欧氏空间与酉空间

第八章欧氏空间8．1欧氏空间与酉空间1：欧氏空间的定义：设实数域R上的向量空间V带有一个正定的对称的双线性函数(),：VV，则称V是一个欧氏空间，函数R×→(),叫做内积.等价于：欧氏空间是实数域R上带有二元函数(),VVR×→的向量空间,,,VaRξηζ∀∈∈,(满足下述条件：),()()()()()()()()(1),,;(2),,,;,,0,0aaξηηξξζηξηζηξηξηξξξ=+=+=≠f（3）（4）当时对比：（酉空间的定义8.6）设V是复数域C上一个向量空间，在V上定义了一个二元复函数，，对于(),:VVC×→,,Vαβγ∀∈，满足下列条件：(1)),(),(αββα=，这里),(),(αβαβ是的共轭复数；(2)),(),(βαβαkk=；(3)),(),(),(γβγαγβα+=+；(4)0),(≥αα，当且仅当0=α时，0),(=αα。则称V是一个酉空间。函数叫做酉空间的内积(),2：向量长度的定义：设ξ是欧氏空间的一个向量，非负实数(),ξξ的算数根(),ξξ叫做向量ξ的长度，记作ξ：ξ=(),ξξ.（对比）：设ξ是酉空间的一个向量，非负实数(),ξξ的算数根(),ξξ叫做向量ξ的长度，记作ξ：ξ=(),ξξ.1长度为1的向量叫做单位向量.任意一个非零向量ξ的一个单位向量表示为ξξ3：重要不等式。（定理8.1.3）在一个欧氏空间中。对于任意的向量,ξη,有不等式()()(2,)ξηξξη≤，，η当且仅当,ξη线性相关时等号成立（对比）：在一个酉空间中。对于任意的向量,ξη,有不等式()()()(),,,,ξηξηηηξξ≤当且仅当,ξη线性相关时等号成立。4：夹角的定义:设ξ和η是欧氏空间的两个非零的向量.ξ与η的夹角θ由一下的公式定义:(),cos=ξηθηξ,0θπ≤≤.说明：酉空间夹角没有定义5：正交的定义:欧氏空间的两个向量ξ与η称为正交的,如果(),=0ηξ我们约定零向量与任意向量正交.（对比）：酉空间的两个向量ξ与η称为正交的,如果(),=0ηξ我们约定零向量与任意向量正交.6：在欧氏空间中,如果ξ与12^nηηη中的每一向量都正交,那么ξ与12^nηηη的任意线性组合都正交.7，对于欧氏空间的两个向量α，β有αβαβ+≤+,当且仅当,αβ正交是等号成立.更一般地，(采用数学归纳法证明)对于欧氏空间中两两正交的向量12,,^,nααα有221212^^nn2αααααα+++=+++8.几个重要的不等式推论:设V是欧氏空间.,Vηξζ∀∈，.则()d,ηξη≠（1）时，ξ()()d,=d,ξηη（2）ξ()()(d,d,+d,)ζηξηξζ≤（3）2()()()22d,=d,+d,2ζηξηξζ（4）8.2规范正交基1：（基的度量矩阵）nεεε,,,21L是维欧氏空间V的一组基，令nnjijiij,,2,1,),,(L==εεα，称nnijaA)(=为基nεεε,,,21L的度量矩阵。度量矩阵是正定的，不同基的度量矩阵是合同的2：规范正交基的定义:维欧氏空间的一组基n{}123,,^nαααα叫做规范正交基，如果0,(,)1,ijijijαα≠⎧=⎨=⎩当当（对比：）n维酉空间的一组基{}123,,^nαααα叫做规范正交基，如果0,(,)1,ijijijαα≠⎧=⎨=⎩当当3：设{}12,,^,nααα是n维欧氏空间V的一组规范正交基则11,nniiiixyVξαηα∀==∑∑∈^,下述结论成立：（1）(),,1,2,iixin==ξα；（2）(),niiiyxξη=∑；（3）()()()()2221122,^nndxyxyxξη=−+−++−y4：（正交组的定义和规范正交组的定义）两两正交的非零向量组为V的一个正交组,若正交组中的每个向量都是单位向量,则称为规范正交组.5：（引理8.2.3）欧氏空间V的任意正交组{}12,,^,nααα是线性无关的（对比：）酉空间V中两两正交的非零的向量是线性无关的6：（正交化方法，定理8.2.4）设V是一个欧氏空间,{}12,,^,nααα是V的一个线性无关的向量组,那么可以求出V的一个正交组{}12,,^,nβββ,使得kβ是12,,^,nααα的线性组3合,.1,2^kn=（对比）：设V是一个酉空间,{}12,,^,nααα是V的一个线性无关的向量组,那么可以求出V的一个正交组{}12,,^,nβββ,使得kβ是12,,^,nααα的线性组合,1,2^kn=.7：维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基。n8：nεεε,,,21L是维欧氏空间的一组规范正交基n⎩⎨⎧=≠=⇔jijiji当当,1,0),(εεnεεεL,,21基⇔的度量矩阵为单位矩阵。