2018年广东中考数学总复习：第2部分-专题突破-专题十二-圆的综合题

专题十二圆的综合题考情分析6年5考，2013～2017年均在第24题出现，且分值均为9分．重点考查切线的判定和性质，涉及圆周角定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、弧长的计算等．预计在2018年仍是重点考查内容．例如图1，以BC为直径的⊙O交△CFB的边CF于点A，BM平分∠ABC交AC于点M，AD⊥BC于点D，AD交BM于点N，ME⊥BC于点E，AB2＝AF·AC.图1(1)求证：△ABM≌△EBM；(2)求证：FB是⊙O的切线；(3)若cos∠ABD＝35，AD＝12.求四边形AMEN的面积S.方法总结切线的判定主要有两条途径：1.圆心到直线的距离等于半径；2.证明直线经过圆的半径的外端，并且垂直于这条半径．注意：1若圆心与切点无连线，需先作辅助线；2.解题过程中一般会涉及到全等三角形、相似三角形的判定与性质，常利用圆周角定理和切线的性质得到角的大小或角之间的等量关系，利用两弧相等得到线段或角度相等．训练1.如图2，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点M，BE⊥CD于点E.图2(1)求证：∠BME＝∠MAB；(2)求证：△BME∽△BAM；(3)若BE＝185，sin∠BAM＝35，求线段AM的长．2.如图3，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，D是⊙O上的一点，且AD∥CO.图3(1)求证：△ADB∽△OBC；(2)若∠OCB＝30°，AB＝2，求劣弧AD的长；(3)连接CD，试证明CD是⊙O的切线．3．如图4，已知等边三角形ABC，M是边BC延长线上一点，连接AM交△ABC的外接圆于点D，延长BD至N，使得BN＝AM，连接CN，MN，解答下列问题：图4(1)猜想△CMN的形状，并证明你的结论；(2)请你证明CN是⊙O的切线；(3)若等边三角形ABC的边长是2，求AD·AM的值．4.如图5，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，且对角线AC为直径，AD＝BC，过点D作DG⊥AC，垂足为E，DG分别与AB及CB延长线交于点F，M.图5(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)若点G为MF的中点，求证：BG是⊙O的切线；(3)若AD＝4，CM＝9，求四边形ABCD的面积．5．已知，⊙O经过矩形ABCD的四个顶点，过点B作BK⊥AC，垂足为K，过点D作DH∥KB，DH分别与AC，AB，⊙O及CB的延长线相交于点E，F，G，H.(1)如图6，求证：AE＝CK；(2)如图7，连接AH，GB，若F是EG的中点，求证：四边形BKEG为矩形；(3)在(2)的条件下，求出tan∠HAC的值．图6图76.如图8，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E是AB边上一点(点E不与点A，B重合)，DE的延长线交⊙O于点G，DF⊥DG，且交BC于点F.图8(1)求证：AE＝BF；(2)连接GB，EF，求证：GB∥EF；(3)若AE＝1，EB＝2，求DG的长．参考答案例(1)证明：∵AB是直径，∴∠BAC＝90°.∴MA⊥AB.∵ME⊥BE，BM平分∠ABC，∴AM＝ME.∵在Rt△BMA和Rt△BME中，BM＝BM，MA＝ME，∴△ABM≌△EBM.(2)证明：∵AB2＝AF·AC，∴ABAF＝ACAB.又∠BAF＝∠BAC＝90°，∴△BAF∽△CAB.∴∠C＝∠FBA.∴∠ABC＋∠FBA＝∠ABC＋∠C＝90°，即BC⊥BF.又BC为⊙O的直径，∴FB为⊙O的切线．(3)解：在Rt△ABD中，∵cos∠ABD＝35，AD＝12，∴sin∠ABD＝45，tan∠ABD＝43.∴BD＝ADtan∠ABD＝9，AB＝AD2＋BD2＝15，AC＝AB·tan∠ABD＝20，BE＝AB＝15，DE＝BE－BD＝6.由(1)知△MEC∽△ADC，设ME＝x，则MEAD＝MCAC，即x12＝20－x20，解得x＝152，即ME＝152.∵∠AMN＋∠ABM＝90°，∠BND＋∠DBN＝90°，又∠ABM＝∠DBN，∠ANM＝∠BND，∴∠ANM＝∠AMN.∴AN＝AM＝ME.∵AN∥EM，∴四边形AMEN是平行四边形．∴S＝ME·DE＝152×6＝45.训练1.(1)证明：如图1，连接OM，图1∵直线CD切⊙O于点M，∴∠OMD＝90°.∴∠BME＋∠OMB＝90°.∵AB为⊙O的直径，∴∠AMB＝90°.∴∠AMO＋∠OMB＝90°.∴∠BME＝∠AMO.∵OA＝OM，∴∠MAB＝∠AMO.∴∠BME＝∠MAB.(2)证明：由(1)得，∠BME＝∠MAB，∵BE⊥CD，∴∠BEM＝∠AMB＝90°.∴△BME∽△BAM.(3)解：由(1)得，∠BME＝∠MAB，∵sin∠BAM＝35，∴sin∠BME＝35.在Rt△BEM中，∵BE＝185，∴sin∠BME＝BEBM＝35.∴BM＝6.在Rt△ABM中，∵sin∠BAM＝35，∴sin∠BAM＝BMAB＝35，∴AB＝6×53＝10.根据勾股定理得，AM＝AB2－BM2＝8.2．(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC＝90°.∵AD∥CO，∴∠A＝∠BOC.∴△ADB∽△OBC.