3等份；321,,aaa设末端上的格点分别落在离原点的距离的晶面上——最靠近原点的晶面在坐标轴上的截距——整数——晶面间距的倒数是晶面族中最靠近原点的晶面的截距——同族中其它晶面的截距是的整数倍晶面指数——标记这个晶面系以布拉维原胞基矢为坐标轴来表示的晶面指数称为密勒指数，用(hkl)表示。cba,,立方晶格的几种主要晶面标记例2：如图所示，I和H分别为BC，EF之中点，试求晶面AEG，ABCD，OEFG，DIHG的密勒指数。cbaAEGABCDDIHG111121h'k'l'在三个坐标轴上的截距abcOABCDEFGHIAEGABCDDIHG111121h'k'l'在三个坐标轴上的截距lkhlkh1:1:1::1:1:1(hkl)(111)11:1:1(001)1:11:21(120)AEG的密勒指数是(111)；OEFG的密勒指数是(001)；DIHG的密勒指数是(120)。abcOABCDEFGHIABCDcbaEFG例3:在立方晶系中画出(210)、晶面。)121(晶面在三个坐标轴上的截距分别为：abc211(210))121(1211密勒指数是(210)的晶面是ABCD面；(121)密勒指数是的晶面是EFG面；§1.4倒格子——晶格具有周期性，一些物理量具有周期性势能函数势能函数是以为周期的三维周期函数1.4.1倒格与傅里叶变换在任意两个原胞的相对应点上，晶体的物理性质相同。rRrl上式两边分别按傅里叶级数展开：rKihhhKre)(lhRrKihhlKRreπ2lhRKlR是正格矢。hK一定是倒格矢。§1.4倒格倒格正格（点位）矢：332211anananRn321,,bbb倒格基矢倒格（点位）矢：332211bhbhbhKn晶体结构=晶格+基元正格基矢正格一个晶体结构有两个格子，一个是正格，另一个为倒格。321,,aaa1.4.1倒格定义倒格基矢定义为：213132321π2π2π2aabaabaabΩΩΩ其中是正格基矢，321,,aaa332211bhbhbhKn),,(321为整数hhh与所联系的各点的列阵即为倒格。321aaaΩ是固体物理学原胞体积倒格基矢的方向和长度如何呢？1321π2π2dΩaab22π2db3b1b2b33π2db一个倒格基矢是和正格原胞中一组晶面相对应的，它的方向是该晶面的法线方向，它的大小则为该晶面族面间距倒数的2倍。213132321π2π2π2aaΩbaaΩbaaΩb1a2a3a1.ijjibaπ2)ji(π2ji0Ωaaaba32111π2π2Ωaaaba13121π201.4.2倒格与正格的关系332211alalalRl332211bhbhbhKh其中分别为正格点位矢和倒格点位矢。hlKR和2.π2hlKR(为整数)hlKR)(332211alalal)(332211bhbhbh)hlhlhl(332211π2π23.ΩΩ*3π2(其中和*分别为正、倒格原胞体积)321bbbΩ*2113323π2aaaaaaΩCBABCACBA2113aaaa1aΩ1323π2aΩaaΩ*ΩΩ23π21131213aaaaaaaa4.倒格矢与正格中晶面族(h1h2h3)正交，且其长度为。332211hbhbhbhK321π2hhhd(1)证明332211bhbhbhKh与晶面族(h1h2h3)正交。CBABCACBABCO2a3a1aAhK设ABC为晶面族(h1h2h3)中离原点最近的晶面，ABC在基矢上的截距分别为。321,,aaa332211,,hahaha由图可知：3311hahaOCOACA3322hahaOCOBCBCAKh2211332211)(hahabhbhbh0CBKh3322332211)(hahabhbhbh0所以332211bhbhbhKh与晶面族(h1h2h3)正交。321π2hhhd(2)证明的长度等于。332211hbhbhbhKdnX由平面方程：得：hhhhhKKhad11321hKbhbhbhha33221111hKπ2baΩcacΩbcbΩa2π2π2π在晶胞坐标系中，cba,,c)ba(ΩclbkahKlkh晶体结构正格倒格332211anananRn1.332211bhbhbhKn1.2.与晶体中原子位置相对应；2.与晶体中一族晶面相对应；3.是与真实空间相联系的傅里叶空间中点的周期性排列；3.是真实空间中点的周期性排列；4.线度量纲为[长度]4.线度量纲为[长度]-1已知晶体结构如何求其倒格呢？晶体结构正格332211bhbhbhKh正格基矢321,,aaa倒格基矢321,,bbb倒格213132321aaΩbaaΩbaaΩb2π2π2πijjibaπ2)ji(π2ji0aaaaiaa1jaa2jaaiaa21ijjibaπ2)ji(π2)(0ji例1：下图是一个二维晶体结构图，试画出其倒格点的排列。0π22111babaπ202212babajabiabπ2π221ijjibaπ2)ji(π2)(0jijaaiaa21aπ2aπ22211bhbhKh倒格是边长为的正方形格子。aπ2例2：证明体心立方的倒格是面心立方。解：体心立方的原胞基矢：kjiaakjiaakjiaa222321332121aaaaΩ22222232aaaaaakjiaa222222222222aaaakaaaajaaaaikaja2222213132321π2π2π2aaΩbaaΩbaaΩb321π2aaΩbkajaaa222232332121aaaaΩkjakjaaπ222π223jiabπ23kiabπ22倒格矢：jiabπ23kjab