⇔存在规范正交基及正交矩阵，使neee,,,21LQQeeenn),,,(),,,(2121LL=εεε8.3正交矩阵与酉矩阵1：（正交矩阵的定义8.3.1）一个阶实矩阵叫做正交矩阵.若nUTUU=U=ITU（说明：）TU=U-1对比：设U是n阶复矩阵，如果TUU=U=ITU，则称U是一个酉矩阵。2：设{}123,,^nαααα是n维欧氏空间的V的一组规范正交基，()12nβββ，，……，=()，则{12nUααα，，……，}12,,^,nβββ是V的规范正交基，当且仅当是正交矩阵U（对比：）设{}123,,^nαααα是n维酉空间的V的一组规范正交基，()12nβββ，，……，=()，则{12nUααα，，……，}12,,^,nβββ是V的规范正交基，当且仅当是酉矩阵。U43：是正交矩阵nnijaA)(=TTTAAIAAIAA=⇔=⇔=⇔−1⎩⎨⎧=≠=+++⇔jijiaaaaaanjnijiji当当,1,02211L⎩⎨⎧=≠=+++⇔jijiaaaaaajninjiji当当,1,02211L维欧氏空间V中两组标准正交基之间的过渡矩阵nA是⇔Ann),,,(),,,(2121εεεεεεσLL=⇔，σ其中是正交变换，nεεε,,,21L是的一组标准正交基。V4：称两个欧氏空间与同构，如果（1）存在向量空间的一个同构映射VV⋅σ：V（2）V→，Vξη∀∈，，()()()()=ξησξση，，5：任意有限维的欧氏空间同构的的充要条件是维数相同。特别地。任意一个n维的欧氏空间同构于nF6：（命题8.3.5）令W是欧式空间V的一个有限维的子空间，则V=WW⊥⊕，因而Vξη∀∈，，ξ可以唯一表示成=+WWξηςης⊥∈∈，其中，（对比：）令W是酉空间V的一个有限维的子空间，则V=WW⊥⊕，因而Vξη∀∈，，ξ可以唯一表示成=+WWξηςης⊥∈∈，其中，7：维欧氏空间V的每一个子空间都有唯一的正交补。n8：如果子空间两两正交，那么和sVVV,,,21LsVVV+++L21是直和。8.4正交变换与酉变换51：正交变换的定义：（8.4.1）欧式空间V的一个线性变换σ叫做正交变换，如果Vξ∀∈，都有()=σξξ（正交变换的特点：保内积，保夹角，正交变换是可逆变换）2：（定理8.4.2）设σ是维欧式空间V的上的一个线性变换。则有下列等价关系：n(1)σ保持向量的长度不变，即V∈α，αασ=)(；⇔(2)σ保持内积不变，即对任意的V∈βα,，都有),())(),((βαβσασ=；⇔(3)如果nεεε,,,21L是规范正交基，那么()(n)εσεσεσ,,),(21L也是规范正交基；⇔(4)σ在任一组规范正交基下的矩阵是正交矩阵。（对比：）（命题8.6.6）设σ是n维酉空间V的上的一个线性变换。则有下列等价关系：(1)σ保持向量的长度不变，即V∈α，αασ=)(；⇔(2)σ保持内积不变，即对任意的V∈βα,，都有),())(),((βαβσασ=；⇔(3)如果nεεε,,,21L是规范正交基，那么()(n)εσεσεσ,,),(21L也是规范正交基；⇔(4)σ在任一组规范正交基下的矩阵是酉矩阵。3：关于变换的合成构成一个群。On8.5对称变换与厄米特变换1：（8.5.1对称变换的定义）设σ欧氏空间V的线性变换,Vαβ∀∈，如果满足))(,()),((βσαβασ=则称σ为V的一个对称变换。（对比：）（定义8.6.7厄米特变换的定义：）设σ酉空间V的线性变换,Vαβ∀∈，如果满6足))(,()),((βσαβασ=则称σ为V的一个厄米特变换。2：（定理8.5.2）设σ是维欧式空间V的一个线性变换，则nσ是对称变换，当且仅当σ在V的规范正交基下的矩阵是对称矩阵。（对比：）（定理8.6.8）设σ是维酉空间V的一个线性变换，则nσ是厄米特变换，当且仅当σ在V的规范正交基下的矩阵是厄米特矩阵。3：（引理8.5.3）实对称矩阵的特征值都是实数。（对比：）（定理8.6.9）厄米特矩阵的特征值都是实数。4：(定理8.5.4)设σ是维欧式空间V的一个对称变换。则存在一组规范正交基，使得nσ关于这组基的矩阵是一个厄米特矩阵。（矩阵的语言）设A是一个n阶的实对称矩阵。则存在一个n阶的正交矩阵U，使得是一个实对角矩阵，对角线上的元素是A的特征值。TUAU（对比：）（定理8.6.10）σ是维欧式空间V的一个厄米特变换。则存在一组规范正交基，使得nσ关于这组基的矩阵是一个厄米特矩阵。（矩阵的语言）设A是一个阶的厄米特矩阵。则存在一个n阶的酉矩阵U，使得是一个实对角矩阵，对角线上的元素是A的特征值。nTUAU5：（引理8.5.5）设σ是维欧式空间V的一个对称变换。则nσ的属于不同的特征值的特征向量彼此正交。7