(2)解：如图2，连接OD，图2由(1)知，△ADB∽△OBC，∴∠ABD＝∠OCB＝30°.∴∠DAB＝60°.∵AO＝OD，∴△AOD是等边三角形，∠AOD＝60°.∵AB＝2，∴AO＝1.∴AD的长为60·π·1180＝π3.(3)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∵AD∥CO，∴∠DFO＝90°.∵∠ODB＝∠OBD，∴∠DOF＝∠BOF.∵OD＝OB，OC＝OC，在△ODC和△OBC中，OD＝OB，∠DOF＝∠BOF，OC＝OC，∴△ODC≌△OBC(SAS)．∴∠CDO＝∠CBO＝90°.∴OD⊥DC.∵OD是半径，∴CD是⊙O的切线．3．(1)解：△CMN是等边三角形；证明：∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AC＝AB，∠ACB＝60°.在△BCN与△ACM中，BC＝AC，∠CBN＝∠CAM，BN＝AM，∴△BCN≌△ACM.∴CN＝CM，∠BCN＝∠ACM.∴∠BCN－∠ACN＝∠ACM－∠ACN，即∠MCN＝∠ACB＝60°.∴△CMN是等边三角形．(2)证明：如图3，连接OA，OB，OC，图3在△BOC与△AOC中，OA＝OB，AC＝BC，OC＝OC，∴△BOC≌△AOC.∴∠ACO＝∠BCO＝12ACB＝30°.∵∠ACB＝∠MCN＝60°，∴∠ACN＝60°.∴∠OCN＝60°＋30°＝90°.∴OC⊥CN.∵OC是半径，∴CN是⊙O的切线．(3)解：∵∠ADB＝∠ACB＝60°，∴∠ADB＝∠ABC.∵∠BAD＝∠MAB，∴△ABD∽△AMB.∴ABAM＝ADAB.∴AD·AM＝AB2＝22＝4.4．(1)证明：∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝∠ABC＝90°.在Rt△ADC和Rt△CBA中，AC＝CA，AD＝CB，∴Rt△ADC≌Rt△CBA.∴∠CAD＝∠ACB.∴AD∥BC.又AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形．又∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形．(2)证明：如图4，连接OB，图4在Rt△MBF中，G是MF的中点，∴BG＝12MF＝FG.∴∠GBF＝∠GFB＝∠AFE.∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB.∵DG⊥AC，∴∠AFE＋∠OAB＝90°.∴∠GBF＋∠OBA＝90°，即OB⊥BG.∵OB是半径，∴BG是⊙O的切线．(3)解：由(1)得四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠DCM＝90°.又AC⊥DG，∴∠CDM＋∠ACD＝90°，∠CDM＋∠M＝90°.∴∠ACD＝∠M.又∠ADC＝∠DCM，∴△ACD∽△DMC.∴ADDC＝DCCM.∴DC2＝AD·CM＝36.∴DC＝6.∴S矩形ABCD＝AD·CD＝24.5．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC.∴∠DAE＝∠BCK.∵DH∥KB，∴∠HEK＝∠BKC＝∠AED＝90°.在△AED和△CKB中，∠AED＝∠CKB，∠DAE＝∠BCK，AD＝CB，∴△AED≌△CKB(AAS)．∴AE＝CK.(2)证明：∵∠BAD＝90°，∴∠BGD＝∠BAD＝90°.∵∠BKC＝90°，∴∠BKE＝90°.又DH∥KB，∴∠HEK＝∠BKE＝∠BGD＝90°.∴四边形BKEG为矩形．(3)解：在△AEF和△BGF中，∠AEF＝∠BGF＝90°，EF＝GF，∠AFE＝∠BFG，∴△AEF≌△BGF(ASA)．∴AE＝BG，AF＝BF.∴AE＝BG＝EK＝CK.∵BK∥EH，∴CK∶EK＝CB∶HB.∴CB＝HB.∵∠ABC＝90°，∴AB是CH的垂直平分线．∴AH＝AC＝3AE.在△AHE中，∠AEH＝90°，∴AE2＋EH2＝AH2.∴EH＝22AE.∴tan∠HAC＝EHAE＝22.6．(1)证明：如图5，连接BD，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠A＝∠C＝45°.图5∵AB为圆O的直径，∴∠ADB＝90°，即BD⊥AC.∴AD＝DC＝BD＝12AC，∠CBD＝∠C＝45°.∴∠A＝∠FBD.∵DF⊥DG，∴∠FDG＝90°.∴∠FDB＋∠BDG＝90°.∵∠EDA＋∠BDG＝90°，∴∠EDA＝∠FDB.在△AED和△BFD中，∠A＝∠FBD，AD＝BD，∠EDA＝∠FDB，∴△AED≌△BFD(ASA)．∴AE＝BF.(2)证明：如图5，连接EF，BG，∵△AED≌△BFD，∴DE＝DF.∵∠EDF＝90°，∴△EDF是等腰直角三角形．∴∠DEF＝45°.∵∠G＝∠A＝45°，∴∠G＝∠DEF.∴GB∥EF.(3)解：∵AE＝BF，AE＝1，∴BF＝1.在Rt△EBF中，∠EBF＝90°，∴EF2＝EB2＋BF2.∵EB＝2，BF＝1，∴EF＝22＋12＝5.∵△DEF为等腰直角三角形，∠EDF＝90°，∴cos∠DEF＝DEEF＝22.∵EF＝5，∴DE＝5×22＝102.∵∠G＝∠A，∠GEB＝∠AED，∴△GEB∽△AED.∴GEAE＝EBED，即GE·ED＝AE·EB.∴102·GE＝2，即GE＝2105.则DG＝GE＋ED＝91010.