数学建模实习一题二

关于平板车装货问题的建模一、摘要与关键字本题是个装货问题，即在有限的空间内装最多的货物，使空间浪费率最小，根据平板车装货问题的条件和要求。我们可一将原问题抽象化，简化为整形规划数学模型。我们需要考虑问题的细节，尽量简化问题后建立数学模型，然后利用lingo，matlab等软件来求解模型。关键字：装箱问题，整形规划，最优化。二、问题重述有七种规格的包装箱要装到两节铁路平板车上去。包装箱的宽和高是一样的，但厚度（t，以cm计）及重量（w，以kg计）是不同的。下表给出了每种包装箱的厚度、重量以及数量。每节平板车有10.2m长的地方克用来装包装箱，载重为40t。由于当地货运的限制，对于C5，C6，C7类包装箱的总数有一个特别的限制：这类箱子所占的空间（厚度）不能超过302.7cm。试把包装箱装到平板车上去使得浪费的空间最小。三、问题假设及设置变量1.假设包装箱之间的空隙不计；2.铁路平板车之间只能放置一列包装箱；3.引入变量xij,是第i辆车上第j种包装箱的数量；Cj是第j种包箱，tj是第j种包箱的厚度,wj第j中包厢的重量，sj第j种包箱的总数目,(i=1,2;j=1,2,3,4,5,6,7)四、模型的建立及求解由题意知：前四种包箱的厚度总数为：1737.3cm,后三种包箱的总站空间不能超过302.7cm,总占用空间为2040cm,因此最优解应是前四种包箱和后三种占用空间都达到最大值，前四种包箱装上车辆时总空间已达到最大值，我们对后面三种包箱求最大值，利用线性规划求解：Max=75iiitc*75iiitc*=302.7Ci=si(i=5,6,7)ci=0(i=5,6,7)求的最优解为z=302.1这时c5=3,c6=3,c7=0所以在最优解种第七种包箱的数量为0，由以上的分析可以建立数学模型：Max=2040-21i71jti*xij71jtjxj1=102071jtjxj2=102071jwjxj1=4000071jwjxj2=4000071jxij=sj(j=123……7)21i71jtjxij=302.7xij=0(i=1,2;j=1,2,……7)利用lingo计算的两辆平板车上七种包箱数目分布表如下表一:第一辆第二辆x11x12x13x14x15x16x17x21x22x23x24x25x26x27056402082323100690030810630007640008032330066401081323201443330735300015433207253010164331071530202443230635310025053306291000254322062531102643210615312027432006053130309132057050103191310560502032913005505030344313053532003505230529110035431205253210360522051911103643110515322037052105091120374310050532304053330474300040912204705110419121046051204153320464301042533104543020429120045051304353300444303007900208006310最优值Z=0.6五、模型的评价与改进该模型求解出的30组答案达到题目提出的要求，使总的浪费空间最小，均为0.6cm。我们认为铁路部门在考虑空间浪费最少的情况下，也要考虑载重量、占用空间相差尽可能小，将模型进一步改进。1．对载重量要求两辆平板车的载重量差别不应该太大，否则会引发一些安全问题，我们从表一得到的符合题目要求的最优解计算出两辆平板车之间的载重量差值如下表：（单位：吨）表二第一辆平板车载重量第二辆平板车载着量总载重量两平板车载重量差值1274067132333467132839671142938679537.529.5678638.528.56710739．527.56712835.531.5674939.527.567121037.529.56781138.528.567101231.535.56741332.534.56721433.533.3=56701533.533.56701637.527.56781737.527.56781834.532.56721938.528.567102035.531.56742139.527.567122236.530.56762332.534.56722429.537.56782530.536.56762633.533.56702734.532.56722831.535.56742935.533.5674303431671由表二可知，在要求载重量最小的情况下应采用14、15、26号方案，即：两辆平板车装载包装想ci(i=1.2……7)分别为319131056050203291300550503041533204643010此方案为最优方案。2．对浪费空间的要求考虑到平板之间占用空间也不应该相差太大，分别计算满足表一最优解时，两辆平板车的占用空间及他们之间的差值如下表：（单位：cm）表三第一辆平板车占用空间第二辆平板车占用空间两辆平板车剩余空间两辆平板车占用空间差值11019.81019.60.60.221019.71019.70.6031019.81019.60.60.241019.81019.60.60.2510201019.40.60.6610201019.40.60.6710201019.40.60.6810201019.40.60.691019.51019.90.60.41010201019.40.60.61110201019.40.60.61210201019.40.60.6131019.91019.50.60.4141019.91019.50.60.4151019.91019.50.60.41610201019.40.60.6171019.51019.90.60.41810201019.40.60.6191019.51019.90.60.42010201019.40.60.6211019.51019.90.60.42210201019.40.60.6231019.410200.60.6241019.91019.50.60.4251019.91019.50.60.4261019.410200.60.6271019.410200.60.6281019.91019.50.60.4291019.410200.60.6301019.71019.70.60从表三中可以得到方案2、30满足两辆平板车占用空间差值最小的要求，此时最优解为0690030810630007900208006310六、参考文献：【1】李火林等编，《数学模型及方法》，江西高等出版社，南昌，1997【2】洪毅等编，《经济数学模型》，华南理工大学出版社，广州，2002【3】吴江等编，《运筹学模型与方法教程》，清华大学出版社，北京，2000